Brahmaguptův vzorec

Brahmaguptův vzorec vyjadřuje plochu čtyřúhelníku vepsaného do kruhujako funkci délek jeho stran.

Pokud má vepsaný čtyřúhelník délky stran a semiperimetr , pak je jeho plocha vyjádřena vzorcem: $abeceda$ $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ $S$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))).

Důkaz

Plocha čtyřúhelníku vepsaného do kruhu se rovná součtu ploch a $\triangle ABD$ $\triangle BDC$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.

Protože se jedná o vepsaný čtyřúhelník, vyplývá z toho, že : $abeceda$ $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ $\sin A=\sin C$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A

S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.

Po napsání kosinové věty pro stranu v dostaneme: $CB$ $\triangle ACB$ $\triangle BDC,$

a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.

Použijte ( a opak) a poté zadejte závorku : $\cos C=-\cos A$ $A$ $C$ $2\cos A$

2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.

Nahraďte výsledek získaný v dříve získaném plošném vzorci:

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4))(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^ {2})^{2}

16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

Aplikujme vzorec : $x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)$

(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b ^{2}+c^{2}+d^{2})

=((a+b)^{2}-(cd)^{2})((c+d)^{2}-(ab)^{2})

=(a+b+cd)(a+b+dc)(a+c+db)(b+c+da).

Od semiperimetru $p={\frac {a+b+c+d}{2)),$

16S^{2}=16(pa)(pb)(pc)(pd).

Když vezmeme druhou odmocninu, dostaneme:

S = \sqrt{(pa)(pb)(pc)(pd)}.

Variace a zobecnění

Brahmaguptův vzorec zobecňuje Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku : stačí předpokládat, že délka jedné ze stran je rovna nule (například ). $d=0$
Pro případ libovolných čtyřúhelníků lze Brahmaguptův vzorec zobecnit takto: $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$

kde je polovina součtu protilehlých úhlů čtyřúhelníku. (Jaký pár opačných úhlů vzít, nezáleží na tom, protože pokud je poloviční součet jednoho páru opačných úhlů roven , pak poloviční součet ostatních dvou úhlů bude , a )

\theta

\theta

180^{\circ }-\theta

\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .

Někdy se tento obecnější vzorec zapisuje jako:

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)))

kde a jsou délky úhlopříček čtyřúhelníku.

u

proti

Robbins dokázal, že pro každý vepsaný mnohoúhelník sestranami je hodnotoukořen nějakého polynomu, jehož koeficienty jsou zase polynomy v délkách stran. Našel tyto polynomy proa. Jiní autoři zjistili, že polynommůže být zvolen tak, že jeho vedoucí koeficient je roven jedné a stupeňje roven, ifa, jestliže. Tady $n$ $(4S)^{2}$ $P$ $n=5$ $n=6$ $P$ $N=N(n)$ $\Delta _{k}$ $n=2k+1$ ${\displaystyle 2\Delta _{k))$ $n=2k+2$ $\Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^ {k-1}(kj){\binom {2k+1}{j)),$

kde jsou binomické koeficienty . Pro polygony s malým počtem stran máme , , , (sekvence A000531 v OEIS ) a , , , (sekvence A107373 v OEIS ).

{\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(kj)!}}

\Delta _{1}=1

\Delta _{2}=7

\Delta _{3}=38

\Delta _{4}=187,\tečky

N(4)=2

N(5)=7

N(6)=14

N(7)=38,\tečky

Pokud v Brahmaguptově vzorci vyjádříme polovinu obvodu přes poloviční součet všech stran daného čtyřúhelníku, odmocníme obě části, vynásobíme -16, otevřeme závorky a přineseme podobné, pak bude mít tvar:

-16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{ 2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2 })-8abcd

Pravá strana je stejná jako expanze determinantu níže po vynásobení -1. Můžeme tedy napsat, že [1]

16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))

Existuje modifikace Brahmaguptova vzorce pro Lobačevského geometrii [2]

Viz také

Poznámky

↑ Starikov, 2014 , str. 37-39.
↑ Mednykh A.D. O Brahmaguptově vzorci v Lobačevského geometrii. Matematické vzdělávání 2012. Číslo 16. S. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf

Populární literatura

A. Yu Davidov . Elementární geometrie v objemu gymnaziálního kurzu . — 1863.
V. V. Prasolov . Vzorec Brahmagupty // Matematika ve škole . - 1991. - č. 5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).

Vědecká literatura

V. V. Varfolomejev. Vepsané polygony a Heronovy polynomy // Math. sbírka. . - 2003. - T. 194 , č. 3 . - S. 3-24 .
Starikov V.N. Poznámky ke geometrii // Vědecké vyhledávání: humanitní a socioekonomické vědy: sborník vědeckých prací / Ch. vyd. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Vydání. 1 . - S. 37-39 .
M. Fedorchuk, I. Pak Rigidita a polynomiální invarianty konvexních polytopů // : cs:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J .: deník. - 2005. - Sv. 129 , č. 2 . - str. 371-404 . - doi : 10.1215/S0012-7094-05-12926-X .