Hexakisicosahedron

Hexakisikosahedron (z jiného řeckého ἑξάκις - "šestkrát", εἴκοσι - " dvacet" a ἕδρα - "obličej"), také nazývaný disdakistriacontahedron (z jiného řeckého δτίς - "dvakrát " , δτακοσνννρα a ἕδρα - "obličej"), je polopravidelný mnohostěn (katalánské tělo), duální k kosočtvercovému zkrácenému ikosidodekaedru .

Skládá se ze 120 stejných zmenšených ostrých trojúhelníků s úhly a $\arccos \,{\frac {9+5{\sqrt {5}}}{24}}\cca 32{,}77^{\circ },$ $\arccos \,{\frac {15-2{\sqrt {5}}}{20}}\cca 58{,}24^{\circ }$ $\arccos \,{\frac {5-2{\sqrt {5}}}{30}}\cca 88{,}99^{\circ }.$

Má 62 vrcholů; ve 12 vrcholech (umístěných stejným způsobem jako vrcholy dvacetistěnu ) se sbíhají svými nejmenšími úhly 10 stěn, ve 20 vrcholech (umístěných stejně jako vrcholy dvanáctistěnu ) se sbíhají se svými průměrnými úhly 6 stěn, u 30 vrcholů (umístěných stejným způsobem jako vrcholy ikosidodekaedru ) se sbíhají ve svých největších úhlech podél 4 ploch.

Hexakisicosahedron má 180 hran - 60 "dlouhých" (uspořádaných stejně jako hrany kosočtvercového triakontaedru ), 60 "středních" a 60 "krátkých". Úhel vzepětí pro jakoukoli hranu je stejný a rovný $\arccos \left(-{\frac {179+24{\sqrt {5}}}{241}}\right)\cca 164{,}89^{\circ }.$

Hexakisicosahedron lze získat z kosočtvercového triakontaedru připojením ke každé jeho ploše nepravidelného čtyřbokého jehlanu s kosočtvercovou základnou rovnající se ploše kosočtvercového triakontaedru a výškou, která je jednou menší než strana základny. $2{\sqrt {17+{\frac {31{\sqrt {5}}}{5}}}}\cca 11{,}11$

Hexakisicosahedron je jedním ze tří katalánských pevných těles, ve kterých existuje Eulerova cesta [1] .

Metrické charakteristiky

Jestliže "krátké" hrany hexakisicosahedronu mají délku , pak jeho "střední" hrany mají délku a "dlouhé" hrany mají délku $A$ ${\frac {3}{10}}(3+{\sqrt {5}})a\cca 1{,}57a,$ ${\frac {1}{5}}(7+{\sqrt {5}})a\cca 1{,}85a.$

Povrch a objem mnohostěnu jsou pak vyjádřeny jako

S={\frac {3}{5}}{\sqrt {10\left(1257+541{\sqrt {5}}\right)))\;a^{2}\cca 94{, }2346327a^{2},

V={\frac {1}{5}}{\sqrt {6\left(14765+6602{\sqrt {5}}\right)))\;a^{3}\cca 84{, }1819754a^{3}.

Poloměr vepsané koule (dotýkající se všech ploch mnohostěnu v jejich středech ) se pak bude rovnat

r={\sqrt {{\frac {3}{4820}}\left(5795+2569{\sqrt {5}}\right)))\;a\cca 2{,}6799693a,

poloměr napůl vepsané koule (dotýkající se všech hran) -

\rho ={\frac {1}{20}}\left(25+13{\sqrt {5}}\right)a\cca 2{,}7034442a.

Je nemožné popsat kouli blízko hexakisicosahedronu tak, aby procházela všemi vrcholy.

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Graphs of Catalan Solids at Wolfram MathWorld .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Hexakisicosahedron (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný