Trapéz

Lichoběžník (z jiného řeckého τραπέζιον - „ stůl “ z τράπεζα - „ stůl “) je konvexní čtyřúhelník , ve kterém jsou dvě strany rovnoběžné a ostatní dvě strany nejsou rovnoběžné [1] . Často se poslední podmínka v definici lichoběžníku vynechává (viz níže). Paralelní protilehlé strany se nazývají základny lichoběžníku a další dvě se nazývají strany. Střední čára je segment, který spojuje středy stran.

Varianty definice

Existuje další definice lichoběžníku.

Lichoběžník je konvexní čtyřúhelník se dvěma stranami rovnoběžnými [2] [3] . Podle této definice jsou rovnoběžník a obdélník zvláštními případy lichoběžníku. Při použití této definice však většina znaků a vlastností rovnoramenného lichoběžníku přestává platit (jelikož rovnoběžník se stává jeho speciálním případem). Vzorce uvedené v části Obecné vlastnosti vzorce platí pro obě definice lichoběžníku.

Související definice

Prvky lichoběžníku

Paralelní protilehlé strany se nazývají základny lichoběžníku.
Další dvě strany se nazývají strany .
Úsek spojující středy stran se nazývá střední čára lichoběžníku.
Úhel na základně lichoběžníku je jeho vnitřní úhel, který svírá základna se stranou.

Typy lichoběžníků

Lichoběžník , jehož strany jsou stejné, se nazývá rovnoramenný lichoběžník (méně často rovnoramenný [4] nebo rovnoramenný [5] lichoběžník).
Lichoběžník, který má na straně pravé úhly, se nazývá obdélníkový .

Rovnoramenný lichoběžník
Obdélníkový lichoběžník

Vlastnosti

Střední čára lichoběžníku je rovnoběžná se základnami a rovná se polovině jejich součtu. [7]
Segment spojující středy úhlopříček lichoběžníku se rovná polovině rozdílu základen a leží na středové čáře.
Úsek rovnoběžný se základnami a procházející průsečíkem úhlopříček je úhlopříčkou rozdělen na polovinu a je roven harmonickému průměru délek základen lichoběžníku. ${\frac {2xy}{x+y}}$
Kružnici lze vepsat do lichoběžníku, pokud se součet délek základen lichoběžníku rovná součtu délek jeho stran.
Průsečík úhlopříček lichoběžníku, průsečík prodloužení jeho stran a středy základen leží na stejné přímce.
Pokud je součet úhlů na jedné ze základen lichoběžníku 90°, pak se prodloužení bočních stran protínají v pravém úhlu a segment spojující středy základen je roven polovičnímu rozdílu základen. .
Úhlopříčky lichoběžníku jej rozdělují na 4 trojúhelníky. Dvě z nich, sousedící se základnami, jsou podobné. Další dva, sousedící po stranách, mají stejnou plochu.
Pokud je poměr základen , pak je poměr ploch trojúhelníků přilehlých k základnám . $K$ $K^{2}$
Výška lichoběžníku je určena vzorcem:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}+ba\right) ^{2}}}

kde je větší základna, je menší základna a jsou strany.

b

A

C

d

Úhlopříčky lichoběžníku a jsou vztaženy ke stranám v poměru: $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

Mohou být výslovně vyjádřeny:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

Pokud jsou naopak známy strany a úhlopříčky, pak jsou základy vyjádřeny vzorci:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

a se známými základnami a úhlopříčkami jsou strany následující:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

Pokud je výška známá , pak

h

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

Newtonova čára pro lichoběžník se shoduje s jeho středovou čarou .

Rovnoramenný lichoběžník

Lichoběžník je rovnoramenný tehdy a pouze tehdy, když je splněna některá z následujících ekvivalentních podmínek:

přímka, která prochází středními body základen, je kolmá k základnám (to znamená, že je to osa symetrie lichoběžníku);
výška snížená shora k větší základně jej rozděluje na dva segmenty, z nichž jeden se rovná polovině součtu základen, druhý je polovičním rozdílem základen;
úhly na jakékoli základně jsou stejné;
součet protilehlých úhlů je 180°;
délky úhlopříček jsou stejné;
kolem tohoto lichoběžníku lze popsat kruh;
vrcholy tohoto lichoběžníku jsou zároveň vrcholy nějakého antiparalelogramu .

kromě

jestliže v rovnoramenném lichoběžníku jsou úhlopříčky kolmé, pak je výška polovina součtu základen.

Vepsané a opsané kružnice

Pokud se součet základen lichoběžníku rovná součtu stran, lze do něj vepsat kružnici . Střední čára je v tomto případě rovna součtu stran dělenému 2 (protože střední čára lichoběžníku je rovna polovině součtu základen).
V lichoběžníku je jeho strana viditelná ze středu vepsané kružnice pod úhlem 90°.
Pokud lze lichoběžník vepsat do kruhu, pak je rovnoramenný.
Poloměr opsané kružnice rovnoramenného lichoběžníku:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(pb)(pc)(p-d_{1})))}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2 }}{4-\left({\frac {ba}{c}}\right)^{2}}}}

kde je boční strana, je větší základna, je menší základna, jsou úhlopříčky rovnoramenného lichoběžníku.

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

b

A

d_{1}=d_{2}

Jestliže , pak kruh o poloměru může být vepsán do rovnoramenného lichoběžníku $a+b=2c$

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

Pokud je do lichoběžníku vepsána kružnice s poloměrem a rozděluje boční stranu bodem dotyku na dva segmenty - a - pak . $r$ $proti$ $w$ $r={\sqrt {vw))$

Oblast

Zde jsou vzorce, které jsou specifické pro lichoběžník. Viz také vzorce pro oblast libovolných čtyřúhelníků .

Pokud a jsou základny a jsou výšky, vzorec oblasti je : $A$ $b$ $h$

S={\frac {(a+b)}{2}}h

V případě - střední čára a - výška, vzorec oblasti : $m$ $h$

S=\displaystyle mh

Poznámka: Výše uvedené dva vzorce jsou ekvivalentní, protože polovina součtu základen se rovná střední čáře lichoběžníku:

m={\frac {(a+b)}{2}}

Vzorec, kde jsou základny a strany lichoběžníku: $a<b$ $C$ $d$

S={\frac {a+b}{4(ba)}}{\sqrt {(a+c+db)(a+dbc)(a+cbd)(b+c+da)))).

nebo

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{ 2}}{ba}}+ba\right)^{2}}}

Prostřední čára rozděluje obrazec na dva lichoběžníky, jejichž plochy spolu souvisí jako [8] $m$

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}

Plocha rovnoramenného lichoběžníku s poloměrem vepsané kružnice a úhlem na základně : $r$ $\alpha$

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

Plocha rovnoramenného lichoběžníku:

S=(bc\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

kde je strana, je větší základna, je menší základna, je úhel mezi větší základnou a stranou [9] .

C

b

A

\gamma

Plocha rovnoramenného lichoběžníku přes jeho strany

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(ba)^{2}}}

Historie

Slovo „lichoběžník“ pochází z řeckého slova jiné řečtiny. τραπέζιον "stůl" (zkráceně z τράπεζα "stůl"), což znamená stůl. V ruštině z tohoto slova pochází slovo „jídlo“ (jídlo).

Poznámky

↑ Matematický encyklopedický slovník . - M .: Sovětská encyklopedie , 1988. - S. 587 .
↑ Celá základní matematika . Získáno 6. července 2015. Archivováno z originálu 9. července 2015. (neurčitý)
↑ Wolfram MathWorld . Získáno 6. července 2015. Archivováno z originálu 19. dubna 2015. (neurčitý)
↑ Kolektiv autorů. Moderní žákovská příručka. 5-11 tříd. Všechny položky . — Litry, 2015-09-03. - S. 82. - 482 s. — ISBN 9785457410022 .
↑ M. I. Skanavi. Elementární matematika . - 2013. - S. 437. - 611 s. — ISBN 9785458254489 .
↑ Čtyřúhelníky . Archivováno 16. září 2015 na Wayback Machine
↑ Geometrie podle Kiselyova Archivováno 1. března 2021 na Wayback Machine , § 99.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Elementary Mathematics. 2. vyd., revidováno. a doplňkové — M.: Nauka, 1974. — 592 s.
↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol 1986. S. 184

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také