Johnsonův mnohostěn nebo Johnsonovo těleso je konvexní mnohostěn , jehož každá plocha je pravidelným mnohoúhelníkem , a zároveň to není ani platónské těleso , ani archimédské těleso, ani hranol , ani antihranol . Celkem je 92 Johnsonových těl.
Příkladem Johnsonova tělesa je pyramida se čtvercovou základnou a stranami ve tvaru pravidelných trojúhelníků ( J 1 (M 2 ) . Má 1 čtvercovou plochu a 4 trojúhelníkové.
Jako v každém přísně konvexním tělese mají tyto mnohostěny alespoň tři plochy sousedící s každým vrcholem a součet jejich úhlů (přilehlých k vrcholu) je menší než 360º. Protože pravidelné mnohoúhelníky mají úhly alespoň 60º, může se vrcholu dotknout maximálně pět ploch. Pětiúhelníkový jehlan ( J 2 ) je příklad, který má vrchol řádu pět (tj. s pěti plochami).
Ačkoli neexistuje žádné výslovné omezení na pravidelné polygony, které mohou sloužit jako plochy Johnsonových těles, ve skutečnosti mohou mít plochy pouze 3, 4, 5, 6, 8 nebo 10 stran a každé Johnsonovo těleso má trojúhelníkové plochy (alespoň čtyři).
Z Johnsonových těles má vlastnost lokální stejnoměrnosti vrcholu jako jediný protáhlý čtyřsklonný rotovaný dvojpól ( J 37 ), kterému se také říká pseudorombikuboktaedr [1] , - u každého vrcholu jsou 4 plochy a jejich uspořádání je stejný - 3 čtverce a 1 trojúhelník. Těleso však není vertex-tranzitivní, protože má různé izometrie v různých vrcholech, což z něj dělá Johnsonovo tělo a ne Archimédovo tělo .
V roce 1966 Norman Johnson zveřejnil seznam, který obsahoval všech 92 těl a dal jim jména a čísla. Předpokládal, že jich je pouze 92, to znamená, že žádné jiné nejsou.
Již dříve, v roce 1946, poslala L. N. Esaulova dopis A. D. Aleksandrovovi , ve kterém dokázala, že může existovat pouze konečný počet pravidelných mnohostěnů (kromě 5 pravidelných mnohostěnů, 13 polopravidelných a dvou nekonečných řad (hranolů a antihranolů). 1961 Aleksandrov dal tento dopis V. A. Zalgallerovi, možná kvůli Johnsonově poznámce z roku 1960 [2] .
V roce 1967 Victor Zalgaller zveřejnil důkaz, že Johnsonův seznam byl úplný. Do rozhodování se zapojila skupina školáků ze školy č. 239 . Kompletní dokazování trvalo se zapojením výpočetní techniky cca 4 roky . Důkaz také významně využil Aleksandrovův konvexní mnohostěnný teorém .
Jména Johnsonových těl mají velkou popisnou sílu. Většina těchto těles může být postavena z více těles ( pyramidy , kupole a rotundy ) přidáním platónských a Archimedových těles, hranolů a antihranolů .
Poslední tři operace, inkrementace , zkrácení a otočení , lze na dostatečně velkých mnohostěnech provést vícekrát. Pro operace provedené dvakrát se přidá dvakrát . ( Těleso dvakrát zkroucené má dvě otočené kopule.) U operací prováděných třikrát přidejte třikrát . ( Z třikrát odděleného těla byly odstraněny tři pyramidy nebo kopule.)
Někdy slovo dvakrát nestačí. Je nutné rozlišovat tělesa, ve kterých byly upraveny dvě protilehlé plochy, od těles, ve kterých byly upraveny jiné plochy. Když jsou upravené plochy rovnoběžné, přidá se k názvu opak . ( Dvojité protilehlé rozšířené tělo má dvě rovnoběžné plochy (protilehlé) s přidanými tělesy.) Pokud se změny týkají ploch, které nejsou protilehlé, bude k názvu přidáno šikmé . ( Dvojnásobně zkosené tělo má dvě tváře s přidanými těly, ale tváře nejsou protilehlé.)
Několik názvů je odvozeno od polygonů, ze kterých je Johnsonovo tělo sestaveno.
Je-li měsíc definován jako skupina dvou trojúhelníků připojených ke čtverci, slovo klínová koruna odpovídá klínovité korunovité skupině tvořené dvěma měsíci. Slovo dva -klinoid nebo dva- klinika znamená dvě takové skupiny.Tento článek používá názvy ze Zalgallerovy práce [3] . Spolu s čísly mnohostěnů, které uvádí Johnson, je v závorce uvedeno složené číslo ze Zalgallerova článku. V tomto složeném čísle
P n označuje hranol s n -gonální základnou. A n označuje antihranol s n -gonální základnou. M n označuje těleso s indexem n (tj. těleso je v tomto případě postaveno na základě jiného tělesa). Podtržení znamená rotaci tělaPoznámka : M n není totéž jako J n . Čtvercová pyramida J 1 (M 2 ) má tedy index 1 pro Johnsona a index 2 pro Zalgallera.
První dvě Johnsonova tělesa, J 1 a J 2 , jsou pyramidy . Trojúhelníková pyramida je pravidelný čtyřstěn , takže to není Johnsonovo těleso.
| opravit | J 1 (M 2 ) | J 2 (M 3 ) |
|---|---|---|
| Trojúhelníková pyramida ( tetrahedron ) |
čtvercová pyramida | Pětiboká pyramida |
Další čtyři polyhedra jsou tři kopule a jedna rotunda .
| Kopule | Rotundy | |||
|---|---|---|---|---|
| Homogenní | J 3 (M 4 ) | J 4 (M 5 ) | J 5 (M 6 ) | J 6 (M 9 ) |
| trojboký hranol | Trojspádová kopule | Kopule se čtyřmi sklony | kopule s pěti svahy | pětisvahová rotunda |
| Související jednotné mnohostěny | ||||
| Kuboktaedr | Rhombicuboktaedron | Rhombicosidodecahedron | ikosidodekaedru | |
Následujících pět Johnsonových mnohostěnů jsou protáhlé a zkroucené podlouhlé jehlany. Představují slepení dvou mnohostěnů. V případě torzně protáhlého trojúhelníkového jehlanu jsou tři páry sousedních trojúhelníků koplanární, těleso tedy není Johnsonovým mnohostěnem.
| Protáhlé pyramidy (nebo prodloužené hranoly) |
Točené podlouhlé pyramidy (nebo rozšířené antihranoly) | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 7 (M 1 + P 3 ) | J 8 (M 2 + P 4 ) | J 9 (M 3 + P 5 ) | koplanární | J 10 (M 2 + A 4 ) | J 11 (M 3 + A 5 ) |
| Protáhlá trojúhelníková pyramida | Protáhlý čtyřboký jehlan | Protáhlá pětiboká pyramida | Kroucená protáhlá trojúhelníková pyramida | Kroucená podlouhlá čtyřboká pyramida | Kroucená podlouhlá pětiboká pyramida |
| Prodloužený trojúhelníkový hranol | rozšířená kostka | Prodloužený pětiboký hranol | rozšířený osmistěn | Rozšířený čtvercový antihranol | Prodloužený pětiúhelníkový antihranol |
| Odvozeno z mnohostěnu | |||||
| čtyřstěnný trojúhelníkový hranol |
čtvercová pyramidová kostka |
Pětiboký jehlan pětiboký hranol |
čtyřstěn osmistěn |
Čtvercový jehlan čtvercový antihranol |
pětiboká pyramida pětiboký antihranol |
Následující Johnsonovy mnohostěny jsou bipyramidy , protáhlé bipyramidy a zkroucené protáhlé bipyramidy :
| Bipyramidy | Protáhlé bipyramidy | Zkroucené protáhlé bipyramidy | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J 12 (2M 1 ) | Opravit | J 13 (2M 3 ) | J 14 (M 1 + P 3 + M 1 ) | J 15 (M 2 + P 4 + M 2 ) | J 16 (M 3 + P 5 + M 3 ) | koplanární | J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) | opravit |
| trojúhelníková bipyramida | čtvercová bipyramida ( osmistěn ) |
Pentagonální bipyramida | Protáhlá trojúhelníková bipyramida | Protáhlá čtyřúhelníková bipyramida | Protáhlá pětiúhelníková bipyramida | Zkroucená protáhlá trojúhelníková bipyramida ( kosočtverec ) |
Zkroucená podlouhlá čtyřboká bipyramida | Zkroucená protáhlá pětiúhelníková bipyramida ( ikosaedr ) |
| Odvozeno z mnohostěnu | ||||||||
| čtyřstěn | čtvercová pyramida | Pětiboká pyramida | čtyřstěnný trojúhelníkový hranol |
čtvercová pyramidová kostka |
Pětiboký jehlan pětiboký hranol |
čtyřstěn osmistěn |
Čtvercový jehlan Čtyřboký antihranol |
Pentagonální pyramida Pentagonální antihranol |
| Protáhlé kopule | Protáhlá rotunda | Točené podlouhlé kupole | Točená protáhlá rotunda | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| koplanární | J 18 (M 4 + P 6 ) | J 19 (M 5 + P 8 ) | J 20 (M 6 + P 10 ) | J 21 (M 9 + P 10 ) | Konkávní | J 22 (M 4 + A 6 ) | J 23 (M 5 + A 8 ) | J 24 (M 6 + A 10 ) | J 25 (M 9 + A 10 ) |
| Protáhlá štítová kopule | Protáhlá trojúhelníková kopule | Protáhlá valbová kupole | Protáhlá pětistranná kopule | Protáhlá pětisvahová rotunda | Točená protáhlá štítová kupole | Točená protáhlá trojúhelníková kupole | Kroucená podlouhlá čtyřdílná kupole | Zkroucená podlouhlá kopule s pěti sklony | Točená protáhlá pětisvahová rotunda |
| Odvozeno z mnohostěnu | |||||||||
| Čtyřhranný hranol Trojúhelníkový hranol |
Šestihranný hranol |
Osmiboký hranol |
Dekagonální hranol Pětihranná kopule |
Dekagonální hranol |
Čtyřúhelníkový antihranol Trojúhelníkový hranol |
Šestihranný antihranol |
Osmiboký antihranol Čtyřboká kupole |
Dekagonální antihranol Pětiboká kopule |
Dekagonální antihranol Pětiboká rotunda |
Otočené trojúhelníkové bikupoly jsou polopravidelné mnohostěny (v tomto případě Archimédova tělesa ), takže nepatří do třídy Johnsonových polytopů.
| rovné kopule | Otočené kopule | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| koplanární | J 27 (2M 4 ) | J 28 (2M 5 ) | J 30 (2M 6 ) | J 26 (P 3 + P 3 ) | polosprávné | J 29 (M 5 + M 5 ) | J 31 (M 6 + M 6 ) |
| Štítová rovná oboustranná kopule | Přímá oboustranná kopule se třemi sklony | Čtyřsvahová rovná oboustranná kopule | Pět svahů rovný bi-dome | Gable soustružený bikupol ( gyrobifastigium ) |
Trojúhelníkový rotovaný dvojpól ( kuboktaedr ) |
Čtyři svahy otočené bi-kopule | Pětišikmá dvojitá kopule |
| Odvozeno z mnohostěnu | |||||||
| Kupolorotunda | birotundy | ||
|---|---|---|---|
| J 32 (M 6 + M 9 ) | J 33 (M 6 + M 9 ) | J 34 (2M 9 ) | polosprávné |
| Pětiboká přímá kopule | Pět svahů soustružená kopule-orotonda | Pěti svahová rovná birotunda | Pětistranná rotovaná birotunda icosidodecahedron |
| Odvozeno z mnohostěnu | |||
| Pětiletá kopule Pětiletá rotunda |
pětisvahová rotunda | ||
| Podlouhlé rovné bicupole | Protáhlé otočné oboustranné kopule | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| koplanární | J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) | polosprávné | J 38 (M 6 + P 10 + M 6 ) | koplanární | J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) | J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) | J 39 (M 6 + P 10 + M 6 ) |
| Protáhlá štítová rovná bi-kopule | Prodloužená rovná dvojitá kopule se třemi sklony | Podlouhlý čtvercový přímý dvojkomor ( rhombicuboktaedr ) |
Prodloužená rovná oboustranná kopule s pěti sklony | Podlouhlá dvojitá otočná dvojitá kopule | Podlouhlý tri-sklon otočný bi-dome | Prodloužený čtyřspádový otočný bi-dome | Protáhlá pětisklonná soustružená dvojitá kopule |
| protáhlá kopule-orotonda | Protáhlé birotundy | ||
|---|---|---|---|
| J 40 (M 6 + P 10 + M 9 ) | J 41 (M 6 + P 10 + M 9 ) | J 42 (M 9 + P 10 + M 9 ) | J 43 (M 9 + P 10 + M 9 ) |
| Protáhlá pětiramenná rovná kopule | Protáhlá pětiramenná soustružená kopule | Protáhlá pětisklonná rovná birotunda | Protáhlá pětisklonná soustružená birotunda |
Následující Johnsonovy pevné látky mají dvě chirální formy.
| Twisted protáhlé bi-kopule | Točená podlouhlá kopule | Kroucená podlouhlá birotunda | |||
|---|---|---|---|---|---|
| nekonvexní | J 44 (M 4 + A 6 + M 4 ) | J 45 (M 5 + A 8 + M 5 ) | J 46 (M 6 + A 10 + M 6 ) | J 47 (M 6 + A 10 + M 9 ) | J 48 (M 9 + A 10 + M 9 ) |
| Kroucená protáhlá štítová oboustranná kopule | Kroucená podlouhlá trojspádová dvojitá kopule | Kroucená podlouhlá čtyřdílná dvojitá kopule | Kroucená podlouhlá pětisklonná oboustranná kopule | Točená podlouhlá kopule s pěti sklony | Kroucená podlouhlá pětisklonná birotunda |
| Odvozeno z mnohostěnu | |||||
| Trojúhelníkový hranol Čtyřúhelníkový antihranol |
Trojúhelníková kopule Šestihranný antihranol |
Čtyřhranná kopule Osmiboký antihranol |
Pěti svahová kopule Dekagonální antihranol |
Pětiboká kopule Pětiboká rotunda Dekagonální antihranol |
Pětiboká rotunda Desetihranný antihranol |
| J 7 (M 1 + P 3 ) (opakovaně) |
J 49 (P 3 + M 2 ) | J 50 (P 3 + 2M 2 ) | J 51 (P 3 + 3M 2 ) | |
|---|---|---|---|---|
| Protáhlá trojúhelníková pyramida | Prodloužený trojúhelníkový hranol | Dvojitě prodloužený trojúhelníkový hranol | Trojitý prodloužený trojúhelníkový hranol | |
| Odvozeno z mnohostěnu | ||||
| trojúhelníkový hranol čtyřstěn |
Trojúhelníkový hranol Čtvercový jehlan | |||
| Prodloužené pětiboké hranoly | Prodloužené šestihranné hranoly | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 52 (P 5 + M 2 ) | J 53 (P 5 + 2M 2 ) | J 54 (P 6 + M 2 ) | J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) | J 56 (P 6 + 2M 2 ) | J 57 (P 6 + 3M 2 ) |
| Prodloužený pětiboký hranol | Dvojitě prodloužený pětiboký hranol | Prodloužený šestihranný hranol | Dvojitý protilehlý prodloužený šestihranný hranol | Dvojitě šikmo protažený šestiboký hranol | Trojitý prodloužený šestihranný hranol |
| Odvozeno z mnohostěnu | |||||
| Pětiboký hranol Čtvercový jehlan |
Šestihranný hranol Čtvercový jehlan | ||||
| Že jo | J 58 (M 15 + M 3 ) | J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) | J 60 (M 15 + 2 M 3 ) | J 61 (M 15 + 3 M 3 ) |
|---|---|---|---|---|
| dvanáctistěn | rozšířený dvanáctistěn | Dvanáctstěn dvojnásobně prodloužený | Dvanáctstěn dvojnásobně prodloužený | Triple Augmented Dodecahedron |
| Odvozeno z mnohostěnu | ||||
| Dvanáctistěn a pětiboká pyramida | ||||
| Že jo | J 11 (M 3 + A 5 ) (opakovaně) |
J 62 (M 7 + M 3 ) | J 63 (M 7 ) | J 64 (M 7 + M 1 ) |
|---|---|---|---|---|
| dvacetistěn | Odříznutý dvacetistěn ( kroucená podlouhlá pětiboká pyramida ) |
Dvakrát šikmo seříznutý dvacetistěn | Trojitý ikosaedr | Rozšířený trojitý ikosaedr |
| Odvozeno z mnohostěnu | ||||
| Trojstěnný dvacetistěn , pětiboká pyramida a čtyřstěn | ||||
| J 65 (M 10 + M 4 ) | J 66 (M 11 + M 5 ) | J 67 (M 5 + M 11 + M 5 ) |
|---|---|---|
| Rozšířený zkrácený čtyřstěn | Rozšířená zkrácená kostka | Dvojitě rozšířená zkrácená kostka |
| Odvozeno z mnohostěnu | ||
| Zkrácený čtyřstěn |
Zkrácená kostka | |
| polosprávné | J 68 (M 6 + M 12 ) | J 69 (M 6 + M 12 + M 6 ) | J 70 (M 12 + 2 M 6 ) | J 71 (M 12 + 3 M 6 ) |
|---|---|---|---|---|
| zkrácený dvanáctistěn | Rozšířený zkrácený dvanáctistěn | Dvanáctstěn zkrácený dvanáctistěn dvojnásobně prodloužený | Dvanáctstěn dvanáctistěn | Triple-Augmented Truncated Dodecahedron |
| J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 = M 6 + M 13 + 2 M 6 ) | J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 ) | J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 ) | J 75 (3 M 6 + M 13 ) |
|---|---|---|---|
| Zkroucený rhombicosidodecahedron | Dvojitě zkroucený rhombicosidodecahedron | Dvojitě zkroucený rhombicosidodecahedron | Tri-zkroucený kosočtverec |
| J 76 ( M6 + M14 = 2M6 + M13 ) | J 77 (M 14 + M 6 ) | J 78 (M 13 + M 6 + M 6 ) | J 79 (M 13 + 2 M 6 ) |
|---|---|---|---|
| Odřízněte rhombicosidodecahedron | Opačně zkroucený komolý kosočtverec | Šikmo zkroucený komolý kosočtverec | Dvojitě zkroucený komolý rhombicosidodecahedron |
| J 80 (M 14 ) | J 81 (M 13 + M 6 ) | J 82 (M 14 + M 6 ) | J 83 (M 13 ) |
| Dvojitě protilehlý řez rhombicosidodecaedron | Dvakrát šikmo seříznutý rhombicosidodecahedron | Kroucený dvojitě řezaný kosočtverec | Třísekovaný rhombicosidodecahedron |
Snub antiprismata mohou být konstruována změnou zkrácených antihranolů. Dvě tělesa jsou Johnsonovy mnohostěny, jedno těleso je pravidelné a zbytek nelze sestavit pomocí pravidelných trojúhelníků.
| J 84 (M 25 ) | Že jo | J 85 (M 28 ) | Špatně |
|---|---|---|---|
| Johnsonovo tělo | Že jo | Johnsonovo tělo | Konkávní |
Snub biklinoid ss{2,4} |
dvacetistěn ss{2,6} |
Snub square antiprism ss{2,8} |
ss{2,10} |
| nemožné postavit z pravidelných trojúhelníků |
| J 86 (M 22 ) | J 87 (M 22 + M 3 ) | J 88 (M 23 ) | |
|---|---|---|---|
| klínová koruna | Prodloužená klínová koruna | Velká klínová koruna | |
| J 89 (M 21 ) | J 90 (M 24 ) | J 91 (M 8 ) | J 92 (M 20 ) |
| Zploštělá velká klínová koruna | Biklinika s pásem | Dvojitá Serporotonda | Zploštělý trojúhelníkový klinorothon |
Pět Johnsonových mnohostěnů je deltahedrů , což znamená, že všechny jejich plochy jsou pravidelné trojúhelníky:
| J 12 (2M 1 ) Trojúhelníková bipyramida J 13 (2M 3 ) Pentagonální bipyramida J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) Zkroucená protáhlá čtyřúhelníková bipyramida | J 51 (P 3 + 3M 2 ) Trojitý prodloužený trojboký hranol J 84 (M 25 ) Plochonosý dvouklinoid |
Dvacet čtyři Johnsonových polytopů má pouze trojúhelníkové a čtyřúhelníkové plochy:
Jedenáct Johnsonových těles má pouze trojúhelníkové a pětiúhelníkové plochy:
|
J 2 (M 3 ) Pětiboká pyramida J 11 (M 3 + A 5 ) Stočený podlouhlý pětiboký jehlan J 34 (2M 9 ) Pěti svahová přímá birotunda J 48 (M 9 + A 10 + M 9 ) Točená podlouhlá pětisklonná birotunda J 58 (P 15 + M 3 ) Prodloužený dvanáctistěn J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) Dodekaedr zdvojený opačně |
J 60 (M 15 + 2M 3 ) Dodekaedr zdvojený šikmo J 61 (M 15 + 2M 3 ) Trojitý prodloužený dvanáctistěn J 62 (M 7 +M 3 ) Dvojitý šikmo seříznutý dvacetistěn J 63 (M 7 ) Třikrát řezaný dvacetistěn J 64 (M 7 + M 1 ) Prodloužený trojitý ikosaedr |
Osm Johnsonových mnohostěnů má pouze trojúhelníkové, čtvercové a šestiúhelníkové plochy:
|
J 3 (M 4 ) Trojdílná kopule J 18 (M 4 + P 6 ) Protáhlá třísklonná kopule J 22 (M 4 + A 6 ) Točená podlouhlá třísklonná kopule J 54 (P 6 + M 2 ) Prodloužený šestihranný hranol |
J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) Dvojitý opačně prodloužený šestihranný hranol J 56 (P 6 +2M 2 ) Dvojitě šikmo vysunutý šestihranný hranol J 57 (P 6 + 3M 2 ) Trojitý prodloužený šestihranný hranol J 65 (M 10 + M 4 ) Prodloužený zkrácený čtyřstěn |
Pět Johnsonových mnohostěnů má pouze trojúhelníkové, čtvercové a osmiúhelníkové plochy:
|
J 4 (M 5 ) Kopule se čtyřmi sklony J 19 (M 5 + P 8 ) Protáhlá čtyřdílná kopule J 23 (M 5 + A 8 ) Točená podlouhlá čtyřdílná kopule |
J 66 (M 11 + M 5 ) Prodloužená komolá krychle J 67 (M 5 + M 11 + M 5 ) Dvojitě prodloužená komolá krychle |
25 Johnsonových polytopů má vrcholy, které leží na stejné kouli: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Všechny tyto mnohostěny lze získat z pravidelných nebo stejnoměrných mnohostěnů rotací (kopule) nebo řezáním (kupole nebo pyramida) [4] .
| Osmistěn | Kuboktaedr | Rhombicuboktaedron | |||
|---|---|---|---|---|---|
| J 1 (M 2 ) |
J 3 (M 4 ) |
J 27 (2M 4 ) |
J 4 (M 5 ) |
J 19 (M 5 + P 8 ) |
J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) |
| dvacetistěn | ikosidodekaedru | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 2 (M 3 ) |
J 63 (M 7 ) |
J 62 (M 7 + M 3 ) |
J 11 (M 3 + A 5 ) |
J 6 (M 9 ) |
J 34 (2M 9 ) |
| J 5 (M 6 ) |
J 76 (M 6 + M 14 ) |
J 80 (M 14 ) |
J 81 (M 13 + M 6 ) |
J 83 (M 13 ) |