Lemoine šestiúhelník

Lemoinův šestiúhelník [1] je šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kruh. Jeho vrcholy jsou šesti průsečíky stran trojúhelníku se třemi přímkami, které jsou rovnoběžné se stranami a které procházejí jeho Lemoinovým bodem . V každém trojúhelníku je Lemoinův šestiúhelník uvnitř trojúhelníku se třemi páry vrcholů ležících ve dvojicích na každé straně trojúhelníku.

V geometrii je (první) Lemoinův šestiúhelník šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kruh. Jeho vrcholy jsou šesti průsečíky stran trojúhelníku se třemi přímkami, které jsou rovnoběžné se stranami a které procházejí jeho Lemoinovým bodem . V každém trojúhelníku je Lemoinův šestiúhelník uvnitř trojúhelníku se třemi páry vrcholů ležících ve dvojicích na každé straně trojúhelníku. Existují dvě definice šestiúhelníku, které se liší v závislosti na pořadí, ve kterém jsou vrcholy spojeny.

Plocha a obvod

Lemoine šestiúhelník může být definován dvěma způsoby, nejprve jako jednoduchý šestiúhelník s vrcholy v průsečíkech, jak bylo definováno dříve. Druhým způsobem je samoprotínající se šestiúhelník s úsečkami procházejícími Lemoinovým bodem jako tři hrany a třemi dalšími hranami spojujícími dvojice sousedních vrcholů. Pro jednoduchý samodisjunktní šestiúhelník postavený uvnitř trojúhelníku s délkami stran a plochou je obvod dán vztahem: $a,b,c$ $\Delta$

{\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2))))

a oblast je dána takto:

S={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c ^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

Pro jednoduchý samoprotínající se šestiúhelník postavený uvnitř trojúhelníku je obvod dán takto:

p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2} }}

a oblast je dána takto:

S={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2 }+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

Opsaný kruh Lemoinského šestiúhelníku

V geometrii pět bodů definuje kuželosečku, takže libovolné množiny šesti bodů obecně neleží na kuželosečce, natož na kružnici. Lemoinův šestiúhelník (buď s pořadím spojení) je však vepsaný šestiúhelník, což znamená, že všechny jeho vrcholy leží na stejném kruhu. Kruh Lemoine šestiúhelníku je známý jako "první kruh Lemoine" .

Lemoineův druhý šestiúhelník

Druhý Lemoinův šestiúhelník [2] je šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kruh. Jeho vrcholy jsou šesti průsečíky stran trojúhelníku se třemi přímkami, které jsou antiparalelní ke stranám a které procházejí jeho Lemoinovým bodem.

Poznámky

↑ Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 109-110, s. 95-96, věty, důsledek.
↑ Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 111, s. 98, věta.

Odkazy

Casey, John (1888), Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circles , Pokračování prvních šesti knih o euklidovských prvcích, obsahujících snadný úvod do moderní geometrie s četnými příklady (5. vydání), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., s. 179ff , < https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179 > .
Lemoine, E. (1874), Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un trojúhelník , Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) , s. 90–95 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image > .
Mackay, JS (1895), Symmediáni trojúhelníku a jejich doprovodné kruhy , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society vol. 14: 37–103 , DOI 10.1017/S0013091500031758 .

Externí odkazy

Weisstein, Eric W. Lemoine Hexagon (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .