Hexadecimální buňka

Hexadecimální buňka
Schlegelův diagram : projekce ( perspektiva ) šestnáctibuňky do trojrozměrného prostoru
Typ	Pravidelný čtyřrozměrný polytop
symbol Schläfli	{3,3,4}
buňky	16
tváře	32
žebra	24
Vrcholy	osm
Vertexová postava	Pravidelný osmistěn
Dvojitý polytop	tesseract

Pravidelná šestnáctibuňka nebo jednoduše šestnáctibuňka [1] je jednou ze šesti pravidelných multibuněk ve čtyřrozměrném prostoru . Známý také pod jinými názvy: hexadekaedr (ze starořeckého ἕξ - "šest", δέκα - "deset" a χώρος - "místo, prostor"), čtyřrozměrný hyperoktaedr (protože je analogem trojrozměrného osmistěnu ), čtyřrozměrný kokub [2] (protože je duální vůči čtyřrozměrné hyperkrychli ), čtyřrozměrný ortoplex .

Objevil Ludwig Schläfli v polovině 50. let 19. století [3] . Schläfliho znak šestnácti buňky je {3,3,4}.

Popis

Omezeno na 16 trojrozměrných buněk - identické pravidelné čtyřstěny . Úhel mezi dvěma sousedními buňkami je přesně $120^{\circ }.$

Jeho 32 dvourozměrných ploch jsou identické pravidelné trojúhelníky . Každá tvář sdílí 2 sousední buňky.

Má 24 stejně dlouhých žeber. Každá hrana má 4 plochy a 4 buňky.

Má 8 vrcholů. Každý vrchol má 6 hran, 12 ploch a 8 buněk. Libovolný vrchol je spojen hranou s jakýmkoli jiným - kromě vrcholu symetrického k němu vzhledem ke středu multibuňky.

Šestnáctičlenná buňka může být reprezentována jako dvě identické pravidelné oktaedrické pyramidy spojené k sobě svými základnami nebo jako čtyřrozměrná duopyramida postavená na dvou čtvercích .

V souřadnicích

Hexadecimální buňka může být umístěna v kartézském souřadnicovém systému tak, že jejích 8 vrcholů má souřadnice $(\pm 1;0;0;0),$ $(0;\pm 1;0;0),$ $(0;0;\pm 1;0),$ $(0;0;0;\pm 1).$

V tomto případě budou řezy multibuňky 6 souřadnicovými rovinami 6 čtverců, jejichž vrcholy a hrany jsou vrcholy a hrany multibuňky.

Každá ze 16 buněk multibuňky bude umístěna v jednom ze 16 orthantů čtyřrozměrného prostoru.

Počátkem souřadnic bude střed symetrie šestnáctibuňky, stejně jako střed jejích vepsaných, opsaných a polovepsaných trojrozměrných hypersfér . $(0;0;0;0)$

Povrch šestnácti buňky pak bude těžištěm bodů, jejichž souřadnice splňují rovnici $(x;y;z;w),$

|x|+|y|+|z|+|w|=1,

a vnitřek multibuňky je těžištěm bodů, pro které

|x|+|y|+|z|+|w|<1.

Ortogonální projekce na rovinu

Metrické charakteristiky

Pokud má šestnáctičlenná buňka délkovou hranu, pak její čtyřrozměrný hyperobjem a trojrozměrná povrchová hyperarea jsou vyjádřeny jako $A,$

V_{4}={\frac {1}{6}}\;a^{4}\approx 0{,}1666667a^{4},

S_{3}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\cca 1{,}8856181a^{3}.

Poloměr popisované trojrozměrné hypersféry (procházející všemi vrcholy multibuňky) se pak bude rovnat

R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\cca 0{,}7071068a,

poloměr vnější polovepsané hypersféry (dotýkající se všech hran v jejich středových bodech) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,

poloměr vnitřní polovepsané hypersféry (dotýkající se všech tváří v jejich středech) —

\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\cca 0{,}4082483a,

poloměr vepsané hypersféry (dotýká se všech buněk v jejich středech) —

r={\frac {\sqrt {2}}{4}}\;a\cca 0{,}3535534a.

Vyplnění prostoru

Šestnáct buněk dokáže vydláždit čtyřrozměrný prostor bez mezer a přesahů.

Poznámky

↑ D.K. Bobylev . Čtyřrozměrný prostor // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ E. Yu Smirnov. Reflexní grupy a pravidelné mnohostěny. — M.: MTsNMO, 2009. — S. 44.
↑ George Olshevsky. Hexadecachoron // Slovník pro hyperprostor.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Hexadecimální buňka ve Wolfram MathWorld .

Základní konvexní pravidelné a homogenní polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / E7 / E8 / F4 / G2	H4
pravidelný mnohoúhelník	pravoúhlý trojuhelník	Náměstí	Pravidelný p-gon	Pravidelný šestiúhelník	pravidelný pětiúhelník
Jednotný mnohostěn	pravidelný čtyřstěn	Pravidelný osmistěn • Krychle	půl kostky		Pravidelný dvanáctistěn • Pravidelný dvacetistěn
Jednotná multibuňka	Pětibuňkový	16článkový • Tesseract	Semitesseract	24-článkový	120článkový • 600článkový
Homogenní 5-polytop	Běžný 5-simplex	5-ortoplex • 5-hypercube	5-polohyperkrychle
Homogenní 6-polytop	Běžný 6-simplex	6-orthoplex • 6-hypercube	6-polohyperkrychle	1 22 • 2 21
Homogenní 7-polytop	Běžný 7-simplex	7-ortoplex • 7-hypercube	7-polohyperkrychle	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogenní 8-polytop	Běžný 8-simplex	8-orthoplex • 8-hypercube	8-půl-hyperkrychle	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogenní 9-polytop	Běžný 9-simplex	9-ortoplex • 9-hypercube	9-polohyperkrychle
Homogenní 10-polytop	Běžný 10-simplex	10-ortoplex • 10-hypercube	10-půl-hypercube
Jednotný n - polytop	Pravidelné n - simplexní	n - ortoplex • n - hyperkrychle	n - semi-hypercube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Rodiny polytopů • Regulární polytopy • Seznam regulérních polytopů a jejich sloučenin

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný

symbol Schläfli
Polygony	{jeden} {2} {3} {čtyři} {5} {6} {7} {osm} {9} {deset} {jedenáct} {12} {čtrnáct} {patnáct} {17} {osmnáct} {dvacet} {třicet} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
hvězdné polygony	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Ploché parkety _	{3,6} {4,4} {6,3}
Pravidelné mnohostěny a kulové parkety	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsotův mnohostěn	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
voštiny	{4,3,4}
Čtyřrozměrné mnohostěny	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}