Cypertova hyperbola

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. února 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Kiepertova hyperbola je hyperbola definovaná daným trojúhelníkem . Pokud je v obecné poloze trojúhelník, pak je tato hyperbola jedinou kuželosečkou procházející jejími vrcholy, ortocentrem a těžištěm .

Definice pomocí izogonální konjugace

Kiepertova hyperbola je křivka izogonálně konjugovaná s přímkou procházející Lemoinovým bodem a středem kružnice opsané daného trojúhelníku.

Přímka procházející středem opsané kružnice a bodem Lemoine se nazývá Brocardova osa . Leží na něm Apolloniovy body . Jinými slovy, Kiepertova hyperbola je křivka izogonálně konjugovaná s Brocardovou osou daného trojúhelníku.

Definice z hlediska trojúhelníků v trilineárních souřadnicích

Definice z hlediska trojúhelníků v trilineárních souřadnicích [1] :

Pokud jsou tři trojúhelníky , postavené na stranách trojúhelníku , podobné , rovnoramenné se základnami na stranách původního trojúhelníku a stejně umístěné (to znamená, že jsou všechny postaveny buď zvenčí nebo zevnitř), pak čáry a protínají se v jednom bodě .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Potom lze jako těžiště bodů definovat Kiepertovu hyperbolu (viz obr.).

N

Pokud je společný úhel na základně , pak vrcholy tří trojúhelníků mají následující trilineární souřadnice: $\theta$

$X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )$

Trilineární souřadnice libovolného bodu N ležícího na Kiepertově hyperbole

(\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ))

Kiepertova hyperbola rovnice v trilineárních souřadnicích

Umístění bodů , když se úhel změní na základně trojúhelníků mezi a je Kiepertova hyperbola s rovnicí $N$ $\theta$ $-\pi /2$ $\pi/2$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0

kde , , jsou trilineární souřadnice bodu v trojúhelníku. $X$ $y$ $z$ $N$

Známé body na hyperbole Kiepert

Mezi body ležícími na Kiepertově hyperbole jsou takové důležité body trojúhelníku [2] :

Význam $\theta$	Tečka $N$
$0$	$G$ , těžiště trojúhelníku (X2) $ABC$
$\pi/2$ (nebo ) $-\pi /2$	$Ó$ , trojúhelníkové ortocentrum (X4) $ABC$
$\operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]$ [3]	Spieker Center (X10)
$\pi /4$	Vecten body (X485)
$-\pi /4$	Vecten body (X486)
$\pi /6$	$N_1$ , první bod Napoleona (X17)
$-\pi /6$	$N_2$ , druhý Napoleonův bod (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$ , první Fermatův bod (X13)
$-\pi /3$	$F_{2}$ , druhý Fermatův bod (X14)
$-A$ (pokud ) (pokud ) $A<\pi /2$ $\pi -A$ $A>\pi /2$	Vrchol $A$
$-B$ (pokud ) (pokud ) $B<\pi /2$ $\pi -B$ $B>\pi /2$	Vrchol $B$
$-C$ (pokud ) (pokud ) $C<\pi /2$ $\pi -C$ $C>\pi /2$	Vrchol $C$

Seznam bodů ležících na Kiepertově hyperbole

Kiepertova hyperbola prochází následujícími středy trojúhelníku X(i) [3] :

pro i=2, ( těžiště trojúhelníku ),
i=4 ( ortocentrum ),
i=10 ( Spiekerův střed ; tedy střed trojúhelníku s vrcholy ve středních bodech stran daného trojúhelníku ABC [1] ),
i=13 (první Fermatův bod ), i=14 (druhý Fermatův bod ),
i=17 ( první Napoleonův bod ), i=18 ( druhý Napoleonův bod ),
i=76 (třetí Brocardův bod ),
i=83 (bod izogonálně konjugovaný se středem mezi body Brocard [1] ),
i=94, 96,
i=98 ( bod dehtu = bod dehtu),
i=226, 262, 275, 321,
i=485 ( externí bod Vecten ), i=486 ( vnitřní bod Vecten ),
i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
i=1139 (bod vnitřního pětiúhelníku), i=1140 (bod vnějšího pětiúhelníku),
i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
i=2671 (první zlatý bod arbelos=první zlatý bod arbelos),
i=2672 (druhý zlatý bod arbelos=druhý zlatý bod arbelos),
i=2986,2996

Zobecnění Leicesterovy věty ve formě věty B. Giberta (2000)

Věta B. Giberta (2000) zobecňuje Leicesterovu větu o kružnici , konkrétně: každá kružnice, jejíž průměr je tětivou Kiepertovy hyperboly trojúhelníku a je kolmá k jeho Eulerově přímce , prochází Fermatovými body [4] [5] .

Historie

Tato hyperbola byla pojmenována podle německého matematika Friedricha Wilhelma Augusta Ludwiga Kieperta , který ji objevil (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934) [1] .

Vlastnosti

Kiepertova hyperbola je rovnostranná nebo rovnostranná (to znamená, že její asymptoty jsou kolmé), proto její střed, označený v Encyklopedii středisek trojúhelníků jako X (115), leží na Eulerově kružnici .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994 , str. 188-205.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ B. Gibert (2000): [Zpráva 1270] . Vstup do online fóra Hyacintos, 22.08.2000. Zpřístupněno dne 2014-10-09.
↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalisations Archived 7 October 2021 at Wayback Machine . Forum Geometricorum, ročník 10, strany 175-209. MR : 2868943

Literatura

Eddy R. H., Fritsch R. . Kuželosečky Ludwiga Kieperta: Komplexní lekce z geometrie trojúhelníku // Math Magazine , 1994, 67 . - S. 188-205.