Tečna ke kruhu

Tečna ke kružnici v euklidovské geometrii v rovině je přímka, která má s kružnicí právě jeden společný bod. Je také možné definovat tečnu jako mezní polohu sečny, když se její průsečík blíží nekonečně kružnici. Tečny ke kružnicím jsou předmětem řady teorémů a hrají důležitou roli v mnoha geometrických konstrukcích a důkazech .

Tečny ke stejné kružnici

Tečna t ke kružnici C protíná kružnici v jediném bodě T . Pro srovnání, sečné čáry protínají kruh ve dvou bodech, zatímco některé čáry nemusí kruh protínat vůbec. Tato vlastnost tečné čáry je zachována mnoha geometrickými transformacemi , jako je podobnost , rotace , translace , inverze a projekce mapy . Technicky vzato, tyto transformace nemění strukturu dopadu tečných čar a kružnic, i když jsou přímky a kružnice samotné deformovány.

Poloměr kružnice procházející tečným bodem je kolmý k tečné přímce. Naopak kolmice k poloměru v koncovém bodě (na kružnici) je tečnou přímky. Kružnice spolu s tečnou přímkou mají osovou symetrii vzhledem k poloměru (směrem k bodu dotyku).

Bodem uvnitř kruhu nemůže procházet žádná tečna, protože každá taková přímka musí být sečna. Zároveň lze pro jakýkoli bod mimo kružnici sestrojit dvě tečny, které jím procházejí. Geometrický obrazec sestávající z kružnice a dvou tečných čar má také osovou souměrnost vzhledem k přímce spojující bod P se středem kružnice O (viz obrázek vpravo). V tomto případě mají segmenty z bodu P do dvou tečných bodů stejnou délku. Podle věty o stupni bodu se druhá mocnina délky úsečky k bodu dotyku rovná stupni bodu P vzhledem ke kružnici C. Tato mocnina se rovná součinu vzdáleností od bodu P ke dvěma průsečíkům kružnice libovolnou sečnou procházející bodem P.

Tečna t a tečný bod T mají vlastnost konjugace k sobě; tuto korespondenci lze zobecnit na myšlenku pólu a poláry . Stejný vztah existuje mezi bodem P vně kruhu a sečnou spojnicí dvou bodů dotyku.

Pokud bod P leží vně kružnice se středem v O a pokud se tečné přímky z P dotýkají kružnice v bodech T a S, pak úhly ∠TPS a ∠TOS tvoří 180°.

Pokud je tětiva TM vedena z tečného bodu T přímky PT a ∠PTM ≤ 90°, pak ∠PTM = (1/2)∠MOT.

Geometrické konstrukce

Je poměrně snadné sestrojit přímku t tečnou ke kružnici v bodě T na kružnici. Chcete-li to provést, nakreslete čáru a středem kružnice O a bodem T. Potom je přímka t kolmá k přímce a . Jedním ze způsobů, jak sestrojit kolmici, je následující (viz obrázek). Nakreslíme kružnici se stejným poloměrem ( r ) se středem v bodě T , dostaneme druhý bod G na přímce a a bod T se stane středem úsečky OG. Nakreslíme dvě kružnice o poloměru R > r se středy v bodech O a G . Přímka procházející průsečíky těchto kružnic bude tečnou.

Chcete-li sestrojit tečnou čáru přes bod P ke kružnici C , můžete použít vlastnost úhlu na základě průměru kružnice . Kružnice je nakreslena se středem v bodě H , uprostřed segmentu OP, kde O je střed kruhu C. Průsečíky T a T' jsou tečné body přímek procházejících bodem P , protože úhly ∠OTP a ∠OT'P jsou založeny na průměru OP kružnice se středem v H .

Věta opsaného čtyřúhelníku a vepsané kružnice

Popisovaný čtyřúhelník ABCD je uzavřený obrazec se čtyřmi stranami, které jsou tečné ke kružnici C . V souladu s tím je C kružnice vepsaná do čtyřúhelníku ABCD. Podle Pitotovy věty jsou součty opačných stran každého takového čtyřúhelníku stejné, tj.

\overline {AB}+\overline {CD}=\overline {BC}+\overline {DA}.

Tento závěr vyplývá z rovnosti segmentů tečen z vrcholů čtyřúhelníku. Označme body dotyku jako P (na segmentu AB), Q (na segmentu BC), R (na segmentu CD) a S (na segmentu DA). Symetrické úsečky k dotykovým bodům z každého vrcholu čtyřúhelníku ABCD jsou stejné, tj. BP=BQ= b , CQ=CR= c , DR=DS= d a AS=AP= a . Ale každá strana čtyřúhelníku se skládá ze dvou takových segmentů

\overline {AB}+\overline {CD}=(a+b)+(c+d)=\overline {BC}+\overline {DA}=(b+c)+(d+a)

což dokazuje tvrzení.

Platí to i obráceně – do libovolného konvexního čtyřúhelníku, ve kterém se součty délek protilehlých stran rovnají, lze vepsat kružnici. [jeden]

Tato věta a její opak mají různé aplikace. Například z věty okamžitě vyplývá, že kruh nelze vepsat do žádného obdélníku, pokud to není čtverec , a také že kruh lze vepsat do libovolného kosočtverce, ačkoli v obecném případě nelze kruh vepsat do rovnoběžníku . .

Tečny ke dvěma kružnicím

Pro dvě kružnice obecně existují čtyři různé přímky tečné k oběma kružnicím, pokud jedna kružnice neleží v druhé, ale v degenerovaných případech může být libovolný počet tečen od nuly do čtyř. Tyto případy jsou popsány níže. Ze čtyř tečných čar jsou dvě vnější tečny, když kružnice leží na stejné straně tečny. U dalších dvou přímek, vnitřních tečen, se ukáže, že kružnice leží na opačných stranách tečny. Vnější tečny se protínají ve středu vnější stejnoměrnosti , zatímco vnitřní tečny se protínají ve středu vnitřní stejnoměrnosti. Vnitřní i vnější středy homothety leží na přímce procházející středy kruhů, blíže středu menšího kruhu. Pokud mají dvě kružnice stejné poloměry, zůstanou stejné čtyři tečny, ale vnější tečné čáry jsou rovnoběžné a na afinní rovině není žádný střed vnější homothety . Na projektivní rovině leží vnější střed homothety v bodě v nekonečnu odpovídajícím průsečíku čar. [2]

Vnější tečna

Červené čáry spojující body T 1 a T 3 , T 2 a T 4 jsou vnější tečny dvou kružnic.

Vnitřní tečna

Vnitřní tečny jsou tečny, které protínají segment spojující středy kružnic. Všimněte si, že vnitřní tečny neexistují v případě protínajících se kružnic.

Konstrukce

Tečny ke dvěma kružnicím lze sestrojit nalezením středů stejnoměrnosti, jak je popsáno výše, a následným vytvořením tečen přes tato centra. Je také možné přímo konstruovat tečné čáry a tečné body, jak je popsáno níže.

Elementární geometrie

Nechť O 1 a O 2 jsou dva středy dvou kružnic C 1 a C 2 a nechť r 1 a r 2 jsou jejich poloměry , zatímco r 1 > r 2 . Jinými slovy, kruh C 1 bude považován za větší z těchto dvou kruhů. Ke konstrukci vnějších a vnitřních tečných čar lze použít dvě různé metody.

Vnější tečny

Nakreslete novou kružnici C 3 s poloměrem r 1 − r 2 se středem v O 1 . Pomocí výše popsané metody nakreslete dvě tečné čáry z bodu O 2 k této nové kružnici. Tyto přímky jsou rovnoběžné s požadovanými tečnými přímkami , protože to odpovídá zmenšení poloměrů obou kruhů C1 a C2 o stejné číslo r2 , v důsledku čehož se kruh C2 promění v bod. Prostřednictvím dvou tečných bodů na kružnici C 3 lze nakreslit dva paprsky ze středu O 1 . Tyto paprsky protínají C 1 v požadovaných bodech dotyku. Požadované tečny jsou kolmé k těmto radiálním paprskům a mohou být konstruovány tak, jak je znázorněno výše.

Vnitřní tečny

Nakreslete novou kružnici C 3 s poloměrem r 1 + r 2 se středem v O 1 . Pomocí výše popsané metody nakreslete dvě tečné čáry z bodu O 2 k této nové kružnici. Tyto přímky jsou rovnoběžné s požadovanými tečnými přímkami, protože to odpovídá zmenšení poloměru kružnice C2 na nulu se současným zvětšením poloměru C1 o stejnou konstantu r2 . Dva radiální paprsky mohou být kresleny ze středu O 1 přes body kontaktu na C 3 . Tyto paprsky protínají C 1 v požadovaných bodech dotyku. Požadované vnitřní tečny jsou kolmé k radiálním paprskům a protínají paprsky v nalezených bodech, takže je lze sestrojit výše uvedenou metodou.

Ve skutečnosti se jedná o stejnou konstrukci jako u vnějších tečen, pokud předpokládáme, že poloměr menší kružnice je záporný.

Analytická geometrie

Nechť kruhy mají středy c 1 = ( x 1 , y 1 ) a c 2 = ( x 2 , y 2 ) a poloměry r 1 a r 2 v tomto pořadí. Nechť má tečná přímka rovnici s normalizací a 2 + b 2 = 1, pak vzdálenost od středů kružnic k přímce se vypočítá podle vzorců: $ax+by+c=0,$

ax 1 + o 1 + c = r 1 a ax 2 + by 2 + c = r2 . _

Odečtením první rovnice od druhé dostaneme

a ∆ x + b ∆ y = ∆ r

kde Ax \ u003dx2 - x1 , Ay \ u003dy2 - y1 a AR \ u003dr2 - r1 . _ _ _ _ _ _

Jestliže je vzdálenost od c 1 do c 2 , můžeme normalizovat substitucí X = Δ x / d , Y = Δ y / d a R = Δ r / d pro zjednodušení rovnic, což dává rovnice aX + bY = R a a 2 + b 2 = 1. Vyřešíme je a dostaneme dvě řešení ( k = ±1) pro dvě vnější tečny: $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$

a = RX − kY √(1 − R 2 ) b = RY + kX √(1 − R 2 ) c = r 1 − ( osa 1 + o 1 )

Geometricky to odpovídá výpočtu úhlu, který svírá tečna a přímka vedená středy, a poté se středová čára otočí, aby se získala rovnice tečny. Úhel lze vypočítat pomocí trigonometrie z pravoúhlého trojúhelníku, jehož vrcholy jsou (vnějším) středem stejnoměrnosti, středem kružnice a tečným bodem. Přepona leží na středové čáře, poloměr je rameno protilehlé úhlu a přepona přilehlá k úhlu leží na tečně přímky.

( X , Y ) je jednotkový vektor od c 1 do c 2 , zatímco R je , kde je úhel mezi osou a tečnou. pak se rovná (v závislosti na znaménku , které je ekvivalentní směru rotace) a výše uvedené rovnice jsou rotace ( X , Y ) pomocí rotační matice $\cos \theta$ $\theta$ $\sin \theta$ $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ $\theta$ $\pm\theta,$

{\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}

k = 1 je tečna napravo od kružnic při pohledu z c 1 ve směru c 2 . k = −1 je tečna napravo od kružnic při pohledu z c 2 ve směru c 1 .

Všechny výše uvedené argumenty předpokládají, že poloměry kružnic jsou kladné. Pokud je r 1 kladné a r 2 záporné, pak c 1 bude ležet nalevo od každé přímky a c 2 napravo a dvě tečné přímky se protnou. Tímto způsobem lze získat všechna čtyři řešení. Změna znaménka obou poloměrů vede k záměně možností k = 1 ak = −1.

Vektory

V obecném případě se tečné body t 1 a t 2 pro kteroukoli ze čtyř tečných čar ke kružnicím se středem v 1 a v 2 a s poloměry r 1 a r 2 získají řešením čtyř rovnic:

{\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_ {2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\ (t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}

Tyto rovnice vyjadřují skutečnost, že tečna je kolmá na poloměry a tečné body leží na příslušných kružnicích.

Tyto čtyři kvadratické rovnice s dvourozměrnými vektorovými proměnnými obecně dávají čtyři páry řešení.

Degenerované případy

Dvě různé kružnice mohou mít v závislosti na vzájemné poloze od nuly do čtyř přímek tečných k oběma kružnicím. Varianty lze klasifikovat podle vzdálenosti mezi středy a poloměry.

Pokud se kružnice nedotýkají ( ), což je obecná poloha , existují čtyři tečny, které se dotýkají obou kružnic současně. $d>r_{1}+r_{2}$
Pokud jsou kružnice v kontaktu ( ) - mají jeden bod vnějšího kontaktu - mají dvě vnější společné tečny a jednu vnitřní procházející bodem dotyku kružnic. Tato společná tečna má násobnost dvě. $d=r_{1}+r_{2}$
Pokud se kružnice protínají ve dvou bodech ( ), nemají žádné vnitřní společné tečny a mají dvě vnější tečny. $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Pokud se kružnice navzájem dotýkají zevnitř ( ) - existuje jeden bod vnitřního dotyku - nemají žádné vnitřní společné tečny a existuje jedna společná vnější tečna procházející bodem dotyku kružnic a tato přímka má násobek dva. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Pokud je jeden kruh zcela uvnitř druhého ( ), nemají žádné společné tečny, protože jakákoli tečna k vnitřnímu kruhu bude sečnou k vnějšímu kruhu. $d<|r_{1}-r_{2}|$

A konečně, pokud se kružnice shodují, jakákoli přímka tečná ke stejné kružnici bude společnou tečnou.

Dále lze koncept společné tečny rozšířit na případ kružnic se záporným poloměrem (které jsou tvořeny stejnými body , ale „naruby“). V tomto případě, pokud mají poloměry opačná znaménka (jeden kruh má kladný poloměr, druhý záporný poloměr), vnější a vnitřní středy homotety jsou obráceny a vnější a vnitřní společné tečny jsou obráceny. Pokud mají poloměry stejné znaménko (oba poloměry jsou kladné nebo oba záporné), pak mají pojmy „vnější“ a „vnitřní“ obvyklý význam. $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

Pro kružnice s nulovým poloměrem lze definovat společné tečny. V tomto případě je kružnice s nulovým poloměrem považována za dvojitý bod, a proto ji jakákoli přímka procházející tímto bodem protíná s násobkem dvou. Pokud má kružnice poloměr nula, společná tečna je jednoduše přímka tečná ke kružnici procházející bodem, ale tato přímka se počítá dvakrát. Pokud mají obě kružnice nulový poloměr, pak společná tečna je přímka procházející dvěma body a tato přímka má násobnost čtyři.

Všimněte si, že v těchto degenerovaných případech zůstávají vnější a vnitřní středy homothety (vnější střed jde do nekonečna, pokud jsou poloměry stejné), kromě případů, kdy se kružnice shodují (v takovém případě není vnější střed definován), nebo když oba kruhy mají nulový poloměr (v tomto případě neexistuje žádný vnitřní střed).

Aplikace

Problém s řemenovým pohonem

Vnitřní a vnější tečny jsou užitečné při řešení problému řemenového pohonu , což je výpočet délky řemenu, který by těsně obešel převodová kola. Uvažujeme-li pás jako matematickou křivku se zanedbatelnou tloušťkou a jsou-li převodová kola přesně ve stejné rovině, zmenší se problém na sečtení tečných segmentů s odpovídajícími délkami oblouků. Pokud je pás natažen přes kola s průsečíkem, je nutné uvažovat vnitřní tečny. Pokud je pás natažen bez křížení, je nutné uvažovat vnější tečny. Druhý případ se někdy nazývá problém s kladkou .

Tečny ke třem kružnicím: Mongeova věta

Pro tři kruhy C 1 , C 2 a C 3 existují tři páry kruhů ( C 1 C 2 , C 2 C 3 a C 1 C 3 ). Protože každá dvojice kružnic má dva středy stejnoměrnosti, dostaneme celkem šest středů stejnosti . Gaspard Monge na začátku 19. století ukázal, že těchto šest bodů leží na čtyřech přímkách a že na každé přímce leží tři body.

Tangenty a kulečník

Systém tečných čar zaměřujících bílou kouli používá čáru procházející středem tága k vytvoření dvou tečných čar z bílé koule ve směru k cílové kouli. Dvě tečné čáry a přímka procházející středem bílé koule protínají čáru procházející středem cílové koule a středem kapsy. Úder je nutné nasměrovat tak, aby se konečná poloha bílé koule (na obrázku imaginární koule) dotkla předmětové koule v místě dotyku přímkou kolmou ke směru ke kapse (na obrázku tato tečna je zvýrazněno zeleně).

Apolloniův problém

Mnoho speciálních případů Apolloniova problému využívá hledání kružnic, které jsou tečné k jedné nebo více čarám. V nejjednodušším z těchto případů se sestrojí kružnice, která je tečnou ke třem daným přímkám (problém LLL ). Střed každé takové kružnice musí ležet na ose úhlu v průsečíku libovolné dvojice těchto přímek. V každém průsečíku čar jsou dvě osy. Průsečíky těchto os dávají středy kružnic, které jsou řešením. V obecném případě existují čtyři takové kružnice pro trojúhelník tvořený průsečíkem tří přímek - kružnice vepsané a tří kružnic.

Obecně lze Apolloniův problém zredukovat na jednodušší problém konstrukce kružnice tečné k jedné kružnici a dvěma rovnoběžným přímkám (toto je samo o sobě speciální případ LLC ). Abychom toho dosáhli, úměrně zvětšíme dva z těchto tří daných kruhů, dokud se nedotknou. Inverze kolem kružnice o vhodném poloměru se středem v tečném bodě přemění tyto dvě kružnice na dvě rovnoběžné čáry a třetí kružnici na jinou kružnici. Řešení lze tedy nalézt pohybem kružnice o konstantním poloměru mezi dvěma rovnoběžnými přímkami, dokud nezískáme tečnost s transformovanou třetí kružnicí. Reverzní inverze poskytne řešení původního problému.

Zobecnění

Koncept přímky tečné k jedné nebo více kružnicím lze zobecnit několika způsoby. Za prvé, vlastnost párování tečných čar a tečných bodů lze zobecnit na pól a polární čáru , kdy pól může být kdekoli, ne nutně na kruhu. Za druhé, spojení dvou kružnic je speciální ( redukovatelný ) případ rovinné křivky čtvrtého stupně a vnější a vnitřní tečny jsou tečné ke dvěma bodům této křivky. Obecně má rovinná křivka 4. stupně 28 přímek tečných k ní dvakrát.

Třetí zobecnění se týká spíše tečných kružnic než tečných čar. Na tečnou přímku lze nahlížet jako na tečnou kružnici s nekonečným poloměrem. Zejména vnější tečny ke dvěma kružnicím lze považovat za speciální případy rodiny kružnic tečných zevnitř nebo vně obou kružnic, zatímco vnitřní tečné přímky lze považovat za zvláštní případy rodiny kružnic tečných k jedné kružnici od vnitřní a s vnější stranou druhého) [3] .

V Möbiově geometrii nebo inverzní geometrii jsou čáry považovány za kruhy vycentrované „v nekonečnu“ a pro jakoukoli linii a pro jakýkoli kruh existuje Möbiova transformace , která vezme jedno číslo k jinému. V Möbiově geometrii se tečnost přímky a kružnice stává speciálním případem tečnosti dvou kružnic. Tato ekvivalence je dále rozvinuta v Lieově sférické geometrii .

Poznámky

↑ Alexander Bogomolny, "Když je čtyřúhelník nepopsatelný?" na Cut-the-uzel . Získáno 17. dubna 2015. Archivováno z originálu 22. prosince 2015. (neurčitý)
↑ Pavel Kunkel. Tečné kruhy . whistleralley.com. Získáno 29. září 2008. Archivováno z originálu 15. srpna 2019. (neurčitý)
↑ Kunkel, 2007 , s. 34–46.

Literatura

Pavel Kunkel. Problém tečnosti Apollonia: tři pohledy // Bulletin BSHM : Journal of the British Society for the History of Mathematics . - 2007. - T. 22 , no. 1 . - doi : 10.1080/17498430601148911 .
David Fraivert. Vlastnosti tečen ke kružnici, která tvoří Pascalovy body po stranách konvexního čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2017. - Sv. 17. - S. 223-243.
Šlomo Libeskind. Euklidovská a transformační geometrie: Deduktivní dotaz . — 2007.

Viz také

Odkazy

Weisstein, Eric W. Tečné čáry k jednomu kruhu (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Tečné čáry ke dvěma kružnicím (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .