Pentakisdodekaedron

Pentakisdodekahedron (z jiného řeckého πεντάχις – „pětkrát“, δώδεκα – „dvanáct“ a ἕδρα – „obličej“) je polopravidelný mnohostěn (katalánské tělo), zdvojený se zkráceným dvacetistěnem . Skládá se z 60 identických ostroúhlých rovnoramenných trojúhelníků , ve kterých je jeden z úhlů stejný a ostatní dva

Má 32 vrcholů; ve 12 vrcholech (umístěných stejně jako vrcholy dvacetistěnu ) se sbíhají se svými většími úhly 5 ploch, ve 20 vrcholech (umístěných stejně jako vrcholy dvanáctistěnu ) se sbíhají s menšími úhly 6 ploch.

Pentakis dvanáctistěn má 90 hran – 30 „dlouhých“ (uspořádaných stejně jako hrany dvanáctistěnu) a 60 „krátkých“. Úhel vzepětí pro jakoukoli hranu je stejný a rovný

Pentakisdodekaedr lze získat z dvanáctistěnu tak, že ke každé z jeho ploch připojíte pravidelný pětiboký jehlan se základnou rovnou ploše dvanáctistěnu a výškou, která je jednou menší než strana základny. V tomto případě bude mít výsledný mnohostěn 5 ploch namísto každé z 12 ploch původního – což je důvod jeho názvu.

Metrické charakteristiky

Jestliže "krátké" hrany pentakisového dvanáctistěnu mají délku , pak jeho "dlouhé" hrany mají délku a povrchová plocha a objem jsou vyjádřeny jako

Poloměr vepsané koule (dotýkající se všech ploch mnohostěnu v jejich středech ) se pak bude rovnat

poloměr napůl vepsané koule (dotýkající se všech hran) -

Je nemožné popsat kouli poblíž pentakisdodekaedru tak, aby procházela všemi vrcholy.

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Pentakisdodecahedron  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .