Hvězdicový osmistěn

hvězdicový osmistěn
Typ	Správné spojení mnohostěnů
tváře	8 trojúhelníků
žebra	12
Vrcholy	osm
Skupiny symetrie Skupina Coxeter	Oktaedrální ( O h ) [4,3] nebo [[3,3]]
Jádro	Osmistěn
symbol Schläfli
Coxeter symbol	{4,3}[2{3,3}]{3,4} [1]
Coxeterův graf	∪=
konvexní obal	Krychle
Index	UC 4 , W 19
Dvojí	Self-duální

Hvězdicovitý osmistěn nebo osmistěn stella je jedinou hvězdicovou formou osmistěnu . Latinský název stella octangula dostal mnohostěn od Keplera v roce 1609, ačkoli byl znám dřívějším geometrům . Je tedy zobrazen v Pacioliho díle De Divina Proportione, 1509.

Polyhedron je nejjednodušší z pěti pravidelných polyhedra sloučenin .

Na hvězdicový osmistěn lze pohlížet jako na trojrozměrné zobecnění hexagramu  - hexagram je dvourozměrný obrazec tvořený dvěma na sobě umístěnými pravidelnými trojúhelníky, které jsou vůči sobě středově symetrické , a úplně stejným způsobem lze vytvořit hvězdicový osmistěn. ze dvou středově symetrických protínajících se čtyřstěnů. Lze to také považovat za jednu z fází konstrukce 3D Kochovy sněhové vločky , fraktální postavy získané opakovaným připojováním menších čtyřstěnů ke každému trojúhelníkovému povrchu většího obrázku. Počáteční fází stavby Kochovy sněhové vločky je jeden centrální čtyřstěn a druhou fází, získanou přidáním čtyř menších čtyřstěnů k plochám centrálního čtyřstěnu, bude hvězdicový osmistěn.

Konstrukce

Hvězdicový osmistěn lze získat několika způsoby:

• Toto je formace hvězdicového pravidelného osmistěnu , který si zachovává roviny tváře. Okraje hvězdy jsou velmi jednoduché: (Viz Wenninger model W 19 ).
• Je to pravidelná sloučenina mnohostěnu , pokud je konstruována jako spojení dvou čtyřstěnů (čtyřstěnu a jeho duálního čtyřstěnu ).
• Lze jej získat přidáním trojúhelníkových jehlanů ke každé ploše pravidelného osmistěnu . V této konstrukci má mnohostěn stejnou topologii jako konvexní katalánský pevný triakisoktaedr , který má mnohem kratší pyramidy.
• Jedná se o fasetování krychle se zachováním vrcholů.

Související pojmy

Můžete vytvořit spojení dvou kulových čtyřstěnů, jak je znázorněno na obrázku.

Dva čtyřstěny ve spojení hvězdicového osmistěnu jsou „desmické“, což znamená (při pohledu jako čáry v projektivním prostoru ), že každá hrana jednoho čtyřstěnu protíná protější hranu druhého čtyřstěnu. Jeden z těchto průsečíků je viditelný v hvězdicovém osmistěnu. Další průsečík je v nekonečném bodě promítací roviny mezi dvěma rovnoběžnými hranami dvou čtyřstěnů. Tyto dva čtyřstěny mohou být dokončeny do desmického systému tří čtyřstěnů, kde třetí čtyřstěn má jako čtyři vrcholy tři průsečíky v nekonečnu a těžiště dvou konečných čtyřstěnů. Stejných dvanáct vrcholů čtyřstěnů tvoří body Reyeovy konfigurace .

Hvězdicová osmistěnná čísla  jsou obrazná čísla , která počítají počet kuliček, které lze umístit do hvězdicovitého osmistěnu. Tato čísla se rovnají

V populární kultuře

Hvězdicový osmistěn je reprezentován spolu s některými dalšími mnohostěny a sloučeninami mnohostěnů v Escherových „Hvězdách“ [2] a „Dvojitý asteroid“ (1949) [3] .

Galerie

Poznámky

1. ↑ Coxeter, 1973 , str. 48-50, 98.
2. ↑ Hart, 1996 .
3. ↑ Coxeter, 1985 , str. 59–69.

Literatura

• P. Cromwell. Mnohostěn. - Spojené království: Cambridge University Press, 1997. - s. 79–86 Archimédova tělesa . - ISBN 0-521-55432-2 .

• HSM Coxeter . 3.6 Pět pravidelných sloučenin , str. 47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids , str. 96-104 // Regular Polytopes . — 3. vydání. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• George W Hart. The Polyhedra of MC Escher // WEB článek. — 1996.
• HSM Coxeter. Speciální recenze knihy: MC Escher: Jeho život a kompletní grafické dílo // The Mathematical Intelligencer. - 1985. - T. 7 , no. 1 . - doi : 10.1007/BF03023010 .

Externí odkazy

• VRML model: [1]
• MathWorld, Stella Octangula Archivováno 10. prosince 2015 na Wayback Machine
• KlitzingPolytopes|../incmats/so.htm Richard Klitzing, 3D sloučenina Archivováno 6. listopadu 2015 na Wayback Machine