Schlegelův diagram

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Schlegelův diagram je projekce polytopu od do bodem za jednou z jeho tváří . Výsledný obrazec je kombinatoricky ekvivalentní původnímu polytopu. Diagram je pojmenován po Viktoru Schlegelovi , který tuto metodu navrhl v roce 1886 ke studiu kombinatorických a topologických vlastností polytopů. V dimenzích 3 a 4 jsou Schlegelovy diagramy projekcí (3-rozměrného) polytopu do rovinného obrazce a projekcí 4-rozměrného polytopu do trojrozměrného prostoru.respektive. Jako takové se Schlegelovy diagramy často používají k vizualizaci 4D mnohostěnů.

Konstrukce

Nejelementárnější popis Schlegelova diagramu pro mnohostěn uvádí Duncan Sommerville [1] :

Velmi užitečnou metodou znázornění konvexního mnohostěnu je rovinné promítání. Pokud je tato projekce z vnějšího bodu, protože každý paprsek prochází mnohostěnem dvakrát, bude reprezentován polygonální oblastí rozdělenou dvakrát na mnohoúhelníky. Vždy je vhodná volba promítacího středu tak, aby projekce jedné z ploch obsahovala průměty všech ostatních ploch. Toto se nazývá Schlegelův diagram mnohostěnu. Schlegelův diagram plně reprezentuje morfologii mnohostěnu. Někdy je vhodné promítnout mnohostěn z vrcholu. Vrchol se promítá do nekonečna a na diagramu se neobjevuje, hrany k němu jdoucí jsou reprezentovány paprsky jdoucími do nekonečna.

Sommerville také zvažoval případ simplexu ve čtyřrozměrném prostoru [2] : "Schlegelův diagram simplexu v S 4 je čtyřstěn rozdělený na čtyři čtyřstěny." Obecněji řečeno, polytop v n-rozměrném prostoru má Schlegelův diagram vytvořený pomocí perspektivní projekce přes bod mimo polytop, nad středem obličeje. Všechny vrcholy a hrany polytopu se promítají do nadroviny této plochy. Je-li polytop konvexní, je v blízkosti plochy bod, ve kterém se tato plocha stává vnější a všechny ostatní plochy jsou uvnitř, přičemž hrany se nebudou protínat.

Příklady

dvanáctistěn 120 buněk

12 pětiúhelníkových ploch v rovině
120 dvanáctistěnů (buněk) ve 3-rozměrném prostoru

Různé typy vizualizace dvacetistěnu


perspektivní
skenovat
projekce

Petri
Schlegel
Vertexová postava

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Sommervill, 1929 , str. 100.
  2. ↑ Sommervill, 1929 , str. 101.

Literatura

Odkazy