Mnohostěn duální (nebo duální) k danému mnohostěnu je mnohostěn, ve kterém každá plocha původního mnohostěnu odpovídá vrcholu duálu a každý vrchol původního mnohostěnu odpovídá ploše duálu. Počet hran původního a duálního mnohostěnu je stejný. Mnohostěn duální k duálnímu je totožný s originálem.
Nejjednodušší způsob, jak vytvořit duální polytop, je následující:
| Mnohostěn | Dvojí |
|---|---|
| Čtyřstěn | Čtyřstěn |
| Osmistěn | Krychle |
| dvacetistěn | dvanáctistěn |
| Kuboktaedr | rombický dvanáctistěn |
| ikosidodekaedru | Rhombotriakontahedron |
Pro uniformní polytopy lze tvář duálního polytopu nalézt z figury vrcholu původního polytopu pomocí konstrukce Dormana Luka . Tuto konstrukci původně popsali Cundy a Rollett (1961) a později ji zobecnil Wenninger (1983).
Jako příklad si vezměme vrcholový obrazec (červený) kuboktaedru , který se používá k získání líce (modrého) kosočtvercového dvanáctistěnu .
Před zahájením stavby získáme vrcholový obrazec ABCD seříznutím každé sousední hrany uprostřed.
Stavba Dormana Lukea probíhá následovně:
V tomto příkladu je velikost vrcholového útvaru zvolena tak, že jeho opsaný kruh leží na polovepsané kouli (koule dotýkající se všech okrajů) kuboktaedru, který se také stává polovepsanou koulí jeho duálního kosočtverce. dvanáctistěn.
Konstrukce Dormana Lukea může být použita pouze tehdy, když má mnohostěn takovou polovepsanou kouli a vrcholový obrazec je cyklický, tzn. pro jednotné mnohostěny .
Topologicky jsou self-duální polytopy ty, jejichž duály mají přesně stejný vztah mezi vrcholy, hranami a plochami. V abstraktu se jedná o mnohostěny s identickými Hasseovými diagramy .
Geometricky autoduální polytop není pouze topologicky autoduální, polární transformace polytopu vzhledem k nějakému bodu, obvykle jeho těžišti, je kongruentní obrazec. Například duální mnohostěn pravidelného čtyřstěnu je další pravidelný čtyřstěn ( centrálně symetrický kolem středu čtyřstěnu).
Libovolný polygon je topologicky autoduální (má stejný počet vrcholů a hran a ty mění místa v důsledku duality), ale obecně nejsou geometricky samoduální (pokud jsou považovány za tuhé těleso). Pravidelné mnohoúhelníky jsou geometricky samoduální - všechny úhly jsou stejné, stejně jako hrany.
Nejpřijímanějším geometrickým zobrazením konvexního mnohostěnu je zobrazení v kanonické podobě, kdy se všechny jeho hrany musí dotýkat určité koule, jejíž střed se shoduje s těžištěm tečných bodů. Pokud je takový obrazec autoduální, polární transformace je s ním shodná.
Existuje nekonečně mnoho geometricky dvoustěnných mnohostěnů. Nejjednodušší nekonečnou rodinou jsou pyramidy s n stranami v kanonické podobě. Další nekonečná rodina, podlouhlé pyramidy , se skládá z mnohostěnů, které si lze představit jako pyramidy sedící na vrcholcích hranolů (se stejným počtem stran). Přidejte na dno hranolu komolý jehlan a máte další nekonečnou rodinu.
Existuje mnoho dalších konvexních dvoustěnných mnohostěnů. Například existuje 6 různých mnohostěnů se 7 vrcholy a 16 s 8 vrcholy [1]
Lze také najít nekonvexní samo-dvojité mnohostěny, jako je vrubový dvanáctistěn
3 |
čtyři |
5 |
6 |
3 |
4 |
5 |
3 |
čtyři |
5 |
6 |
7 |