Střední trojúhelník

Střední trojúhelník (také střední trojúhelník nebo doplňkový trojúhelník ) je trojúhelník postavený na středech stran daného trojúhelníku, což je zvláštní případ středního mnohoúhelníku .

Vlastnosti

Střední trojúhelník lze považovat za obraz původního trojúhelníku pod stejnoměrností se středem v těžišti s faktorem −1. Střední trojúhelník je tedy podobný původnímu a má stejné těžiště a střednice jako původní trojúhelník . Z toho také vyplývá, že obvod středního trojúhelníku se rovná polovině obvodu trojúhelníku a že jeho plocha se rovná čtvrtině plochy trojúhelníku . Navíc čtyři trojúhelníky, na které je původní trojúhelník rozdělen středním trojúhelníkem , jsou stejné ve třech stranách , takže jejich plochy jsou stejné a tvoří čtvrtinu plochy původního trojúhelníku [1] . V tomto ohledu se někdy všechny čtyři stejné vnitřní trojúhelníky získané z daného trojúhelníku nakreslením tří středních čar v něm někdy nazývají "střední" (v nejtradičnější terminologii se pouze jednomu z nich říká střední - centrální). $\trojúhelník ABC$ $\trojúhelník ABC$ $\trojúhelník ABC$ $\trojúhelník ABC$

Ortocentrum středního trojúhelníku se shoduje se středem kružnice opsané daného trojúhelníku , tato skutečnost umožňuje dokázat, že střed kružnice opsané, těžiště a ortocentrum leží na stejné přímce - Eulerově přímce . $\trojúhelník ABC$

Střední trojúhelník je dílčí trojúhelník středu kružnice opsané. Kružnice devíti bodů je popsána pro střední trojúhelník, a proto střed devíti bodů je středem kružnice opsané kolem středního trojúhelníku Nagelův bod středního trojúhelníku je středem kružnice vepsané původního trojúhelníku [ 2] .

Střední trojúhelník je roven trojúhelníku, jehož vrcholy jsou středy úseček spojujících ortocentrum a jeho vrcholy ( Eulerův trojúhelník ) [3] .

Střed vepsané kružnice trojúhelníku leží ve středním trojúhelníku [4] . Bod uvnitř trojúhelníku je středem elipsy vepsané do trojúhelníku právě tehdy, když tento bod leží uvnitř prostředního trojúhelníku [5] . Střední trojúhelník je jediný vepsaný trojúhelník, pro který žádný z ostatních tří trojúhelníků nemá plochu menší než je plocha tohoto trojúhelníku [6] . Střed kružnice vepsané do středního trojúhelníku daného trojúhelníku je těžištěm obvodu trojúhelníku ( Spiekerův střed ), tento střed je těžištěm jednotného drátěného obrazce odpovídajícího trojúhelníku. $\trojúhelník ABC$

Ortopole P přímky ℓ trojúhelníku je střed radikálu tří kružnic, které jsou tečné k přímce ℓ a mají středy ve vrcholech antikomplementárního trojúhelníku vzhledem k danému trojúhelníku. [7]

Střed daného trojúhelníku je Nagelovým bodem trojúhelníku tvořeného jeho 3 střednicemi ( střed trojúhelníku ). [osm]

Souřadnice

Dovolit být délky stran trojúhelníku . Trilineární souřadnice vrcholů středního trojúhelníku jsou dány vzorcem: $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ $\trojúhelník ABC$

$X=0:1/b:1/c$
$Y=1/a:0:1/c$
$Z=1/a:1/b:0$

Antimediánský trojúhelník

Jestliže je střední trojúhelník pro , pak je anti- střední trojúhelník ( antikomplementární ) pro . Antikomplementární trojúhelník pro tvoří tři přímky rovnoběžné se stranami - rovnoběžné bodem , rovnoběžné bodem a rovnoběžné bodem . $\triangle XYZ$ $\trojúhelník ABC$ $\trojúhelník ABC$ $\triangle XYZ$ $\trojúhelník ABC$ $\trojúhelník ABC$ $AB$ $C$ $AC$ $B$ $před naším letopočtem$ $A$

Trilineární souřadnice vrcholů protistředového trojúhelníku jsou dány vzorcem: $\triangle X'Y'Z'$

$X'=-1/a:1/b:1/c$
$Y'=1/a:-1/b:1/c$
$Z'=1/a:1/b:-1/c$

Poznámky

↑ Posamentier, Lehmann, 2012 , str. 177.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 161, věta 337.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 103,#206;108,#1.
↑ Franzsen, 2011 , s. 233, Lemma 1.
↑ Chakerian, 1979 , str. 139, kapitola 7.
↑ Torrejon, 2005 , str. 137.
↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. (Odstavec: G. Orthopole. Cvičení. Položka 6. str. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Honsberger, R. . Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století. Washington, DC: Matematika. Doc. amer. 1995. S. 51, položka (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303

Literatura

Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. Tajemství trojúhelníků. — Knihy Prometheus, 2012.
William N. Franzsen. Vzdálenost od středu k Eulerově linii // Forum Geometricorum. - 2011. - Vydání. 11 .
Nathan Altshiller-Court. Vysokoškolská geometrie. — Dover Publications, 2007.
GD Chakerian. Matematické švestky / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
Ricardo M. Torrejon. Na Erdosově vepsané trojúhelníkové nerovnosti // Forum Geometricorum. - 2005. - Vydání. 5 .
Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 s.

Odkazy

Weisstein , Eric W. Mediální trojúhelník ve Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .