Kruh devíti bodů

Kružnice devíti bodů je kružnice procházející středy všech tří stran trojúhelníku .

Nazývá se také Eulerova kružnice , Feuerbachova kružnice , šestibodová kružnice , Terkemova kružnice , n-bodová kružnice , polopsaná kružnice .

Věta o definici

Kruh devíti bodů dostal svůj název díky následující větě:

Základy tří výšek libovolného trojúhelníku, středy jeho tří stran a středy tří segmentů spojujících jeho vrcholy s ortocentrem všechny leží na stejné kružnici.

Jinými slovy, devítibodová kružnice je kružnice opsaná pro následující tři trojúhelníky:

pravoúhlý trojúhelník ,
střední trojúhelník ,
Eulerův trojúhelník (nebo Feuerbachův trojúhelník , Euler-Feuerbachův trojúhelník) je trojúhelník, jehož vrcholy jsou středy tří segmentů spojujících ortocentrum a vrcholy.

Důkaz věty

V článku The Trident Lemma je pomocí tohoto lemmatu podán důkaz existence Eulerova kruhu.

Vlastnosti

Střed devítibodové kružnice leží na Eulerově čáře , přesně uprostřed segmentu mezi ortocentrem a středem opsané kružnice .
Z devíti bodů na Eulerově kružnici jsou tři středy úseček spojujících vrcholy s ortocentrem (vrcholy Euler-Feuerbachova trojúhelníku ). Tyto tři body jsou odrazy středů stran trojúhelníku kolem středu devítibodového kruhu .
Střed devíti bodů tedy slouží jako střed symetrie , čímž se střední trojúhelník převádí na Euler-Feuerbachův trojúhelník (a naopak) [1]
Průměr kružnice o devíti bodech se rovná poloměru kružnice opsané .
Opsaná kružnice je obrazem devítibodové kružnice s ohledem na stejnoměrnost se středem v ortocentru a koeficientem 2.

Poslední vlastnost homotetičnosti (podobnosti) znamená, že kružnice o devíti bodech půlí libovolný segment, který spojuje ortocentrum s libovolným bodem ležícím na kružnici opsané .
Feuerbachova věta . Kružnice devíti bodů libovolného trojúhelníku se dotýká kružnice a všech tří kružnic tohoto trojúhelníku. [2]
Mavlova věta . [3] : trojúhelník na svém obvodu devíti bodů odřízne tři oblouky zevně svými třemi stranami tak, že délka největšího z nich je rovna součtu délek dvou zbývajících oblouků. Například na obrázku výše dává Mavlova věta rovnost: oblouk IF = oblouk HE + oblouk GD.
V symetrické formě lze Mavlovu větu zapsat jako: $\smallsmile IF+\smallsmile HE+\smallsmile GD=2\max\{\smallsmile IF,\smallsmile ON,\smallsmile GD\}.$

To je ekvivalentní skutečnosti, že největší ze tří oblouků se rovná součtu ostatních dvou.

Poslední vlastnost je analogická vlastnostem pro vzdálenosti a od vrcholů dalšího trojúhelníku (trojúhelník s vrcholy ve středních bodech stran tohoto trojúhelníku). do bodu Feuerbach , ne pro oblouky. Podobný vztah se vyskytuje také v Pompeyově teorému . $X$ $y$ $z$
Hamiltonova věta . Tři úsečky spojující ortocentrum s vrcholy ostroúhlého trojúhelníku jej rozdělují na tři trojúhelníky, které mají stejnou Eulerovu kružnici (kruh o devíti bodech) jako původní ostroúhlý trojúhelník. Za bod Feuerbach se považuje bod vyznačený tučně na kružnici nejblíže k vrcholu A.

Na kružnici opsané trojúhelníku jsou přesně tři body , takže jejich Simsonova čára je tečnou k Eulerově kružnici trojúhelníku a tyto body tvoří pravidelný trojúhelník . Strany tohoto trojúhelníku jsou rovnoběžné se stranami Morleyova trojúhelníku . $ABC$ $ABC$
Pokud hyperbola popsaná v blízkosti trojúhelníku prochází průsečíkem výšek, pak je rovnoramenná (to znamená, že její asymptoty jsou kolmé) [4] . Průsečík asymptot rovnostranné hyperboly leží na kružnici devíti bodů [4] . Tato hyperbola se nazývá Kiepertova hyperbola a její střed je v Encyclopedia of Triangle Centers označen jako X(115).
Jestliže přímka ℓ ortopolu prochází středem kružnice opsané trojúhelníku , pak samotný ortopole leží na Eulerově kružnici tohoto trojúhelníku. [5]
Prochází -li přímka ℓ orthopolu P ortocentrem Q trojúhelníku, pak bod nacházející se na pokračování úsečky PQ spojující ortopol s ortocentrem, na druhé straně ve vzdálenosti rovné PQ , leží na Eulerově kružnice (na kružnici o 9 bodech) tohoto trojúhelníku. [6]

Je-li ABCD čtyřúhelník vepsaný do nějaké kružnice. EFG je diagonální trojúhelník pro čtyřúhelník ABCD . Potom průsečík T bimediánů čtyřúhelníku ABCD leží na kružnici devíti bodů trojúhelníku EFG .

V [7] bylo ukázáno , že průsečík bimediánů čtyřúhelníku vepsaných do nějaké kružnice patří do Eulerovy kružnice trojúhelníku s jedním vrcholem v průsečíku úhlopříček čtyřúhelníku a s dalšími dvěma vrcholy v průsečíku trojúhelníku. body prodloužení jeho dvojic protilehlých stran.

Pro kruh o devíti bodech, který se – mimo jiné – také nazývá „Terkemův kruh“, Terkem dokázal Terkemovu větu . [8] Uvádí, že pokud kružnice o devíti bodech protíná strany trojúhelníku nebo jejich prodloužení ve 3 párech bodů (ve 3 základnách výše a mediánů), které jsou základnami 3 párů cevianů, pak pokud 3 ceviany protože 3 z těchto základen se protínají v 1 bodě (například 3 mediány se protínají v 1 bodě), pak se 3 ceviany pro 3 další základny také protínají v 1 bodě (tj. 3 výšky se musí také protínat v 1 bodě).

Případy vzájemného uspořádání kružnice devíti bodů a kružnice opsané

V trojúhelníku ve vztahu k opsané kružnici může být kružnice devíti bodů (nebo Eulerova kružnice ) umístěna následovně:

Dotýká se kružnice opsané pouze v případě, že je trojúhelník pravoúhlý . V tomto případě jde tečnost dvou kružnic do vrcholu pravého úhlu trojúhelníku.
Je -li trojúhelník ostroúhlý, leží zcela uvnitř opsané kružnice .
Je- li trojúhelník tupý , protíná opsaný kruh ve dvou různých bodech .

Historie

Euler v roce 1765 dokázal, že základny výšek a středy stran leží na stejné kružnici (odtud název „kruh šesti bodů“). První úplný důkaz obecného výsledku zjevně publikoval Karl Feuerbach v roce 1822 (spolu s teorémem , který nese jeho jméno), ale existují náznaky, že byl znám již dříve [2] .

Variace a zobecnění

Čtyři kruhy devíti bodů trojúhelníků uvnitř čtyřúhelníku . Existuje známá věta: V libovolném konvexním čtyřúhelníku se kružnice devíti bodů trojúhelníku, na které jej rozdělují dvě úhlopříčky, protínají v jednom bodě $abeceda$ $ABC,BCD,CDA,DAB$ - v bodě Poncelet . [9]
Existuje známá věta: Jsou-li úhlopříčky kolmé v konvexním čtyřúhelníku, pak osm bodů leží na jedné kružnici ( kruh osmi bodů čtyřúhelníku ): středy stran a průměty středů stran na opačné strany [10] .

Devítibodová kružnice je speciálním případem devítibodové kuželosečky . Jestliže bod P je ortocentrum trojúhelníku ABC , pak devítibodová kuželosečka úplného čtyřúhelníku PABC se stane devítibodovou kružnicí .

16 Feuerbachových kruhů se dotklo kruhem o 9 bodech. Obrázek vpravo zobrazuje zeleně 16 známých Feuerbachových kruhů, které se dotýkají červeně znázorněného 9bodového kruhu (samotný trojúhelník je zobrazen černě)

Viz také (články zmiňující kruh devíti bodů )

Poznámky

↑ Dekov. Devítibodový střed// Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.— 2007.// http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf (nedostupný odkaz)
↑ 1 2 Tony Crilly. Matematické myšlenky , které opravdu potřebujete znát . — Phantom Press. — 209 s. — ISBN 9785864716700 . Archivováno 18. června 2016 na Wayback Machine
↑ D. P., Mavlo (2004), Krásné vlastnosti pozoruhodných těles, Matematika ve školách (Ukrajina) (č. 3): 265–269
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vyd., doplněno .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ Orthopole (21. ledna 2017). Staženo 22. června 2020. Archivováno z originálu dne 22. června 2020. (neurčitý)
↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. (Odstavec: G. Orthopole. Položka. 699. Věta. Obr. 156. S.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Fraivert, 2019 .
↑ Dmitrij Efremov . Nová geometrie trojúhelníku archivována 25. února 2020 na Wayback Machine . - Oděsa, 1902. - S. 16.
↑ Matematika v úlohách. Sborník materiálů z polních škol moskevského týmu pro Všeruskou matematickou olympiádu / Edited by A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov and A. V. Shapovalov. C. 118, úkol 9
↑ Matematika v úlohách. Sborník materiálů z polních škol moskevského týmu pro Všeruskou matematickou olympiádu / Edited by A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov and A. V. Shapovalov. C. 118, úkol 11

Literatura

Sharygin I. , Yagubyants A. Devítibodový kruh a Eulerova čára // Kvant. - 1981. - č. 8 . - S. 34-37 . (Ruština)
Dm. Efremov. Nová geometrie trojúhelníku 1902
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren něm.
Mavlo D.P. Krásné vlastnosti pozoruhodných těles//Matematika ve škole. č. 3, 2004. Str. 265-269.
Děkov. Devítibodový střed // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007.
Fraivert David . Nové body, které patří do devítibodového kruhu // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , č. 557 . - S. 222-232 .

Odkazy

Živý plán