Hvězdicovitý mnohostěn ( hvězdovité tělo ) je nekonvexní mnohostěn , jehož tváře se protínají. Stejně jako u nehvězdicových mnohostěnů jsou plochy na hranách spojeny ve dvojicích (v tomto případě se vnitřní průsečíky nepovažují za hrany).
Hvězdicový tvar mnohostěnu je mnohostěn získaný prodloužením ploch daného mnohostěnu přes hrany až do jejich dalšího průsečíku s jinými plochami podél nových hran.
Pravidelné hvězdné mnohostěny jsou hvězdicové mnohostěny, jejichž plochy jsou shodné ( shodné ) pravidelné nebo hvězdicové mnohoúhelníky . Na rozdíl od pěti klasických pravidelných mnohostěnů ( platónská tělesa ), tyto mnohostěny nejsou konvexní tělesa.
V roce 1811 Augustin Lou Cauchy zjistil , že existují pouze 4 pravidelná hvězdná tělesa (nazývají se Kepler-Poinsotova tělesa ), která nejsou sloučeninami platónských a hvězdicových těles. Patří mezi ně malý hvězdicový dvanáctistěn a velký hvězdicový dvanáctistěn objevený Johannesem Keplerem v roce 1619 , stejně jako velký dvanáctistěn a velký dvacetistěn objevený v roce 1809 Louisem Poinsotem . Zbývající pravidelné stelované mnohostěny jsou buď sloučeniny platónských pevných látek, nebo sloučeniny Kepler-Poinsotových pevných látek [1] .
Polopravidelné hvězdné mnohostěny jsou hvězdné mnohostěny, jejichž plochy jsou pravidelné nebo hvězdicové mnohoúhelníky , ale nemusí být nutně stejné. V tomto případě musí být struktura všech vrcholů stejná (podmínka homogenity). G. Coxeter , M. Longuet-Higgins a J. Miller v roce 1954 uvedli 53 takových těles a předložili hypotézu o úplnosti jejich seznamu [2] . Teprve mnohem později, v roce 1969 , se Sopov S.P. podařilo prokázat, že seznam jimi prezentovaných mnohostěnů je skutečně úplný.
Mnoho forem stelated polyhedra navrhuje sama příroda. Například sněhové vločky jsou ploché projekce stelovaných mnohostěnů. Některé molekuly mají správnou strukturu trojrozměrných obrazců.
V těchto figurách je každý obličej namalován svou vlastní barvou pro krásu a jasnost.
Uniformní mnohostěny - pravidelné a polopravidelné konvexní mnohostěny (platónská a archimedovská tělesa); pravidelné a polopravidelné hvězdné mnohostěny se souhrnně nazývají jednotné mnohostěny. U těchto těles jsou všechny plochy pravidelné mnohoúhelníky (konvexní nebo hvězdicovité) a všechny vrcholy jsou stejné (to znamená, že existují ortogonální transformace mnohostěnu do sebe samého, přenášejícího jakýkoli vrchol na jakýkoli jiný). Existuje přesně 75 jednotných mnohostěnů.
Čtyřstěn a šestistěn ( krychle ) nemají tvar hvězdy, protože jejich plochy se již neprotínají, když jsou protaženy hranami.
Existuje pouze jedna hvězda osmistěnu . Hvězdicovitý osmistěn objevil Leonardo da Vinci , poté jej téměř o 100 let později znovu objevil I. Kepler a pojmenoval jej Stella octangula - osmiboká hvězda. Proto má tato forma druhé jméno: „Keplerova stella octangula“; ve skutečnosti je to sloučenina dvou čtyřstěnů.
Dvanáctstěn má 3 hvězdy: malý hvězdicový dvanáctistěn , velký dvanáctistěn , velký hvězdicový dvanáctistěn (hvězdovitý velký dvanáctistěn, konečná podoba). Na rozdíl od osmistěnu není žádná ze stelací dvanáctistěnu složeninou platónských těles, ale tvoří nový mnohostěn.
Tváře velkého dvanáctistěnu jsou pětiúhelníky, které se setkávají s pěti v každém vrcholu. Malé hvězdicové a velké hvězdicové dvanáctistěny mají tváře - pěticípé hvězdy (pentagramy), které se v prvním případě sbíhají o 5 a ve druhém o 3 tváře v jednom vrcholu.
Vrcholy velkého hvězdicového dvanáctistěnu se shodují s vrcholy opsaného dvanáctistěnu.
Dvacetistěn má 59 stelací, z nichž 32 má úplnou a 27 neúplnou dvacetistěnnou symetrii, což dokázali Coxeter spolu s Duvalem, Flazerem a Petriem pomocí restrikčních pravidel stanovených J. Millerem. Jedna z těchto hvězdic (20., model 41 podle Wenningera), nazývaná velký dvacetistěn (viz obrázek), je jednou ze čtyř pravidelných Kepler-Poinsotových hvězdicových mnohostěnů . Jeho plochy jsou pravidelné trojúhelníky, které se sbíhají v každém vrcholu pět; tuto vlastnost sdílí velký dvacetistěn s dvacetistěnem.
Mezi hvězdicovité formy jsou také: sloučenina pěti oktaedrů , sloučenina pěti tetraedrů , sloučenina deseti tetraedrů . První hvězdou je malý triambický dvacetistěn .
Pokud každá z tváří pokračuje donekonečna, pak bude tělo obklopeno velkým množstvím oddílů - částí prostoru ohraničených rovinami tváří. Všechny hvězdicovité formy dvacetistěnu lze získat přidáním takových oddílů do původního těla. Kromě samotného dvacetistěnu jsou rozšíření jeho čel od prostoru oddělena 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 oddíly deseti různých tvarů a velikostí. Velký dvacetistěn se skládá ze všech těchto kusů kromě posledních šedesáti. Další tvar hvězdy je konečný.
Kuboktaedr má 4 hvězdičky, které splňují omezení zavedená Millerem. První z nich je kombinací krychle a osmistěnu.
Ikosidodekaedr má mnoho stelací, z nichž první je složeninou dvacetistěnu a dvanáctistěnu.
Ikosidodekaedr má 32 ploch, z nichž 12 jsou pravidelné pětiúhelníkové plochy a zbývajících 20 jsou pravidelné trojúhelníky.
Stellation odkazuje na proces konstrukce mnohostěnu z jiného mnohostěnu rozšířením jeho tváří. K tomu jsou roviny nakresleny plochami původního mnohostěnu a jsou uvažovány všechny možné hrany získané jako výsledek průniku těchto rovin a jsou vybrány vhodné [4] .
Krychle a čtyřstěn neumožňují stelaci. Osmistěn má jedinou strukturu - hvězdicový osmistěn . Dvanáctstěn dává tvary tří hvězd.
| Hvězdné tvary dvacetistěnu | |
|---|---|
| |