Trilineární trojúhelníkové poláry

Trilineární poláry trojúhelníku jsou některé speciální typy přímek spojených s rovinou trojúhelníku a ležících v rovině trojúhelníku. Trilineární polára bodu Y (pól) vzhledem k nedegenerovanému trojúhelníku je přímka definovaná následující konstrukcí. Pokud budeme pokračovat ve stranách cevického trojúhelníku nějakého bodu a vezmeme jejich průsečíky s odpovídajícími stranami, pak výsledné průsečíky budou ležet na jedné přímce, nazývané trilineární počáteční bod (na obrázku je znázorněna konstrukce trilineárního polárního EDF červeného bodu Y ). Cevian trojúhelník je trojúhelník, jehož tři vrcholy jsou tři cevian základny původního trojúhelníku.

Vlastnosti

Trilineární polární EDF protíná tři prodloužení tří stran nosného trojúhelníku ABC ve třech bodech tak, že spolu se dvěma konci stran trojúhelníku a s odpovídající základnou jednoho ze tří cevianů tvoří harmonický čtyři body ležící na každé ze tří stran, včetně jejich prodloužení. Na Obr. vpravo nad nimi jsou tři harmonické čtyřky bodů: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.

Příklady polárních trilineárních trojúhelníků

• Trilineární polára středu vepsané kružnice (střed) je osou vnějších os nebo antiorthickou osou DEF (antiorthic axis) (viz obr.). Leží na něm všechny tři základny D , E a F tří vnějších os AD , CE a BF vnějších úhlů trojúhelníku ABC .

• Ortická osa - trilineární polára ortocentra (viz obr.)

• Přímka v nekonečnu  je trilineární polára těžiště (viz obrázek)

• Trilineární polární bod Lemoine je osa Lemoine (viz obr.)

• Trilineární polára středu kružnice opsané je přímka EDF (viz obr.)

• Trilineární polární bod Kosnitu , izogonálně konjugovaný se středem kruhu devíti bodů , je přímka EDF (viz obr.)

• Trilineární poláry bodů ležících na opsané kuželosečce se protínají v jednom bodě (u opsané kružnice je to Lemoinův bod , u opsané Steinerovy elipsy  je to těžiště )
• Složení izogonální (nebo izotomické ) konjugace a trilineární polární je transformací duality . To znamená, že pokud bod izogonálně ( izotomicky ) konjugovaný s bodem leží na trilineární poláre bodu , pak trilineární polára bodu izogonálně ( izotomicky ) sdružený s bodem leží na trilineární poláre bodu .

Ortocentrický  – červeně je znázorněna trilineární polára ortocentra .

Variace a zobecnění

• Existuje také koncept poláry bodu P vzhledem k nedegenerované křivce druhého řádu .
• Trilineární polární bod Y , který je izogonálně sdružený s bodem X trojúhelníku, se nazývá středová čára bodu X [1] [2] .

Viz také

• Středová čára (geometrie)
• Polární a polární

Poznámky

1. ↑ Kimberling, Clark. Centrální body a centrální přímky v rovině trojúhelníku  // Magazín Matematika  : časopis  . - 1994. - Červen ( roč. 67 , č. 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
2. ↑ Kimberling, Clark. Středy trojúhelníků a střední trojúhelníky  (neopr.) . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - s. 285. Archivováno 10. března 2016 na Wayback Machine