Radikální osa dvou kružnic

Radikálová osa dvou kružnic je místem bodů, jejichž stupně vzhledem ke dvěma daným kružnicím jsou stejné. Jinými slovy, délky čtyř tečen nakreslených ke dvěma daným kružnicím z libovolného bodu M daného umístění bodů jsou stejné.

Radikálová osa dvou kružnic existuje právě tehdy, když jsou kružnice nesoustředné, a lze ji definovat jak pro kružnice, tak pro body (kružnice s nulovým poloměrem) a myšlené kružnice (imaginární poloměr).

Vlastnosti radikálové osy

Radikální osa je přímá. Vzhledem k tomu, že stupeň bodu vzhledem ke kružnici je tam, kde koeficienty A, B a C jsou určeny z hlediska souřadnic středu a poloměru kružnice, pak rovnítko mezi stupni bodu vzhledem ke dvěma kružnice, dostaneme a to je rovnice přímky. Existuje také důkaz této skutečnosti pouze pomocí geometrických metod. $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C,$ $x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+ B_ {2}y+C_{2}\Šipka doleva (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,$
Radikálová osa je kolmá k přímce středů, což vyplývá ze symetrie obou kružnic kolem čáry středů.
Je-li P bod na ose radikálu, pak jsou délky tečen od bodu P k oběma kružnicím stejné - vyplývá to z toho, že stupeň bodu je roven druhé mocnině délky tečného segmentu. Radikálová osa zejména půlí segmenty společných tečen.

Pokud se kružnice protínají ve dvou bodech, pak jejich radikální osa bude přímka procházející těmito body, pokud se dotýkají vně, pak společnou vnitřní tečnou bude radikální osa, pokud je vnitřní, pak společná tečna (jediná) .

Pokud se čáry obsahující tětivy a první a druhý kruh protínají na ose radikálu, pak je čtyřúhelník vepsán . To lze snadno dokázat: nechť je průsečík. Vlastností stupně bodu se rovná a protože P leží na radikálové ose, pak se rovná a Protože body a leží na stejné kružnici. Platí to i obráceně: jsou-li dvě kružnice protnuty tercií, takže je to společná tetiva první a tercie a je to společná tetiva druhé a tercie, pak se přímky AB a CD protnou na ose radikálu první dva kruhy navíc v tzv. radikálním středu tří kruhů (viz . níže). Konstrukce radikální osy pomocí kružítka a pravítka je založena na této vlastnosti: sestrojíme kružnici, která protíná dva dané údaje ve čtyřech bodech, a z jejich radikálního středu pak pustíme kolmici na přímku středů. $AB$ $CD$ $abeceda$ $P$ $PA\cdot PB,$ $PC\cdot PD.$ $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ $A, B, C$ $D$ $AB$ $CD$

Radikálové osy tří kruhů s nekolineárními středy se protínají v jednom bodě, který se nazývá radikální střed . Dovolit být kruhy a nechť je průsečík radikální osy kruhů as radikální osy kruhů a . Jestliže je stupeň bodu vzhledem ke kružnici , pak podle definice osy radikálu a bod leží na ose radikálu kruhů a ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3))$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{3))$ ${\mathfrak {P}}(\omega ,A)$ $A$ $\omega ,$ ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _ {3}, P),$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\Omega _{3}.$
Místem středů kružnic ortogonálních ke dvěma daným datům je jejich radikální osa s vyloučenou společnou tětivou (pokud existuje). Viz Obr.

Antihomologické akordy[ upřesnit ] dvě kružnice se protínají na své radikální ose (zřejmě máme na mysli dvě tětivy procházející dvěma dvojicemi antihomotetických bodů dvou kružnic, viz obrázek níže).
Dovolit být čtyřúhelník, čáry a protínají na , a - na . Potom mají kružnice postavené na úsecích , a , stejně jako na průměrech, společnou radikální osu, na které leží průsečíky výšek trojúhelníků , , a ( Auber-Steinerova čára ). $abeceda$ $AB$ $CD$ $F$ $před naším letopočtem$ $INZERÁT$ $E$ $AC$ $BD$ $EF$ $ABE$ $CDE$ $BCF$ $ADF$

Ortogonalita

Dva kruhy, které se protínají v pravém úhlu , se nazývají ortogonální . Kružnice lze považovat za ortogonální , pokud navzájem svírají pravý úhel .
Dvě kružnice protínající se v bodech A a B se středy O a O' se nazývají ortogonální , pokud jsou pravé úhly OAO' a OBO' . Právě tato podmínka zaručuje pravý úhel mezi kruhy. V tomto případě jsou poloměry (normály) dvou kružnic nakreslených do bodu jejich průsečíku kolmé. Proto jsou tečny dvou kružnic nakreslených do bodu jejich průsečíku také kolmé. Tečna kružnice je kolmá na poloměr (normální) nakreslený k bodu dotyku. Úhel mezi křivkami je obvykle úhel mezi jejich tečnami nakreslenými v bodě jejich průsečíku.
Může existovat další dodatečná podmínka. Nechť dvě kružnice protínající se v bodech A a B mají středy protínajících se oblouků v bodech C a D , to znamená, že oblouk AC je roven oblouku CB , oblouk AD je roven oblouku DB . Potom se tyto kružnice nazývají ortogonální , pokud jsou pravé úhly СAD a СBD .

Důsledky z vlastností osy radikálu

Na přímce procházející tečnými body dvou kružnic trojúhelníku se dvěma jeho stranami tyto kružnice odříznou stejné úsečky.
Ten může být formulován následovně. Jestliže se 2 kružnice trojúhelníku dotýkají 2 jeho různých stran a 2 jejich prodloužení ve 4 tečných bodech, pak čtyřúhelník tvořený posledními 4 body jako vrcholy je rovnoramenný lichoběžník se 2 stejnými bočními stranami a také 2 úhlopříčkami (tečnými k 2 kruhy).
Úhlopříčky šestiúhelníku opsaného kolem kružnice spojující protilehlé vrcholy se protínají v jednom bodě ( Brianchonova věta pro kružnici).

Odkazy

Wikimedia Commons má média související s radikální osou dvou kruhů

Viz také

radikální centrum