Radikální centrum

Radikálový střed tří kruhů  je průsečíkem tří radikálových os dvojic kruhů. Jestliže střed radikálu leží mimo všechny tři kruhy, pak je to střed jediného kruhu ( radikálního kruhu ), který protíná tři dané kruhy ortogonálně . Konstrukce této ortogonální kružnice odpovídá Mongeově problému . Toto je speciální případ věty o třech kuželosečkách.

Tři radikálové osy se protínají v jednom bodě, radikálním středu, z následujícího důvodu: radikální osa dvojice kružnic je definována jako množina bodů, které mají stejný stupeň h vzhledem k oběma kružnicím. Například pro jakýkoli bod P na ose radikálu kružnic 1 a 2 jsou stupně vzhledem ke každé z kružnic h 1  =  h 2 . Stejně tak pro jakýkoli bod na ose radikálu kružnic 2 a 3 musí být stupně rovné h 2  =  h 3 . V průsečíku těchto dvou čar se tedy tyto tři stupně musí shodovat: h 1  \  u003d h 2  \  u003d h 3 . Z toho plyne, že h 1  =  h 3 a tento bod musí ležet na radikálové ose kružnic 1 a 3. Všechny tři radikální osy tedy procházejí jedním bodem - radikálním středem.

Příklady

• Radikální centrum má několik aplikací v geometrii. Hraje důležitou roli při řešení Apolloniova problému , který publikoval Joseph Díaz Gergonne v roce 1814.
• Ve stupňovém diagramu soustavy kružnic leží všechny vrcholy diagramu v radikálních středech trojic kružnic.
• Spiekerův střed trojúhelníku je radikálním středem jeho tří kružnic [1] .
• Existují i ​​jiná radikální centra, jako je radikální centrum Lucasových kruhů.
• Ortopole P přímky ℓ trojúhelníku je střed radikálu tří kružnic, které jsou tečné k přímce ℓ a mají středy ve vrcholech antikomplementárního trojúhelníku vzhledem k danému trojúhelníku. [2]

Ortogonalita

• Dva kruhy, které se protínají v pravém úhlu , se nazývají ortogonální . Kružnice lze považovat za ortogonální , pokud navzájem svírají pravý úhel .
• Dvě kružnice protínající se v bodech a se středy a se nazývají ortogonální , pokud jsou pravé úhly a . Právě tato podmínka zaručuje pravý úhel mezi kruhy. V tomto případě jsou poloměry (normály) dvou kružnic nakreslených do bodu jejich průsečíku kolmé. Proto jsou tečny dvou kružnic nakreslených do bodu jejich průsečíku také kolmé. Tečna kružnice je kolmá na poloměr (normální) nakreslený k bodu dotyku. Úhel mezi křivkami je obvykle úhel mezi jejich tečnami nakreslenými v bodě jejich průsečíku.
• Může existovat další dodatečná podmínka. Nechť dvě kružnice protínající se v bodech A a B mají středy protínajících se oblouků v bodech C a D , to znamená, že oblouk AC je roven oblouku CB , oblouk AD je roven oblouku DB . Potom se tyto kružnice nazývají ortogonální , pokud jsou pravé úhly СAD a СBD .

Viz také

• Tečna ke kruhu
• kruh
• radikální osa
• Stupeň bodu vzhledem ke kružnici

Poznámky

1. ↑ Odenhal, 2010 , s. 35-40.
2. ↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. (Odstavec: G. Orthopole. Cvičení. Položka 6. str. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.

Literatura

• C. Stanley Ogilvy. Exkurze v geometrii . - Dover, 1990. - S.  23 . - ISBN 0-486-26530-7 .
• G. S. M. Coxeter , S. L. Greitzer. Nová setkání s geometrií. - Moskva: "Nauka", Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury., 1978. - S. 43-48. - (Knihovna matematického kroužku).
• Johnson RA Pokročilá euklidovská geometrie: Základní pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu. — dotisk vydání z roku 1929 od Houghton Miflin. - New York: Dover Publications, 1960. - S. 32-34. - ISBN 978-0-486-46237-0 .
• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Zajímavé geometrie. - New York: Penguin Books, 1991. - S. 35. - ISBN 0-14-011813-6 .
• Dörrie H. §31 Mongeův problém // 100 velkých problémů elementární matematiky: jejich historie a řešení. - New York: Dover, 1965. - S. 151-154.
• Lachlan R. Základní pojednání o moderní čisté geometrii. - Londýn: Macmillan, 1893. - S. 185.
• Boris Odenhal. Některé středy trojúhelníků spojené s kružnicemi tečnými k kružnicím // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Radical Center  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Radical Circle  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Monge's Problem  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
• Radical Center v Cut-the-Knot
• Radikální osa a střed u Cut-the-Knot