Cauchyho polytopová věta

Cauchyova věta o polytopu říká, že plochy polytopu spolu s pravidlem lepení zcela definují konvexní polytop.

Formulace

Dva uzavřené konvexní mnohostěny jsou shodné , pokud existuje vzájemná korespondence mezi jejich plochami, hranami a vrcholy, která zachovává dopad a odpovídající plochy mnohostěnů jsou shodné.

Historie

Otázku, že plochy mnohostěnu spolu s pravidly lepení zcela určují konvexní mnohostěn, formuloval Legendre v 1. vydání své učebnice. [1] Bylo tam uvedeno i klíčové lemma o čtyřech změnách znaménka, které Cauchy použil ve svém důkazu. [2] Tento důkaz obsahoval chybu, které si Steinitz všiml a opravil ji až v roce 1934 [3] .

Variace a zobecnění

• Podobný výsledek platí pro prostory všech dimenzí počínaje 3.

• Pro nekonvexní mnohostěny podobný výsledek neplatí.
  • Navíc existuje nekonvexní polytop, který připouští spojité deformace ve třídě mnohostěnů s kongruentními plochami. Takový mnohostěn se nazývá pružný . Podle Sabitovovy věty však objem takového mnohostěnu zůstane při deformacích nezměněn.

• Podle Aleksandrovova vývojového teorému lze podmínku kongruence ploch zeslabit na podmínku izometrie vnitřní metriky povrchu mnohostěnu.
  • Navíc totéž platí pro jakoukoli uzavřenou konvexní plochu ( Pogorelovova věta ).

Viz také

• Lemma ruky

Poznámky

1. ↑ Legendre, AM "Éléments de géométrie". Paříž, 1794. Poznámka XII. S. 321–334.
2. ↑ Cauchy AL Sur les polygones et polyèdres, Second mémoire // J. de l'École Polytechnique. 1813. V. 9. S. 87–98.
3. ↑ Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlín: Springer-Verl., 1934.

Literatura

• N. P. Dolbilin, Perly teorie mnohostěnů . M.: MTsNMO, 2000. 40 s. ISBN 5-900916-48-0 ; Náklad 2000 výtisků. Knihovna řady "Matematická výchova", číslo 5.
• Přednáška 24 v Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Mathematical divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 výtisků.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .