Medián trojúhelníku

Medián trojúhelníku ( lat. mediāna - střed) je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Někdy se medián nazývá také čára obsahující tento segment. Průsečík mediánu se stranou trojúhelníku se nazývá základna mediánu .

Související definice

Průsečík mediánů rozděluje každý medián na dva segmenty. Úsek od vrcholu k průsečíku se nazývá premedián a úsek od průsečíku k protější straně je postmedián . [1] Konkrétně můžeme říci, že v libovolném trojúhelníku je poměr premediánu k postmediánu roven dvěma .

Vlastnosti

Hlavní vlastnost

Všechny tři mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě , který se nazývá těžiště nebo těžiště trojúhelníku, a jsou tímto bodem rozděleny na dvě části v poměru 2:1, počítáno shora.

Vlastnosti mediánů rovnoramenného trojúhelníku

V rovnoramenném trojúhelníku jsou dva mediány nakreslené na stejné strany trojúhelníku stejné a třetí medián je jak osa , tak výška . Platí to i naopak: jsou-li dva mediány v trojúhelníku stejné, pak je trojúhelník rovnoramenný a třetí medián je jak osa, tak výška úhlu na jeho vrcholu.

V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny tři mediány stejné.

Vlastnosti bází mediánů

Eulerova věta pro kružnici o devíti bodech : základny tří výšek libovolného trojúhelníku, středy jeho tří stran ( základny jeho mediánů ) a středy tří segmentů spojujících jeho vrcholy s ortocentrem , všechny leží na stejné kružnici (tzv. kružnici devíti bodů ).
Segment tažený základnami libovolných dvou mediánů trojúhelníku je jeho střední čára . Středová čára trojúhelníku je vždy rovnoběžná se stranou trojúhelníku, se kterou nemá žádné společné body.
- Důsledek ( Thálesova věta o rovnoběžných úsecích). Středová čára trojúhelníku je polovina délky strany trojúhelníku, se kterou je rovnoběžná.
Terkem dokázal Terkemovu větu . [2] Uvádí, že pokud kružnice o devíti bodech protíná strany trojúhelníku nebo jejich prodloužení ve 3 párech bodů (ve 3 základnách výše a mediánů), které jsou základnami 3 párů cevianů, pak pokud 3 ceviany protože 3 z těchto základen se protínají v 1 bodě (například 3 mediány se protínají v 1 bodě), pak se 3 ceviany pro 3 další základny také protínají v 1 bodě (tj. 3 výšky se musí také protínat v 1 bodě).

Další vlastnosti

Pokud je trojúhelník zmenšený (nerovnostranný ) , pak jeho osa nakreslená z libovolného vrcholu leží mezi mediánem a výškou nakreslenou ze stejného vrcholu.
Medián rozděluje trojúhelník na dva stejné (v ploše) trojúhelníky.
Trojúhelník je rozdělen třemi mediány na šest trojúhelníků o stejné ploše. Středy opsaných kružnic těchto šesti trojúhelníků leží na stejné kružnici, která se nazývá Lamunova kružnice .
Ze segmentů tvořících mediány můžete vytvořit trojúhelník, jehož plocha se bude rovnat 3/4 celého trojúhelníku. Střední délky splňují trojúhelníkovou nerovnost .
V pravoúhlém trojúhelníku je medián nakreslený z vrcholu s pravým úhlem polovina přepony.
Delší strana trojúhelníku odpovídá menšímu mediánu.
Segment přímky, který je symetrický nebo izogonálně konjugovaný s vnitřním mediánem vzhledem k vnitřní ose, se nazývá symedián trojúhelníku. Tři simediáni procházejí jedním bodem - bodem Lemoine .
Medián úhlu trojúhelníku je izotomicky konjugován sám se sebou.

Trilineární polára těžiště (průsečíky tří mediánů) je přímka v nekonečnu (viz obr.).

Základní poměry

Pro výpočet délky mediánu, když jsou známy délky stran trojúhelníku, se použije Apolloniova věta (odvozená Stewartovou větou nebo rozšířením na rovnoběžník a použitím rovnosti v rovnoběžníku součtu čtverců stran a součet čtverců úhlopříček):

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},

kde jsou mediány ke stranám trojúhelníku, resp.

{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c))

a,\ b,\ c

Konkrétně součet čtverců mediánů libovolného trojúhelníku je 3/4 součtu čtverců jeho stran:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2} )

Naopak lze vyjádřit délku libovolné strany trojúhelníku pomocí mediánů:

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} ,

kde jsou mediány odpovídajících stran trojúhelníku, jsou strany trojúhelníku.

m_{a},m_{b},m_{c}

a,b,c

Plocha libovolného trojúhelníku, vyjádřená jako délka jeho mediánů: $S$

S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) ),

kde je polovina součtu délek mediánů.

\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2

Variace a zobecnění

Ceviana je úsečka v trojúhelníku , která spojuje vrchol trojúhelníku s bodem na opačné straně.

Viz také

Poznámky

↑ Starikov V.N. 10. studie o geometrii (§ Před- (pre-)- a po-Cevians) // Vědecký recenzovaný elektronický časopis Moskevské státní agrární univerzity „Věda a vzdělávání“. 2020. č. 1. 7 s.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
↑ Dmitrij Efremov . Nová geometrie trojúhelníku archivována 25. února 2020 na Wayback Machine . - Oděsa, 1902. - S. 16.

Literatura

Efremov Dm. Nová geometrie trojúhelníku , 1902.

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní