Dvacet čtyři buňky

Správně dvacet -čtyř-buňkový , nebo prostě dvacet -čtyř-buňkový nebo ikositetrahor (z jiného řeckého εἴκοσι - „dvacet“, τέτταρες – „čtyři“ a χώρος – „místo, prostor“), je jedním ze šesti pravidelných multi- buňky ve čtyřrozměrném prostoru .

Objevil Ludwig Schläfli v polovině 50. let 19. století [1] . Schläfliho symbol dvaceti čtyř buněk je {3,4,3}.

Duální k sobě; Dvacet čtyři buněk je jediný samoduální pravidelný polytop o rozměru větším než 2, který není simplex . To je důvodem jedinečnosti čtyřiadvacetičlánku: na rozdíl od pěti dalších běžných vícečlánků nemá mezi platónskými tělesy obdobu .

Popis

Omezeno na 24 trojrozměrných buněk - identické osmistěny . Úhel mezi dvěma sousedními buňkami je přesně

Jeho 96 dvourozměrných ploch jsou identické pravidelné trojúhelníky . Každá tvář sdílí 2 sousední buňky.

Má 96 stejně dlouhých okrajů, které jsou uspořádány stejně jako okraje tří tesseraktů se společným středem. Každá hrana má 3 plochy a 3 buňky.

Má 24 vrcholů, uspořádaných stejně jako vrcholy tří šestnácti -buněk se společným středem. Každý vrchol má 8 hran, 12 ploch a 6 buněk.

Na buňku dvacet čtyři lze pohlížet jako na zcela zkrácenou šestnáctkovou buňku.

Čtyřiadvacetibuněčnou buňku lze sestavit ze dvou stejných tesseraktů tak, že jeden z nich rozřežete na 8 stejných krychlových jehlanů , jejichž základy tvoří 8 buněk tesseraktu a vrcholy se shodují s jeho středem, a poté tyto jehlany připojíte k 8 kubické buňky jiného tesseractu. V trojrozměrném prostoru je podobným způsobem možné sestavit kosočtverečný dvanáctistěn ze dvou stejných krychlí - což však není správné .

V souřadnicích

První způsob umístění

Dvacet čtyři buňky lze umístit do kartézského souřadnicového systému tak, že 8 jejích vrcholů má souřadnice (tyto vrcholy jsou umístěny stejným způsobem jako vrcholy šestnácti buňky ) a zbývajících 16 vrcholů jsou souřadnice (jsou umístěny stejným způsobem jako vrcholy tesseract ; navíc těch 8 z nich, mezi jejichž souřadnicemi je lichý počet záporných, tvoří vrcholy další šestnáctibuňky a dalších 8 tvoří vrcholy třetí šestnáctibuňky ).

V tomto případě budou hrany spojovat ty vrcholy, u kterých se všechny čtyři souřadnice liší o - nebo se jedna ze souřadnic liší o a ostatní se shodují.

Počátkem souřadnic bude střed symetrie čtyřiadvacetibuňky, stejně jako střed jejích vepsaných, opsaných a polovepsaných trojrozměrných hypersfér .

Druhý způsob umístění

Navíc lze umístit dvacet čtyři buňky tak, že souřadnice všech jejích 24 vrcholů jsou všechny možné permutace čísel (tyto body jsou středy 24 buněk multibuňky popsané v předchozí části).

V tomto případě budou hrany spojovat ty vrcholy, u kterých se libovolné dvě souřadnice liší a zbývající dvě se shodují.

Střed multibuňky bude opět počátkem.

Ortogonální projekce na rovinu

Metrické charakteristiky

Pokud má 24 buňka hranu délky, pak její čtyřrozměrný hyperobjem a trojrozměrná povrchová hyperarea jsou vyjádřeny jako

Poloměr popisované trojrozměrné hypersféry (procházející všemi vrcholy multibuňky) se pak bude rovnat

poloměr vnější polovepsané hypersféry (dotýkající se všech hran v jejich středových bodech) —

poloměr vnitřní polovepsané hypersféry (dotýkající se všech tváří v jejich středech) —

poloměr vepsané hypersféry (dotýká se všech buněk v jejich středech) —

Vyplnění prostoru

Čtyřiadvacet buněk dokáže připravit čtyřrozměrný prostor bez mezer a přesahů.

Poznámky

1. ↑ George Olshevsky. Icositetrachoron // Slovník pro hyperprostor.

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Dvacet  čtyři buněk ve Wolfram MathWorld .