Flexibilní mnohostěn

Ohebný mnohostěn je mnohostěn (přesněji mnohostěnný povrch ), jehož prostorový tvar lze měnit plynulou deformací v čase, při níž každá plocha nemění svou velikost (to znamená, že se pohybuje jako pevné těleso), a deformace se provádí pouze v důsledku neustálé změny úhlů vzepětí . Taková deformace se nazývá spojité ohýbání mnohostěnu.

Příklady

• První příklady ohebných mnohostěnů zkonstruoval belgický inženýr a matematik Raoul Bricard v roce 1897 [1] . Nyní se jim říká Bricard octaedra . Jsou nejen nekonvexní, ale mají také vlastní průniky, což znemožňuje postavit jejich pohyblivý kartonový model.

• V roce 1976 americký matematik Robert Connelly poprvé zkonstruoval flexibilní mnohostěn bez sebeprůniků [2] .

• Ze všech v současnosti známých ohýbatelných mnohostěnů bez sebeprůniků má mnohostěn zkonstruovaný německým matematikem Klausem Steffenem [3] nejmenší počet vrcholů ( devět ) . Steffenův mnohostěn lze snadno vystřihnout z papíru (viz článek).

• Existují příklady flexibilních mnohostěnů, které jsou realizacemi torusu [4] nebo Kleinovy ​​láhve nebo obecně dvourozměrného povrchu libovolného topologického rodu.

• Ohebný Bricard osmistěn prvního typu

• Ohebný Bricard osmistěn druhého typu

• Flexibilní Steffenův mnohostěn

• Vývoj flexibilního Steffenova mnohostěnu

Vlastnosti

V teorii flexibilních mnohostěnů existuje mnoho krásných a netriviálních tvrzení. Níže jsou uvedeny nejdůležitější skutečnosti, které byly dosud zjištěny:

• Žádný konvexní mnohostěn nemůže být flexibilní. To bezprostředně vyplývá z Cauchyho věty o jedinečné jednoznačnosti konvexního mnohostěnu, dokázané v roce 1813 .

• Ze Schläfliho vzorce vyplývá, že jakýkoli ohebný mnohostěn si při ohýbání zachovává tzv. integrální střední zakřivení, to znamená číslo rovné , kde je délka hrany , je hodnota vnitřního dihedrálního úhlu na hraně a součet vyjmenovává všechny hrany mnohostěnu [5] .

• Sabitovův teorém : každý ohebný mnohostěn si při ohýbání zachovává svůj objem , to znamená, že se ohne, i když je naplněn nestlačitelnou tekutinou [6] .

• V roce 2012 A. Gaifullin prokázal vícerozměrnou obdobu Sabitovovy věty – jakýkoli ohýbatelný mnohostěn v rozměru si při ohýbání zachovává svůj objem. [7]

Variace a zobecnění

Vše výše uvedené se týká mnohostěnů v trojrozměrném euklidovském prostoru. Nicméně, výše uvedená definice flexibilního mnohostěnu platí jak pro vysokorozměrné prostory, tak pro neeuklidovské prostory, jako je sférický prostor a Lobachevského prostor . Známé jsou pro ně i netriviální věty a otevřené otázky. Například:

• Ohebné mnohostěny existují ve všech dimenzích, jak v euklidovském prostoru, tak ve sférickém prostoru a v Lobačevského geometrii. Příklady analogů flexibilních Bricardových oktaedrů v trojrozměrné sféře a v Lobačevského prostoru zkonstruoval Stachel. První příklad flexibilního samoprotínajícího se čtyřrozměrného mnohostěnu zkonstruoval A. Waltz. Nakonec Gaifullin zkonstruoval příklady ohebných mnohostěnů ve všech rozměrech a ve všech třech geometriích (euklidovské, sférické, Lobačevského). [8] [9]

• V kulovém prostoru libovolného rozměru existuje pružný mnohostěn, jehož objem není během procesu ohýbání konstantní. Příklad takového samoprotínajícího se polytopu v dimenzi 3 zkonstruoval v roce 1997 Aleksandrov [10] a příklad nesamoprotínajícího se polytopu ve sférickém prostoru libovolné dimenze zkonstruoval A. A. Gaifullin ve svém článku z roku 2015 [ 11] . Naopak v trojrozměrném Lobačevském prostoru a obecně v Lobačevském prostoru libovolné liché dimenze musí být objem ohebného mnohostěnu zachován (stejně jako v euklidovském případě). [12] [13] .

Otevřené otázky

• Je pravda, že Steffenův mnohostěn má nejmenší počet vrcholů ze všech pružných mnohostěnů, které nemají vlastní průniky [14] ;

• Je pravda, že pokud jeden mnohostěn, který nemá vlastní průniky, je získán z jiného mnohostěnu, který také nemá vlastní průniky, kontinuálním ohýbáním, pak jsou tyto mnohostěny ekvi-složené , to znamená, že první lze rozdělit do konečného počtu čtyřstěnů , každý z těchto čtyřstěnů se může pohybovat nezávisle na ostatních v prostoru a získat rozdělení druhého mnohostěnu [15] .

• V rozměrech počínaje 4 není známo, zda existují flexibilní neprotínající se mnohostěny. [12]

• Není známo, zda platí měchová věta (zda je nutné zachovat objem při ohybu) v Lobačevského prostorech sudé dimenze (4, 6,...). [12]

Populární literatura

• V. A. Aleksandrov, Flexibilní mnohostěnné plochy  (nepřístupný odkaz) , Soros Educational Journal . 1997 č. 5. S. 112-117. Stejný článek byl znovu publikován v knize, kterou editovali V. N. Soifer a Yu. P. Solovjov: Moderní přírodní věda . Encyklopedie . Svazek 3: Matematika a mechanika M.: Nauka , M.: Flinta, 2000. ISBN 5-02-004299-4 .
• M. Berger , Geometrie . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
• VA Zalgaller , Plynule pružný mnohostěn , Kvant . 1978 č. 9. S. 13-19.
• A. I. Medyanik, The Connelly polyhedron model , Kvant . 1979 č. 7. S. 39. (Všimněte si, že vývoj Connellyho mnohostěnu je uveden ve stejném čísle časopisu na zadní straně obálky .)
• JIM. Sabitov,. Objemy mnohostěnů . — M.: MTsNMO , 2002. — 32 s.
• David A. Klarner . Matematická květinová zahrada. Sbírka článků a úloh = The Mathematical Gardner / Per. z angličtiny. Yu. A. Danilova ; vyd., s předmluvou. a aplikace. I. M. Yagloma . - M .: Mir, 1983. - S. 105-117. — 494 s.
• Přednáška 25 v Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matematická diverzifikace . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 výtisků.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .
• Film " Flexibilní mnohostěny ", stránka Matematické etudy
• Aktuální matematika: Flexibilní mnohostěny na YouTube

Vědecká literatura

• V. A. Aleksandrov, Nový příklad flexibilního mnohostěnu , Sibirsk. rohož. časopis 1995. V. 36, č. 6. S. 1215-1224.
• N. H. Kuiper , Flexibilní polyhedrální koule , podle Roberta Connellyho , sv. vyd. A. N. Kolmogorova a S. P. Novikova : Studie z metrické teorie povrchů. M.: Mir. 1980. S. 210-227.
• P. Connelly , O jednom přístupu k problému nepružnosti . Tam. s. 164-209.
• R. Connelly , Některé předpoklady a nevyřešené otázky v teorii ohybů . Tam. s. 228-238.
• I. G. Maksimov, Neohebné mnohostěny s malým počtem vrcholů , Fundam. appl. matematika. 2006. Vol. 12, No. 1. S. 143-165.
• S. N. Mikhalev, Některé nezbytné metrické podmínky pro ohýbání závěsů , Věstník MGU, Ser. I, 2001, no. 3, 15-21.
• I. Kh. Sabitov , Objem mnohostěnu jako funkce jeho metriky , Fundam. appl. matematika. 1996. Vol. 2, No. 4. S. 1235-1246.
• I. Kh. Sabitov , Zobecněný Heron-Tartaglia vzorec a některé jeho důsledky , Mat. So. 1998. svazek 189, č. 10. S. 105-134.

Poznámky

1. ↑ R. Bricard. Archivováno z originálu 17. července 2011, v současné době, Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé . J Math. Pures Appl. 1897. 3 . S. 113-150 (viz také anglický překlad ).
2. ↑ R. Connelly, Tuhost polyedrických ploch , Mat. Mag. 52 (1979), No. 5, 275-283.
3. ↑ M. Berger , Geometrie . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
4. ↑ V. A. Aleksandrov, Nový příklad flexibilního mnohostěnu , Sib. rohož. časopis 1995. V. 36, č. 6. S. 1215-1224.
5. ↑ R. Alexander, Lipschitzovská zobrazení a celková střední křivost polyedrických ploch. Já , Trans. amer. Matematika. soc. 1985 sv. 288, č.p. 2, 661-678.
6. ↑ I. Kh. Sabitov , Objem mnohostěnu jako funkce délek jeho hran , Fundam. appl. matematika. 1996. V. 2, č. 1. S. 305-307.
7. ↑ A. Gaifullin. Zobecnění Sabitovovy věty na libovolné dimenze (2012). (neurčitý)
8. ↑ H. Stachel , Flexibilní oktaedry v hyperbolickém prostoru , v knižním vydání. A. Prekopa: Neeuklidovské geometrie. Pamětní svazek Janose Bolyaie. Příspěvky z mezinárodní konference o hyperbolické geometrii, Budapešť, Maďarsko, 6.-12. července 2002 . New York, NY: Springer. Matematika a její aplikace 581 , 209-225 (2006).
9. ↑ A. A. Gaifullin , Flexibilní křížové polytopy v prostorech konstantní křivosti, Tr. MIAN , 286 (2014), 88–128.
10. ↑ V. Alexandrov, Příklad ohebného mnohostěnu s nekonstantním objemem ve sférickém prostoru, Beitr. Algebra Geom. 38 , č. 1, 11-18 (1997). ISSN 0138-4821.
11. ↑ A. A. Gaifullin, Vnořené flexibilní sférické zkřížené polytopy s nekonstantními objemy , Tr. MIAN, 288 (2015), 67–94.
12. ↑ 1 2 3 "Flexibilní mnohostěny", Matematické studie, http://www.etudes.ru/ru/etudes/sabitov/
13. ↑ A. A. Gaifullin, Analytické pokračování objemu a měchová hypotéza v Lobačevského prostorech , Mat. So. , 206 :11 (2015), 61–112
14. ↑ I. G. Maksimov, Neohebné mnohostěny s malým počtem vrcholů , Fundam. appl. matematika. 2006. Vol. 12, No. 1. S. 143-165.
15. ↑ Viz str. 231 knihy, ed. AN Kolmogorova a SP Novikova : Studie z metrické teorie povrchů . M.: Mir. 1980. Tato domněnka byla poprvé publikována v angličtině v R. Connelly, The rigidity of polyhedral surface , Math. Mag. 1979 sv. 52. str. 275-283.