Izotomická konjugace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. října 2013; kontroly vyžadují 15 úprav .

V planimetrii je konjugace izotomie jednou z transformací roviny vytvořené trojúhelníkem ABC daným na rovině .

Definice

Nechť je dán trojúhelník , ve kterém - střed strany , - střed a - střed strany . Nechť je také vybrán libovolný bod v rovině neležící na přímkách obsahujících jeho strany. Pak zvažte čáry a . Nechte je protínat přímky obsahující opačné strany trojúhelníku v bodech , a (pokud se ukáže, že přímky jsou rovnoběžné, za průsečík se považuje bod v nekonečnu přímky). Podle Cevovy věty . Pokud se nyní body , a symetricky odrážejí vzhledem k , respektive , dostaneme body , a (bod v nekonečnu přechází do sebe). Vzhledem k tomu , a totéž pro ostatní dvojice bodů, získáme a podle stejné věty Ceva , čáry , A protínají se v jednom bodě . Tento bod se nazývá izotomicky konjugovaný bod s ohledem na trojúhelník . $ABC$ $A_0$ $před naším letopočtem$ $B_{0}$ $AC$ $C_{0}$ $AB$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $A_0$ $B_{0}$ $C_{0}$ $A_{2}$ $B_{2}$ $C_{2}$ $AC_1=BC_2$ $AC_2=BC_1$ $1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC_2}{C_2A}\cdot\frac{CA_2}{A_2B}\ cdot\frac{AB_2}{B_2C}$ $AA_2$ $BB_2$ $CC_{2}$ $P'$ $P$ $ABC$

Izotomická konjugace stanoví vzájemnou shodu mezi body roviny s vyloučenými čarami , a . Na těchto řádcích není korespondence jedna ku jedné, protože jakýkoli bod přímky odpovídá vrcholu (a naopak, vrcholu - libovolnému bodu ), a tak dále. $AB$ $před naším letopočtem$ $AC$ $před naším letopočtem$ $A$ $A$ $před naším letopočtem$

Souřadnice

Jestliže barycentrické souřadnice bodu jsou , pak barycentrické souřadnice izotomicky konjugovaného bodu jsou . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{p}:\frac1{q}:\frac1{r}\right)$

Jestliže trilineární souřadnice bodu jsou , pak trilineární souřadnice bodu izotomicky konjugované k němu jsou . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{a^2p}:\frac1{b^2q}:\frac1{c^2r}\right)$

Jiná definice

Pokud místo symetrického cevianu vezmeme cevian, jehož základna je stejně daleko od středu strany jako základna původního, pak se takové cevian také protnou v jednom bodě. Výsledná transformace se nazývá izotomická konjugace . Také mapuje čáry na opsané kuželosečky . Při afinních transformacích se izotomicky sdružené body změní na izotomicky sdružené body . S izotomickou konjugací půjde popisovaná Steinerova elipsa k přímce v nekonečnu .

Vlastnosti

Izotomická konjugace je involuce , to znamená, že její čtverec je triviální.

Pevné body (tedy přecházející do sebe) izotomické konjugace jsou těžiště (jiná jména: barycentrum nebo těžiště, to znamená průsečík střednic) trojúhelníku a body symetrické k vrcholům trojúhelníku. trojúhelník vzhledem ke středům protilehlých stran. $ABC$
Body Gergonne a Nagel jsou izotomicky konjugované .
Lemoinův bod (průsečík simediánů) trojúhelníku je izotomicky konjugován s jeho Brocardovým bodem .
Průsečík úseček ( střed ) je izotomicky konjugován s průsečíkem úseček ,
Čáry obecné polohy vzhledem k trojúhelníku pod izotomickou konjugací jdou do kuželoseček popsaných kolem něj a naopak.

Izotomická konjugace

Definice

Souřadnice

Jiná definice

Vlastnosti

Viz také

Odkazy