Lemoine bod

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 7 úprav .

Lemoine bod
Trojúhelník se třemi (azurovými) mediány , se třemi (zelenými) osami úhlu a se třemi (červenými) symediány . Symmediány se protínají v Lemoinově bodě L , úsečky úhlu se protínají ve středu I a mediány se protínají v těžišti G.
barycentrické souřadnice	$a^{2}:b^{2}:c^{2}$
Trilineární souřadnice	$a:b:c$
ECT kód	X(6)
Spojené tečky
izogonálně konjugovat	těžiště
izotomicky konjugované	Brokarův třetí bod

Lemoine bod (průsečík simediánů, Grebeho bod, označovaný nebo ) je jedním z pozoruhodných bodů trojúhelníku . $K$ $L$

Definice

Bod Lemoine má tři ekvivalentní definice:

průsečík čar spojujících každý vrchol trojúhelníku s průsečíky tečen k opsané kružnici nakreslené z ostatních dvou vrcholů.
symmedian průsečík .
průsečík čar spojujících středy stran trojúhelníku se středy jim odpovídajících výšek.

Tvrzení, že první dvě definice jsou ekvivalentní, se nazývá symmediánská věta .

Důkaz

Dovolit být průsečíkem tečen ve vrcholech a k opsané kružnici, být středem strany . Potom, protože je polára bodu vzhledem k kružnici opsané, a je základna kolmice na stranu od středu kružnice opsané. Z definice polární vyplývá, že body a jsou symetrické vzhledem ke kružnici . Nechť bod je středem oblouku kružnice opsané, která neobsahuje bod . Potom , to znamená, že přímka a medián jsou symetrické vzhledem k ose . Další dvě takto konstruované čáry jsou podobně symetrické jako mediány. Ale jejich průsečík je bod Lemoine, což znamená, že bod Lemoine je izogonálně konjugovaný s bodem průsečíku mediánů a je průsečíkem simediánů. $A_{1}$ $B$ $C$ $DOPOLEDNE}$ $před naším letopočtem$ $před naším letopočtem$ $A_{1}$ $DOPOLEDNE}$ $před naším letopočtem$ $A_{1}$ $DOPOLEDNE}$ $A_0$ $před naším letopočtem$ $A$ $\úhel A_{0}AA_{M}=\úhel A_{0}AA_{1}$ $AA_{1}$ $AA_{M}$ $AA_{0}$

Lemoine šestiúhelník vepsaný do daného referenčního trojúhelníku

Lemoine šestiúhelník je šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kruh. Jeho vrcholy jsou šesti průsečíky stran trojúhelníku se třemi přímkami, které jsou rovnoběžné se stranami a které procházejí jeho Lemoinovým bodem . V každém trojúhelníku je Lemoinův šestiúhelník uvnitř trojúhelníku se třemi páry vrcholů ležících ve dvojicích na každé straně trojúhelníku.

Lemoine kruhy

Lemoine dokázal, že pokud přímky procházejí Lemoinovým bodem rovnoběžným se stranami trojúhelníku, pak šest průsečíků přímek a stran trojúhelníku leží na stejné kružnici, nebo že leží na kružnici. [1] . Tento kruh je nyní známý jako první kruh nebo Lemoine circle , nebo jednoduše Lemoine circle . [2] . Jinými slovy, Lemoine šestiúhelník , jak je definován výše, je vepsán do Lemoine kruhu .

Historie

Lemoine Point byl poprvé objeven ( 1809 ) švýcarským geometrem a topologem Simonem Antoine Jean Luillierem . Tento bod byl předmětem studie ( 1847 ) Ernsta Wilhelma Grebeho (Grebe) , podle něhož byl v Německu nazýván Grebe point. Bod je pojmenován po francouzském geometrovi Émile Lemoine , který publikoval důkaz o existenci bodu ( 1873 ). Ross Honsberger označil existenci bodu Lemoine za „jeden z klenotů v koruně moderní geometrie“. [3]

Vlastnosti

Součet čtverečních vzdáleností od bodu v rovině ke stranám trojúhelníku je minimální, když je tímto bodem bod Lemoine .
Vzdálenosti od bodu Lemoine ke stranám trojúhelníku jsou úměrné délkám stran.
Bod Lemoine je průsečík střednic trojúhelníku tvořeného průměty bodu Lemoine na strany. Navíc je takový bod jedinečný.
Bod Lemoine je Gergonnův bod trojúhelníku tvořeného tečnami k opsané kružnici ve vrcholech trojúhelníku. Tento trojúhelník se nazývá tangenciální trojúhelník .
Lemoinův bod je izogonálně konjugován s průsečíkem mediánů
Bod Lemoine je izotomicky konjugován se svým Brocardovým bodem (třetí bod označený X(76) v Encyclopedia of Triangle Centers).
Lemoine bod je antiperspektiva opsané kružnice. Trilineární poláry bodů na kružnici opsané procházejí Lemoinovým bodem.

Kruh postavený na segmentu ( je středem opsané kružnice) jako na průměru obsahuje body Brocard . Tento kruh se nazývá Brocardův kruh . $OK$ $Ó$
Přímka se nazývá Brocardova osa . Obsahuje Apolloniovy body a je izogonálně konjugován s Kiepertovou hyperbolou . $OK$
Dva Torricelliho body a Lemoineův bod leží na stejné přímce.
Apolloniovy body leží na spojnici středu opsané kružnice k bodu Lemoine . Tato čára se nazývá Brocardova osa .
Při projektivních transformacích , které zachovávají kružnici opsanou trojúhelníku, se bod Lemoine přesune do bodu Lemoine na obrázku tohoto trojúhelníku.
Elipsa s ohnisky v Brocardových bodech se nazývá Brocardova elipsa . Jeho perspektivou je bod Lemoine [4] .

Dva kruhy Lemoine

Pokud nakreslíme segmenty přes bod Lemoine rovnoběžné se stranami trojúhelníku s konci na stranách, pak konce těchto segmentů budou ležet na stejném kruhu (na prvním kruhu Lemoine ). Střed první kružnice Lemoine je středem segmentu, který spojuje střed opsané kružnice trojúhelníku s bodem Lemoine . [5]
Pokud nakreslíme bodem Lemoine segmenty , které jsou antiparalelní ke stranám trojúhelníku, s konci na stranách, pak konce těchto segmentů budou ležet na stejném kruhu (na druhém kruhu Lemoine ). Jeho středem bude bod Lemoine . [6]

Souřadnice

Trilineární souřadnice bodu Lemoine jsou , $(a:b:c)$
barycentrický - . $(a^{2}:b^{2}:c^{2})$

Odkazy

Lemoine bod

Poznámky

↑ Soud Nathana Altshillera. College Geometry (neopr.) . - 2. - New York: Barnes and Noble, 1969. - ISBN 0-486-45805-9 .
↑ Lachlan, Robert. Elementární pojednání o moderní čisté geometrii . — Cornell University Library, 1893. - ISBN 978-1-4297-0050-4 .
↑ Honsberger, Ross (1995), Kapitola 7: The Symmedian Point, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: Mathematical Association of America .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vyd., příloha .. - 2011. - S. 50.
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. 2. vyd. M .: Uchpedgiz, 1962. S. 108-110, s. 94-96, peklo. 80-81
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. 2. vyd. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 111, s. 98