Antiparalelní linky

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. února 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Antiparalelní čáry - čáry, které svírají stejné úhly v průsečíku dvou daných přímek (nebo stran daného úhlu), ale z opačných stran (obr. 1).

Definice

Čáry a se nazývají antiparalelní vzhledem k čarám a , je-li na Obr. 1. Pokud se čáry a protínají v určitém bodě , pak a jsou také nazývány antiparalelní s ohledem na úhel . Pokud se přímky a shodují, pak se nazývají antiparalelní vzhledem k jedné přímce (obr. 2) [1] . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $\úhel 1=\úhel 2$ $m_1$ $m_2$ $Ó$ $l_{1}$ $l_{2}$ ${\displaystyle m_{1}\!Om_{2))$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$

Z definice je vidět, že na rozdíl od paralelismu je antiparalelnost dvou linií relativní pojem. Nemá smysl říkat „přímky a antiparalelky“, pokud není specifikováno s ohledem na který úhel nebo které dvě linie jsou antiparalelní. Při zvažování trojúhelníků se však často říká, že některá čára je „antiparalelní ke straně trojúhelníku“, přičemž se z toho vyplývá, že je s ní antiparalelní s ohledem na ostatní dvě strany . Takováto přímka se také nazývá antiparalelou trojúhelníku [2] . $l_{1}$ $l_{2}$

Vlastnosti

Pokud jsou čáry a antiparalelní vzhledem k a , pak jsou také antiparalelní vzhledem k a . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$
Dvě přímky jsou antiparalelní vzhledem k úhlu právě tehdy, když svírají stejný úhel, ale v opačných směrech, s osou tohoto úhlu (obr. 3). $l_{1}$ $l_{2}$
Dvě rovné linie, antiparalelní vzhledem ke stranám úhlu, na nich odříznou nepřímo úměrné segmenty. Naopak čáry s touto vlastností jsou antiparalelní. To okamžitě implikuje (podle teorému sekanty ), že

Průsečíky dvou párů antiparalelních čar leží na stejné kružnici. A naopak, pro jakýkoli čtyřúhelník vepsaný do kruhu jsou dvě protilehlé strany antiparalelní vzhledem k dalším dvěma stranám (obr. 4).

Všechny antiparalely k některé straně trojúhelníku jsou vzájemně rovnoběžné.
Pokud kružnice procházející vrcholy a trojúhelníku protíná strany a v bodech , respektive, pak je přímka antiparalelní . Pokud se poloměr kruhu zvětší tak, že také prochází vrcholem , pak se sečna stane tečnou v bodě . Tudíž, $B$ $C$ $ABC$ $AB$ $AC$ $D$ $F$ $DF$ $před naším letopočtem$ $A$ $DF$ $A$

Tečna ke kružnici opsané kolem trojúhelníku nakreslené v jednom z jeho vrcholů je antiparalelní k opačné straně. Proto
Poloměr kružnice opsané, vedené z vrcholu trojúhelníku, je kolmý ke všem přímkám antiparalelním k opačné straně.

Čára spojující základny dvou výšek trojúhelníku je antiparalelní ke třetí straně (protože základny výšek leží na kružnici nakreslené na této straně jako průměr), takže strany ortocentrického trojúhelníku jsou antiparalelní ke stranám původního trojúhelníku.

Historie

Výraz „antiparalelní“ zřejmě poprvé použil Leibniz ( Acta Eruditorum , 1691, str. 279), ale dal mu jiný význam. Definice antiparalelních čar v moderním smyslu je uvedena v knize E. Stonea „A New Mathematical Dictionary“ (1743). [3] Viz také [4] [5] .

Viz také

Poznámky

↑ A. B. Ivanov. Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M .: Sovětská encyklopedie, 1977-1985.
↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902.
↑ F. Cajori. Dějiny elementární matematiky / přel. z angličtiny. vyd. I. Yu Timčenko. - Oděsa, 1910. - S. 282.
↑ WJ James. Použití slova Antiparalelní // Příroda. - 1889. - T. 41 , č. 1045 . - S. 10 .
↑ E. M. Langley. O použití slova Antiparalelní // Příroda. - 1889. - T. 41 , č. 1049 . - S. 104-105 .

Literatura

Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902.
Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. - M. , 1962.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Antiparallel (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .