Střed vepsané kružnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Střed vepsané kružnice
Kruh vepsaný do trojúhelníku $ABC$
barycentrické souřadnice	$a:b:c$
Trilineární souřadnice	1:1:1
ECT kód	X(1)
Spojené tečky
izogonálně konjugovat	je
další	Spiekerovo centrum
antikomplementární	Nagelův bod
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Střed vepsané kružnice trojúhelníku ( incenter ) je jedním z pozoruhodných bodů trojúhelníku , průsečíkem os trojúhelníku . Střed kruhu vepsaného do trojúhelníku se také někdy nazývá incenter .

Tradičně se označuje latinským písmenem (prvním písmenem anglického slova „Incenter“). V Encyclopedia of Triangle Centers je uveden pod symbolem . $já$ $X(1)$

Vlastnosti

Střed vepsané kružnice trojúhelníku je stejně vzdálen od všech stran trojúhelníku.

U trojúhelníku se stranami , a , opačnými vrcholy , respektive , střed rozděluje sečnu úhlu ve vztahu k: $\trojúhelník ABC$ $A$ $b$ $C$ $A$ $B$ $C$ $A$ $\frac{b+c}{a}$ .

Pokud pokračování osy úhlu protíná kružnici opsanou v bodě , pak platí rovnost: , kde je střed tečny kružnice ke straně ; tato vlastnost incenteru je známá jako trojlístkový teorém (také lemma trojzubce , Kleinerova věta ). $B$ $\trojúhelník ABC$ $D$ $DA=DC=DI=DJ$ $J$ $AC$

Vzdálenost mezi středem a středem kružnice opsané je vyjádřena Eulerovým vzorcem : $já$ $Ó$ $OI^2=R^2-2Rr$ ,

kde a jsou poloměry opsané a vepsané kružnice.

R

r

Kolmice zvednuté ke stranám trojúhelníku v bodech dotyku kružnic se protínají v jednom bodě. Tento bod je symetrický ke středu kružnice opsané vzhledem ke středu kružnice opsané [1] .

Střed lze nalézt jako těžiště vrcholů trojúhelníku, pokud je na každý vrchol umístěna hmota rovna délce protější strany (viz také Spiekerův střed ).

Střed daného trojúhelníku je Nagelovým bodem trojúhelníku tvořeného jeho 3 střednicemi ( střed trojúhelníku ). [2]

Verrierovo lemma [3] . Tečné body Verrierových kružnic (půlkruhů) se stranami leží na přímce, která prochází středem vepsané kružnice ( incenter ) (viz šedý obrázek níže).

Rigbyho věta . Nakreslíme-li výšku a kružnici , která se jí dotýká na druhé straně na kteroukoli stranu ostroúhlého trojúhelníku , pak bod dotyku této strany s touto stranou, střed zmíněné výšky a také střed leží na jedné straně. přímka. [4] .

- Z Rigbyho věty vyplývá, že 3 úsečky spojující střed každé ze 3 výšek trojúhelníku s bodem dotyku kružnice nakreslené na stejnou stranu jako výška se protínají ve středu .

Theboova třetí věta . Dovolit být libovolný trojúhelník , být libovolný bod na straně , být středem kružnice tečné k segmentům a opsané kolem kruhu, být střed kruhu tečné k segmentům a opsané kolem kruhu. Poté segment prochází bodem - středem kružnice vepsané v , a zároveň , kde . $ABC$ $D$ $před naším letopočtem$ $I_1$ $AD,BD$ $\Delta ABC$ $já_{2}$ $CD,AD$ $\Delta ABC$ $já_{1}já_{2}$ $já$ $\Delta ABC$ $I_{1}I:II_{2}=\jméno operátora {tg}^{2}{\frac {\phi }{2))$ $\phi =\úhel BDA$
Slabé místo v trojúhelníku je takové, které dokáže najít dvojče svou ortogonální konjugací mimo trojúhelník. Například incenter , Nagel point a další jsou slabé stránky , protože umožňují získat podobné body, když jsou spárovány mimo trojúhelník. [5] .

Viz také

Poznámky

↑ Myakishev A. G. . Prvky geometrie trojúhelníku. - M. : MTSNMO, 2002. - 32 s. - (Knihovna "Matematická výchova", číslo 19). — ISBN 5-94057-048-8 . - S. 11, s. 5.
↑ Honsberger, R. . Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století. Washington, DC: Matematika. Doc. amer. 1995. S. 51, položka (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902. - S. 130. - 334 s.
↑ Ross Honsberger , „3. Nepravděpodobná kolinearita“ v „Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století“ (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 ), s. 30, Obrázek 34
↑ Myakishev A. Chůze v kruzích: od Eulera k Taylorovi // Matematika. Vše pro učitele! č. 6 (6). Červen. 2011. str. 11, pravý sloupec, 2. odstavec shora// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf

Literatura

Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M . : Vzdělávání , 1991. - S. 88-90. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní