Deltahedra

Deltaedr je mnohostěn , jehož všechny plochy jsou pravidelné trojúhelníky . Název je převzat z řeckého velkého písmene delta ( ), které má tvar rovnostranného trojúhelníku. Existuje nekonečně mnoho deltahedrů, ale pouze osm z nich je konvexních a mají 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 a 20 tváří [1] .

Počet ploch, hran a vrcholů je uveden níže pro každý z osmi deltaedrů.

Konvexní deltahedra

Celkem je zde 8 konvexních deltahedrů [2] , z nichž 3 jsou platónská tělesa a 5 jsou Johnsonovy mnohostěny .

V deltaedru se 6 stěnami jsou některé vrcholy stupně 3 a některé stupně 4. V deltaedru s 10, 12, 14 a 16 stěnami jsou některé vrcholy stupně 4 a některé stupně 5. Těchto pět nepravidelných deltaedrů patří do třídy mnohostěnů s pravidelnými plochami - konvexní mnohostěny s pravidelnými mnohoúhelníky jako plochami.

Neexistuje žádný konvexní deltaedr s 18 plochami [3] . Avšak dvacetistěn se staženou hranou poskytuje příklad osmistěnu , který může být buď konvexní s 18 nepravidelnými plochami, nebo se dvěma sadami tří rovnostranných trojúhelníků ležících ve stejné rovině.

Pravidelné deltahedry
název obraz Počet
vrcholů 		Počet
žeber 		Počet
tváří 		Konfigurace
vertexu 		Skupina symetrie
pravidelný čtyřstěn čtyři 6 čtyři 4 x 3 3 T d , [3,3]
Pravidelný osmistěn (čtyřhranná bipyramida) 6 12 osm 6× 34 O h , [4,3]
Pravidelný dvacetistěn 12 třicet dvacet 12× 35 I h , [5,3]
Johnsonova deltahedra
trojúhelníková bipyramida 5 9 6 2 x 3 3
3 x 3 4 		D 3h , [3,2]
Pentagonální bipyramida 7 patnáct deset 5 x 3 4
2 x 3 5 		D 5h , [5,2]
skvamózní biklinoid osm osmnáct 12 4 x 3 4
4 x 3 5 		D2d , [2,2 ]
Trojitý prodloužený trojúhelníkový hranol 9 21 čtrnáct 3 x 3 4
6 x 3 5 		D 3h , [3,2]
Zkroucená podlouhlá čtyřboká bipyramida deset 24 16 2 x 3 4
8 x 3 5 		D4d , [4,2 ]

Nepřísně konvexní případy

Existuje nekonečně mnoho deltahedrů s koplanárními (ležícími ve stejné rovině) trojúhelníky. Pokud jsou sady koplanárních trojúhelníků považovány za jednu plochu, lze spočítat méně ploch, hran a vrcholů. Koplanární trojúhelníkové plochy lze sloučit do kosočtvercových, lichoběžníkových, šestiúhelníkových nebo jiných rovnostranných polygonálních ploch. Každá plocha musí být konvexní mnohoúhelník , jako například , , , , , a , ... [4]

Několik malých příkladů

Koplanární deltaedry
Obrázek název tváře žebra Vrcholy Konfigurace vertexu Skupina symetrie
Extended octahedron
Rozšíření
1 tetra. + 1. října 		deset patnáct 7 1 x 3 3
3 x 3 4
3 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
4 3
 12
Trojúhelníkový trapezohedron
Rozšíření
2 tetra. + 1. října 		12 osmnáct osm 2 x 3 3
0 x 3 4
6 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
6 12
Rozšíření
2 tetra. + 1. října 		12 osmnáct osm 2 x 3 3
1 x 3 4
4 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
2 2 2

 jedenáct 7
Trojúhelníkový komolý jehlan
Rozšíření
3 tetra. + 1. října 		čtrnáct 21 9 3 x 3 3
0 x 3 4
3 x 3 5
3 x 3 6 		C 3v , [3]
1 3 1

 9 6
Protáhlý osmistěn
Prodloužení
2 tetra. + 2. října 		16 24 deset 0 x 3 3
4 x 3 4
4 x 3 5
2 x 3 6 		D 2h , [2,2]
4 4
 12 6
Tetrahedron
Extension
4 tetra. + 1. října 		16 24 deset 4 x 3 3
0 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		T d , [3,3]
čtyři 6 čtyři
Rozšíření
3 tetra. + 2. října 		osmnáct 27 jedenáct 1 x 3 3
2 x 3 4
5 x 3 5
3 x 3 6 		D 2h , [2,2]
2 1 2 2


 čtrnáct 9
Ikosahedr se staženým okrajem osmnáct 27 jedenáct 0 x 3 3
2 x 3 4
8 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
12 2
 22 deset
Bi-zkrácená bipyramida
Rozšíření
6 tetra. + 2. října 		dvacet třicet 12 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
3 x 3 6 		D 3h , [3,2]
26 _
 patnáct 9
Trojdílná kupole
Rozšíření
4 tetra. + 3. října 		22 33 13 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
4 x 3 6 		C 3v , [3]
3 3 1 1


 patnáct 9
Trojúhelníkové bipyramidové
prodloužení
8 tetra. + 2. října 		24 36 čtrnáct 2 x 3 3
3 x 3 4
0 x 3 5
9 x 3 6 		D 3h , [3]
6 9 5
Šestihranný antihranol 24 36 čtrnáct 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
2 x 3 6 		D 6d , [12,2 + ]
12 2
 24 12
Zkrácený čtyřstěn
Rozšíření
6 čtyřstěn. + 4. října 		28 42 16 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
4 x 3 6 		T d , [3,3]
4 4
 osmnáct 12
Tetrakiskuboctahedron
Octahedron
Extension
8 tetra. + 6. října 		32 24 osmnáct 0 x 3 3
12 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		O h , [4,3]
osm 12 6

Nekonvexní deltahedry

Existuje nekonečně mnoho nekonvexních a toroidních deltahedrů.

Příklad deltaedru se samo se protínajícími plochami

Další nekonvexní deltahedry lze získat přidáním pyramid na plochy všech 5 pravidelných mnohostěnů:

Triakistetrahedron Tetrakishedron Triakisoctahedron
( stella octangula ) 		Pentakisdodekaedron Triakisicosahedron
12 trojúhelníků 24 trojúhelníků 60 trojúhelníků

Další rozšíření čtyřstěnů:

Příklady: Augmented Tetrahedra
8 trojúhelníků 10 trojúhelníků 12 trojúhelníků

Také přidáním obrácených pyramid na obličeje:


Vrubový dvanáctistěn
toroidní deltaedr
60 trojúhelníků 48 trojúhelníků

Poznámky

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , s. 115–128.
  2. ↑ Konvexní deltaedry . Získáno 6. června 2016. Archivováno z originálu dne 26. září 2020.
  3. ↑ Trigg, 1978 , str. 55–57.
  4. ↑ Konvexní deltahedra a přípustnost koplanárních ploch . Získáno 13. října 2017. Archivováno z originálu 19. října 2015.

Literatura