Polární a polární

Polára bodu P vzhledem k nedegenerované křivce 2. řádu  je množina bodů N , které jsou harmonicky konjugované s bodem P vzhledem k bodům M 1 a M 2 průsečíku 2. řádu. křivka sečnami procházejícími bodem P [1] .

Polární je přímka. Bod P se nazývá pól poláry. Libovolná nedegenerovaná přímka 2. řádu definuje bijekci bodů projektivní roviny a množinu jejích přímek - polaritu nebo polární transformaci .

Vlastnosti

• Leží -li bod P „mimo“ přímku 2. řádu (tedy bodem P lze vést dvě tečny k přímce ), pak polára prochází 2 body dotyku této přímky 2. řádu s přímkou. čáry procházející bodem P. Například na Obr. vpravo je znázorněna konstrukce poláry bodu P vzhledem k červené kružnici v podobě modré tětivy NN' . K němu je zobrazena 1 zelená tečna PN .
• Leží -li bod P na křivce 2. řádu, pak je polára přímkou ​​tečnou k dané křivce v tomto bodě.
• Polára bodu P prochází svou inverzí vzhledem k příslušné křivce. Navíc, pokud polára protíná tuto křivku ve dvou bodech, pak je inverze středem tětivy končící v těchto bodech. Například na Obr. vpravo P' je inverze bodu P vzhledem k červenému kruhu.
• Poláry všech bodů ležících na přímce procházející středem příslušné křivky jsou vzájemně rovnoběžné. V případě paraboly je střed uvažován v nekonečnu, přímka musí být rovnoběžná s její osou.
• Pokud polára bodu P prochází bodem Q , pak polára bodu Q prochází bodem P.

Trilineární trojúhelníkové poláry

Pokud budeme pokračovat ve stranách cevianského trojúhelníku nějakého bodu a vezmeme jejich průsečíky s odpovídajícími stranami, pak výsledné průsečíky budou ležet na jedné přímce, nazývané trilineární polára původního bodu.

• Ortocentrická osa  - trilineární polára ortocentra
• Trilineární polára středu vepsané kružnice je osou vnějších os .
• Trilineární poláry bodů ležících na opsané kuželosečce se protínají v jednom bodě (u opsané kružnice je to Lemoinův bod , u opsané Steinerovy elipsy  je to těžiště ) .
• Cevian trojúhelník  je trojúhelník, jehož tři vrcholy jsou tři cevian základny původního trojúhelníku.

Historie

Termín „polární“ zavedl Gergonne .

Variace a zobecnění

Podobně je definována polární (polární rovina) určitého bodu vzhledem k nedegenerované ploše 2. řádu.

Pojem poláry vzhledem k přímce druhého řádu je zobecněn na čáry n-tého řádu. V tomto případě je daný bod roviny spojen s n -1 polárami vzhledem k přímce n-tého řádu. První z těchto polár je přímka řádu n -1, druhá, která je polárou daného bodu vzhledem k první polární, má řád n -2 atd., a konečně ( n -1) polární je přímka.

• Trilineární polární bod Y izogonálně konjugovaný s bodem X se nazývá centrální čára bodu X.
• Pojem středové linie bodu X představil Clark Kimberling ve svých článcích [2] [3] .

Viz také

• Trilineární trojúhelníkové poláry
• Středová čára (geometrie)

Poznámky

1. ↑ Savelov A. A. Pozoruhodné křivky. Tomsk: Kr. prapor, 1938
2. ↑ Kimberling, Clark. Centrální body a centrální přímky v rovině trojúhelníku  // Magazín Matematika  : časopis  . - 1994. - Červen ( roč. 67 , č. 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
3. ↑ Kimberling, Clark. Středy trojúhelníků a střední trojúhelníky  (neopr.) . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - S. 285.

Literatura

• S. Ts. Kharalampiev, Polák a polární vzhledem ke kruhu ,  Kvant . - 1986. - č. 7 . - S. 32-34 .
• Efimov N.V., Vyšší geometrie , 6. vydání, M., 1978;
• Postnikov M.M., Analytická geometrie , M., 1973