Thalesova věta o proporcionálních úsecích

Thalesova věta je planimetrická věta o množině rovnoběžných sečnic k páru přímek.

Formulace

Pokud je na jedné ze dvou přímek položeno několik za sebou následujících stejných segmentů a jejich konce jsou nakresleny rovnoběžné čáry, které protínají druhou přímku, odříznou navzájem stejné segmenty na druhé přímce.

Obecnější formulace, nazývaná také teorém proporcionálního segmentu

Paralelní sečny tvoří proporcionální segmenty na přímkách :

{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}= {\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.

Poznámky

Ve větě nejsou žádná omezení pro vzájemné uspořádání sečen (platí jak pro protínající se přímky, tak pro rovnoběžné). Nezáleží také na tom, kde jsou úsečky.

Thalesova věta je speciálním případem věty o proporcionálních segmentech, protože stejné segmenty lze považovat za proporcionální segmenty s koeficientem proporcionality rovným 1.

Důkaz v případě neparalelních vedení

Zvažte variantu s nesouvislými dvojicemi segmentů: nechte úhel protínat přímky a zároveň . $AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}$ $AB = CD$

Nakreslete body a přímky rovnoběžné s druhou stranou úhlu. a . Podle vlastnosti rovnoběžníku: a . $A$ $C$ $AB_{2}B_{1}A_{1}$ $CD_{2}D_{1}C_{1}$ $AB_{2}=A_{1}B_{1}$ $CD_{2}=C_{1}D_{1}$
Trojúhelníky a jsou si rovny na základě druhého testu na rovnost trojúhelníků $\bigtriangleup ABB_{2}$ $\bigtriangleup CDD_{2}$

Důkaz v případě rovnoběžných čar

Nakreslíme čáru BC . Úhly ABC a BCD jsou stejné jako vnitřní kříže ležící pod rovnoběžkami AB a CD a sečna BC a úhly ACB a CBD jsou stejné jako vnitřní kříže ležící pod rovnoběžkami AC a BD a sečnou BC . Potom podle druhého kritéria rovnosti trojúhelníků jsou trojúhelníky ABC a DCB shodné. Z toho vyplývá, že AC = BD a AB = CD . ■

Historie

Tato věta je připisována řeckému matematikovi a filozofovi Thalesovi z Milétu . Podle legendy vypočítal Thales z Milétu výšku Cheopsovy pyramidy tak, že změřil délku jejího stínu na zemi a délku stínu hole známé výšky. Nejdříve známý písemný důkaz tohoto teorému je dán v Euklidově Principia ( Proposition 2 knihy VI).

Variace a zobecnění

Inverzní věta

Pokud v Thalesově teorému stejné segmenty začínají od vrcholu (tato formulace se často používá ve školní literatuře), pak se obrácená věta také ukáže jako pravdivá. Pro protínající se sečny je to formulováno takto:

Pokud čáry protínající dvě další čáry (paralelní nebo ne) odříznou stejné (nebo proporcionální) segmenty na obou z nich, počínaje vrcholem, pak jsou takové čáry rovnoběžné.

Tedy (viz obr.) z toho, že , vyplývá, že . ${\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots$ $A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots$

Jsou-li sečny rovnoběžné, pak je nutné požadovat, aby si úsečky na obou sečnech byly navzájem rovné, jinak se toto tvrzení stává nepravdivým (protipříkladem je lichoběžník protnutý úsečkou procházející středy základen).

Tato věta se používá v navigaci: kolize lodí pohybujících se konstantní rychlostí je nevyhnutelná, pokud je zachován směr z jedné lodi na druhou.

Sollertinského lemma

Následující tvrzení je duální k Sollertinského lemmatu :

Dovolit být projektivní korespondence mezi body čáry a čáry . Pak množina čar bude množinou tečen k nějaké (možná degenerované) kuželosečce . $F$ $l$ $m$ $Xf(X)$

V případě Thalesovy věty bude kuželosečkou bod v nekonečnu odpovídající směru rovnoběžných čar.

Toto prohlášení je zase omezujícím případem následujícího prohlášení:

Nechť je projektivní transformace kuželosečky. Pak bude obálka množiny čar kuželosečka (možná degenerovaná). $F$ $Xf(X)$

V kultuře

Argentinská komediální hudební skupina Les Luthiers představila píseň věnovanou teorému [1] ;

Yoshikage Kira z mangy JoJo's Bizarre Adventure použil teorém uprostřed boje k výpočtu vzdálenosti k cíli.

Viz také

Thalesova věta o úhlu založeném na průměru kružnice

Poznámky

↑ Les Luthiers, Teorema de Thales, Aqui Les Luthiers na YouTube

Literatura

Geometrie podle Kiselyova , § 188.

Atanasyan L. S. a kol. , Geometrie 7-9. - Ed. 3. - M .: Vzdělávání, 1992.