Seznam pravidelných vícerozměrných mnohostěnů a sloučenin
| Pravidelné (2D) mnohoúhelníky | |
|---|---|
| konvexní | hvězdicový |
{5} |
{5/2} |
| Běžné 3D mnohostěny | |
| konvexní | hvězdicový |
{5,3} |
{5/2,5} |
| Správné 2D obklady | |
| euklidovský | Hyperbolický |
{4,4} |
{5,4 |
| Pravidelné 4D mnohostěny | |
| konvexní | hvězdicový |
{5,3,3} |
{5/2,5,3 |
| Správné 3D obklady | |
| euklidovský | Hyperbolický |
{4,3,4} |
{5,3,4} |
Tato stránka obsahuje seznam pravidelných vícerozměrných polytopů (polytopů) a pravidelných spojení těchto polytopů v euklidovských , sférických a hyperbolických prostorech různých rozměrů.
Symbol Schläfli popisuje každý pravidelný obklad n-koule, euklidovského a hyperbolického prostoru. Schläfliho symbol pro popis n-rozměrného mnohostěnu také popisuje obklad (n-1)-koule. Kromě toho je symetrie pravidelného mnohostěnu nebo obkladu vyjádřena jako Coxeterova grupa , kterou Coxeter označoval shodně se Schläfliho symboly s výjimkou ohraničení hranatými závorkami a tento zápis se nazývá Coxeterova notace . Dalším souvisejícím symbolem je Coxeter-Dynkinův diagram , který představuje skupinu symetrie (bez zakroužkovaných uzlů) a pravidelné polytopy nebo teselace s zakroužkovaným prvním uzlem. Například krychle má Schläfliho symbol {4,3} se svou oktaedrickou symetrií [4,3] popř.
, je reprezentován Coxeterovým diagramem
.
Pravidelné mnohostěny jsou seskupeny podle rozměru a poté podle tvaru - konvexní, nekonvexní a nekonečné. Nekonvexní pohledy používají stejné vrcholy jako konvexní pohledy, ale mají protínající se fasety (fazety maximálního rozměru = rozměry prostoru - 1). Nekonečné pohledy dělí euklidovský prostor o jeden rozměr méně.
Nekonečné formy mohou být rozšířeny do hyperbolických prostorových teselací . Hyperbolický prostor je podobný běžnému prostoru, ale rovnoběžné čáry se rozcházejí se vzdáleností. To umožňuje, aby obrazce vrcholů měly negativní rohové defekty . Například sedm pravidelných trojúhelníků , které leží v rovině, se může sbíhat ve vrcholu. To nelze provést na obyčejné (euklidovské) rovině, ale lze to provést v určitém měřítku na hyperbolické rovině.
Polytopy, které splňují obecnější definici a nemají jednoduché Schläfliho symboly, zahrnují pravidelné zkosené polytopy a nekonečně úhlové pravidelné zkosené mnohostěny s nerovinnými fasetami nebo vrcholovými obrazci .
Přehled
Tabulka ukazuje souhrn pravidelných mnohostěnů podle rozměrů.
| Finále | euklidovský | Hyperbolický | Spojení | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Velikost | Konvexní _ |
Hvězdný chat |
šikmý | Konvexní _ |
Kompaktní _ |
Hvězdný chat |
Paracompact _ |
Konvexní _ |
Hvězdný chat |
| jeden | jeden | 0 | 0 | jeden | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | ∞ | ∞ | ∞ | jeden | jeden | 0 | 0 | ∞ | ∞ |
| 3 | 5 | čtyři | ? | 3 | ∞ | ∞ | ∞ | 5 | 0 |
| čtyři | 6 | deset | ? | jeden | čtyři | 0 | jedenáct | 26 | dvacet |
| 5 | 3 | 0 | ? | 3 | 5 | čtyři | 2 | 0 | 0 |
| 6 | 3 | 0 | ? | jeden | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 |
| 7 | 3 | 0 | ? | jeden | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 |
| osm | 3 | 0 | ? | jeden | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 |
| 9+ | 3 | 0 | ? | jeden | 0 | 0 | 0 | * | 0 |
* 1, pokud je rozměr 2 k − 1; 2 je-li rozměr mocninou dvou; 0 jinak.
V euklidovském prostoru žádné dimenze nejsou žádné pravidelné hvězdné obklady.
Jednorozměrný prostor
| Coxeter-Dynkinův diagram představuje zrcadlené "roviny" jako uzly a umístí kolem uzlu kruh, pokud bod neleží v rovině. Segment , { },je bod p a zrcadlový obraz bodu p , stejně jako segment mezi nimi.
|
Jednorozměrný polytop (1-polytop) je uzavřený segment ohraničený dvěma koncovými body. 1-polytop je regulární podle definice a je reprezentován Schläfliho symbolem { } [1] [2] nebo Coxeterovým diagramem s jedním zakroužkovaným uzlem,. Norman Johnson jim dal jméno datale a symbol Schläfli { } [3] .
Být triviální jako mnohostěn, daityl vzniká jako hrany mnohoúhelníků a mnohostěnů [4] . Používá se v definici homogenních hranolů (jako v Schläfliho symbolu { }×{p}) nebo v Coxeterově diagramu
jako přímý součin úsečky a pravidelného mnohoúhelníku [5] .
Dvourozměrný prostor (polygony)
Dvourozměrné polytopy se nazývají polygony . Pravidelné mnohoúhelníky mají stejné strany a jsou vepsány do kruhu. Pravidelný p-úhelník je reprezentován Schläfliho symbolem {p}.
Obvykle jsou za pravidelné považovány pouze konvexní mnohoúhelníky , ale hvězdicové mnohoúhelníky jako pentagram lze také považovat za pravidelné. Používají stejné vrcholy jako konvexní tvary, ale spojují se jiným způsobem, kde se kružnice prochází více než jednou.
Hvězdicové polygony by se měly nazývat nekonvexní spíše než konkávní , protože průsečík hran netvoří nové vrcholy a všechny vrcholy jsou na kružnici.
Vyboulení
Schläfliho symbol {p} představuje pravidelný p - gon .
| název | Trojúhelník ( 2-simplex ) |
Čtverec (2 - ortoplex ) ( 2 kostky ) |
Pentagon | Šestiúhelník | Sedmiúhelník | Osmiúhelník | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Schläfli | {3} | {čtyři} | {5} | {6} | {7} | {osm} | |
| Symetrie | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | D8 , [ 8 ] | |
| coxeter |
|
|
|
|
|
| |
| Obrázek | |||||||
| název | Pentagon | Decagon | Hendecagon | dvanáctiúhelník | Třináct | čtyřúhelník | |
| Schläfli | {9} | {deset} | {jedenáct} | {12} | {13} | {čtrnáct} | |
| Symetrie | D9 , [ 9 ] | D10 , [ 10 ] | D 11 , [11] | D12 , [ 12 ] | D 13 , [13] | D14 , [ 14 ] | |
| Dynkin | 
|
|
|
|
|
| |
| Obrázek | |||||||
| název | Pentagon | Šestiúhelník | Sedmnáct | osmiúhelník | Devatenáctiúhelník | dvanáctiúhelník | ... p-gon |
| Schläfli | {patnáct} | {16} | {17} | {osmnáct} | {19} | {dvacet} | { p } |
| Symetrie | D15 , [ 15 ] | D16 , [ 16 ] | D17 , [ 17 ] | D18 , [ 18 ] | D19 , [ 19 ] | D20 , [ 20 ] | D p , [p] |
| Dynkin | 
|
|
|
|
|
|
|
| Obrázek |
Pravidelný digon {2} lze považovat za degenerovaný pravidelný mnohoúhelník. Může existovat jako nezdegenerovaný v některých neeuklidovských prostorech, jako je povrch koule nebo torus .
| název | Monogon | Bigon |
|---|---|---|
| symbol Schläfli | {jeden} | {2} |
| Symetrie | D 1 , [ ] | D 2 , [2] |
| Coxeterův diagram | nebo 
|
|
| Obrázek |
Hvězdy
Ve 2D prostoru je nekonečně mnoho pravidelných hvězdných mnohostěnů (tj. mnohoúhelníků), jejichž Schläfliho symboly jsou racionální čísla { n / m }. Říká se jim hvězdicové polygony a mají stejné vrcholové uspořádání jako konvexní mnohoúhelník.
Obecně platí, že pro jakékoli přirozené číslo n a pro všechna m taková, že m < n /2 a m , n coprime , existuje n-bodových pravidelných hvězd se Schläfliho symboly { n / m } (přesně řečeno, { n / m }= { n /( n − m )}) .
| název | Pentagram | Heptagramy | Oktagram | Enneagramy | Dekagram | ... n-gramů | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | { p/q } |
| Symetrie | D 5 , [5] | D 7 , [7] | D8 , [ 8 ] | D9 , [ 9 ], | D10 , [ 10 ] | Dp , [ p ] | ||
| coxeter |  
|
|
|
|
|
|
|
|
| Obrázek | ||||||||
{11/2} |
{11/3} |
{11/4} |
{11/5} |
{12/5} |
{13/2} |
{13/3} |
{13/4} |
{13/5} |
{13/6} | |
{14/3} |
{14/5} |
{15/2} |
{15/4} |
{15/7} |
{16/3} |
{16/5} |
{16/7} | |||
{17/2} |
{17/3} |
{17/4} |
{17/5} |
{17/6} |
{17/7} |
{17/8} |
{18/5} |
{18/7} | ||
{19/2} |
{19/3} |
{19/4} |
{19/5} |
{19/6} |
{19/7} |
{19/8} |
{19/9} |
{20/3} |
{20/7} |
{20/9} |
Prostorové polygony
Ve 3-rozměrném prostoru se pravidelný prostorový mnohoúhelník [6] nazývá antiprizmatický mnohoúhelník a má stejné vrcholové uspořádání jako antiprisma a jeho hrany jsou podmnožinou hran antihranolu, spojující vrcholy horního a dolního mnohoúhelníku klikatě.
| Šestiúhelník | Osmiúhelník | Decagon | ||
| D 3d , [2 + ,6] | D4d , [ 2 + ,8] | D 5d , [2 + ,10] | ||
|---|---|---|---|---|
| {3}#{} | {čtyři#{ } | {5}#{ } | {5/2 #{ } | {5/3 #{ } |
Ve 4-rozměrném prostoru může mít pravidelný prostorový mnohoúhelník vrcholy na Cliffordově torusu a je spojen s Cliffordovou rotací . Na rozdíl od antiprizmatických 3D polygonů mohou mít 3D polygony s dvojitou rotací lichý počet stran.
Lze je vidět v Petriho polygonech konvexních pravidelných čtyřrozměrných mnohostěnů , viděných jako pravidelné ploché polygony obvodů Coxeterových projekcí:
| Pentagon | Osmiúhelník | dvanáctiúhelník | Trojúhelník |
|---|---|---|---|
Pětibuňkový |
Hexadecimální buňka |
dvacet čtyři buňky |
Šest set buněk |
Trojrozměrný prostor (polyedry)
Ve 3D prostoru pravidelný mnohostěn se Schläfliho symbolem {p,q} a Coxeterovým diagramem
má pravidelné plochy tvaru {p} a pravidelný vrcholový obrazec {q}.
Vrcholový obrazec (mnohostěnu) je mnohoúhelník získaný spojením vrcholů, které jsou od daného vrcholu vzdáleny jednu hranu. U pravidelných 3D mnohostěnů je tento vrcholový obrazec vždy pravidelným (a rovinným) mnohoúhelníkem.
Existence pravidelného mnohostěnu {p,q} je omezena nerovností související s rohovou vadou vrcholového obrazce:
: Mnohostěn (existuje v euklidovském 3prostoru) : Euklidovský plošný obklad : Obložení hyperbolické roviny
Přečíslujeme -li permutace , najdeme 5 konvexních tvarů, 4 hvězdicové tvary a 3 rovinné dlaždice, všechny s polygony {p} a {q} ze seznamu: {3}, {4}, {5}, {5/2} a {6}.
Kromě euklidovských prostorových obkladů existuje nekonečné množství pravidelných hyperbolických obkladů.
Vyboulení
Pět konvexních pravidelných mnohostěnů se nazývá platónská tělesa . Tvar vrcholu je určen spolu s počtem vrcholů. Všechny tyto mnohostěny mají Eulerovu charakteristiku (χ) 2.
| název | Schläfli {p,q} |
coxeter
|
Kresba (průhledná) |
Kresba (tělo) |
Kresba (koule) |
Fazety {p} |
žebra | Vrcholy {q} |
Symetrie | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| čtyřstěn ( 3-simplex ) |
{3,3} |
|
4 {3} |
6 | 4 {3} |
T d [3,3] (*332) |
(sebeduální) | |||
| Hexová kostka ( 3 kostky ) |
{4,3} |
|
6 {4} |
12 | 8 {3} |
O h [4,3] (*432) |
Osmistěn | |||
| Oktaedr (3 -ortoplex ) |
{3,4} |
|
8 {3} |
12 | 6 {4} |
O h [4,3] (*432) |
Krychle | |||
| dvanáctistěn | {5,3} |
|
12 {5} |
třicet | 20 {3} |
I h [5,3] (*532) |
dvacetistěn | |||
| dvacetistěn | {3,5} |
|
20 {3} |
třicet | 12 {5} |
I h [5,3] (*532) |
dvanáctistěn |
Ve sférické geometrii existují pravidelné sférické mnohostěny ( obklady na kouli ), které jsou v normálním případě degenerované mnohostěny. Jsou to osohedra {2,n} a jejich duální dihedra {n,2}. Coxeter nazývá takové případy „nevhodnými“ teselacemi [7] .
Prvních několik příkladů (n od 2 do 6) je uvedeno níže.
| název | Schläfli {2,p} |
Coxeterův diagram |
Kresba (koule) |
Tváře {2} π/p |
žebra | Vrcholy {p} |
Symetrie | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dvojúhelníkový osohedron | {2,2} |
|
2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Self-duální | |
| trojúhelníkový osohedron | {2,3} |
|
3 {2} π/3 |
3 | 2 {3} |
D 3h [2,3] (*322) |
trojúhelníkový dihedron | |
| Čtvercový osohedron | {2,4} |
|
4 {2} π/4 |
čtyři | 2 {4} |
D 4h [2,4] (*422) |
čtvercový dihedron | |
| Pětiúhelníkový osohedron | {2,5} |
|
5 {2} π/5 |
5 | 2 {5} |
D 5h [2,5] (*522) |
Pětiúhelníkový dihedron | |
| Šestihranný osoedr | {2,6} |
|
6 {2} π/6 |
6 | 2 {6} |
D 6h [2,6] (*622) |
Šestihranný dihedron |
| název | Schläfli {p,2} |
Coxeterův graf |
Kresba (koule) |
Fazety {p} |
žebra | Vrcholy {2} |
Symetrie | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dvojúhelníkový dihedron | {2,2} |
|
2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Self-duální | |
| trojúhelníkový dihedron | {3,2} |
|
2 {3} |
3 | 3 {2} π/3 |
D 3h [3,2] (*322) |
trojúhelníkový osohedron | |
| čtvercový dihedron | {4,2} |
|
2 {4} |
čtyři | 4 {2} π/4 |
D 4h [4,2] (*422) |
Čtvercový osohedron | |
| Pětiúhelníkový dihedron | {5,2} |
|
2 {5} |
5 | 5 {2} π/5 |
D 5h [5,2] (*522) |
Pětiúhelníkový osohedron | |
| Šestihranný dihedron | {6,2} |
|
2 {6} |
6 | 6 {2} π/6 |
D 6h [6,2] (*622) |
Šestihranný osoedr |
Existují také hvězdné dihedry a osohedra, jako například {5/2,2} a {2,5/2}.
Hvězdy
Pravidelné hvězdicové mnohostěny se nazývají Kepler-Poinsotova tělesa a jsou čtyři. Jsou založeny na umístění vrcholů dvanáctistěnu {5,3} a dvacetistěnu {3,5}:
Podobně jako kulovité obklady tyto hvězdicové tvary vícenásobně překrývají kouli, což se nazývá jejich hustota . U těchto tvarů je hustota 3 nebo 7. Mozaikové kresby zobrazují plochy jednotlivých sférických mnohoúhelníků žlutě.
| název | Kresba (průhledná) |
Kresba (neprůhledná) |
Obrázek (kulatý) |
Schéma vzniku hvězdicovitého tvaru |
Schläfli {p,q} a Coxeter |
Fazety {p} |
žebra | Vrcholy {q} Obrázek |
χ | Hustota [ en | Symetrie | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Malý hvězdicový dvanáctistěn | {5/2,5}
|
12 {5/2} |
třicet | 12 {5} |
−6 | 3 | I h [5,3] (*532) |
Velký dvanáctistěn | ||||
| Velký dvanáctistěn | {5,5/2}
|
12 {5} |
třicet | 12 {5/2} |
−6 | 3 | I h [5,3] (*532) |
Malý hvězdicový dvanáctistěn | ||||
| Velký hvězdicový dvanáctistěn | {5/2,3}
|
12 {5/2} |
třicet | 20 {3} |
2 | 7 | I h [5,3] (*532) |
Velký dvacetistěn | ||||
| Velký dvacetistěn | {3,5/2}
|
20 {3} |
třicet | 12 {5/2} |
2 | 7 | I h [5,3] (*532) |
Velký hvězdicový dvanáctistěn |
Zkosit mnohostěny
Pravidelný zešikmený mnohostěn je zobecněním množiny pravidelných polytopů, ve kterých je povolena nerovinnost vrcholových obrazců .
Pro 4-rozměrné zkosené mnohostěny Coxeter navrhl modifikovaný Schläfliho symbol {l,m|n}, který má vrcholový obrazec {l,m}, m l-úhelníků kolem vrcholu s n -gonálními otvory. Jejich vrcholové tvary jsou prostorové mnohoúhelníky představující klikatky mezi dvěma rovinami.
Pro pravidelné zkosené mnohostěny reprezentované symbolem {l,m|n} platí rovnost:
2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)Čtyři z nich lze vidět ve 4-rozměrném prostoru jako sadu ploch čtyř pravidelných 4-polyedrů se stejným uspořádáním vrcholů a uspořádáním hran :
| {4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4| 3} |
|---|
Čtyřrozměrný prostor
Běžné 4rozměrné mnohostěny se symbolem Schläfli mají buňky pohledu, plochy pohledu , tvary hran a tvary vrcholů .
- Vrcholový obrazec (4-rozměrného polytopu) je (3-rozměrný) polytop tvořený vrcholy polytopu sousedícími s daným vrcholem. Pro pravidelné 4-polytopy je tento vrcholový obrazec pravidelným (3-rozměrným) polytopem.
- Hranový obrazec je mnohoúhelník tvořený plochami přiléhajícími k okraji. U pravidelných 4D mnohostěnů bude hranový obrazec vždy pravidelným mnohoúhelníkem.
Existence pravidelných čtyřrozměrných polytopů je omezena existencí pravidelného polytopu . Pro 4-rozměrné mnohostěny se navrhuje používat název "polychorus" [8] [9]
Každý druh může existovat v prostoru v závislosti na následujícím výrazu:
: Hyperkulové 3-rozměrné plástve nebo 4-rozměrné mnohostěny : Euklidovská 3-rozměrná voština : Hyperbolická 3-rozměrná plástev
Tato omezení platí pro 21 tvarů – 6 tvarů je konvexních, 10 není konvexních, jeden je euklidovský trojrozměrný plást a 4 jsou hyperbolické plástve.
Eulerova charakteristika čtyřrozměrného mnohostěnu se vypočítá podle vzorce a pro všechny typy se rovná nule.
Vyboulení
6 konvexních pravidelných 4D mnohostěnů je zobrazeno v tabulce níže. Všechny tyto mnohostěny mají Eulerovu charakteristiku (χ) 0.
| název |
Schläfli {p,q,r} |
coxeter
|
Buňky {p,q} |
Fazety {p} |
žebro {r} |
Vrcholy {q,r} |
Duální {r,q,p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pětibuňkový ( 4-simplexní ) |
{3,3,3} |
|
5 {3,3} |
10 {3} |
10 {3} |
5 {3,3} |
(sebeduální) |
| Tesseract ( 4 kostky ) |
{4,3,3} |
|
8 {4,3} |
24 {4} |
32 {3} |
16 {3,3} |
Hexadecimální buňka |
| Šestnáctičlánková (4 - ortoplexní ) |
{3,3,4} |
|
16 {3,3} |
32 {3} |
24 {4} |
8 {3,4} |
tesseract |
| dvacet čtyři buňky | {3,4,3} |
|
24 {3,4} |
96 {3} |
96 {3} |
24 {4,3} |
(sebeduální) |
| 120 buněk | {5,3,3} |
|
120 {5,3} |
720 {5} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
600 buněk |
| 600 buněk | {3,3,5} |
|
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {3,5} |
120 buněk |
| Pětibuňkový | tesseract | Šestnáctičlánek _ |
Dvacet čtyři buňky |
120 buněk |
600 buněk |
|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| Drátěný model ( Petriho polygon ) v šikmé ortogonální projekci | |||||
| ortogonální projekce | |||||
Čtyřboká skořepina ( centrovaná buňka/vrchol ) |
Krychlový plášť (střed buněk) |
Krychlový plášť (střed buněk) |
Kuboktaedrický plášť (střed buněk) |
Zkrácená rombotriakontaedrická skořápka ( centrovaná buňkami ) |
Pentakiikosi - dodekaedrická skořápka (střed na vrchol) |
| Schlegelovy diagramy ( perspektivní projekce ) | |||||
(uprostřed buňky) |
(uprostřed buňky) |
(uprostřed buňky) |
(uprostřed buňky) |
(uprostřed buňky) |
(nahoře uprostřed) |
| Stereografický projekční rámec ( hypersférický ) | |||||
4-rozměrné dihedra a osohedra existují jako pravidelné obklady 3-koule .
Mezi běžné 4rozměrné dihedra (2 fasety = 3rozměrné plochy) patří: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} a jejich duální 4rozměrné osoedry (2 vrcholy): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Mnohostěny tvaru {2,p,2} jsou jak 4-rozměrné dihedry, tak osoedry. Existují také formy {p,2,q}, které mají dihedrální buňky a osoedrické vrcholy.
| Schläfli {2,p,q} |
coxeter
|
Buňky {2,p} π/q |
Tváře {2} π/p,π/q |
žebra | Vrcholy | Vrchol {p,q} |
Symetrie | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {2,3,3} |
|
4 {2,3} π/3 |
6 {2} π/3,π/3 |
čtyři | 2 | {3,3} |
[2,3,3] | {3,3,2} |
| {2,4,3} |
|
6 {2,4} π/3 |
12 {2} π/4,π/3 |
osm | 2 | {4,3} |
[2,4,3] | {3,4,2} |
| {2,3,4} |
|
8 {2,3} π/4 |
12 {2} π/3,π/4 |
6 | 2 | {3,4} |
[2,4,3] | {4,3,2} |
| {2,5,3} |
|
12 {2,5} π/3 |
30 {2} π/5,π/3 |
dvacet | 2 | {5,3} |
[2,5,3] | {3,5,2} |
| {2,3,5} |
|
20 {2,3} π/5 |
30 {2} π/3,π/5 |
12 | 2 | {3,5} |
[2,5,3] | {5,3,2} |
Hvězdy
Existuje deset pravidelných 4-rozměrných hvězdných mnohostěnů , které se nazývají Schläfli-Hessovy polytopy . Jejich vrcholy jsou umístěny na konvexní buňce 120 { 5,3,3 } a šestistovce {3,3,5} .
Ludwig Schläfli našel čtyři z nich a zbývajících šest zahodil, protože nedovolil narušení Eulerovy charakteristiky na buňkách nebo vertexových obrazcích (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) dokončil tento seznam ve své knize Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ( [3] , 1883 Úvod do práce koule zohledňující teorii izoedrických a rovnoúhelníkových mnohostěnů) .
V těchto 10 pravidelných stelovaných 4D mnohostěnech jsou 4 uspořádání hran a 7 uspořádání ploch , znázorněné jako ortogonální projekce :
| název |
rám | Tělo | Schläfli {p, q, r} Coxeter |
Buňky {p, q} |
Fazety {p} |
žebro {r} |
Vrcholy {q, r} |
Hustota [ en | χ | Skupina symetrie | Duální {r, q, p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Icosahedral 120-cell (fazetovaný 600-cell) |
{3,5,5/2}
|
120 {3,5} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
čtyři | 480 | H 4 [5,3,3] |
Malá hvězdicová 120článková | ||
| Malý hvězdicový 120článkový | {5/2,5,3}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
120 {5,3} |
čtyři | −480 | H 4 [5,3,3] |
Ikosahedrický 120-článkový | ||
| Velká 120 buňka | {5,5/2,5}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
6 | 0 | H 4 [5,3,3] |
self-duální | ||
| Skvělá 120článková | {5,3,5/2}
|
120 {5,3} |
720 {5} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
dvacet | 0 | H 4 [5,3,3] |
Velká hvězdicová 120článková | ||
| Velká hvězdicová 120článková | {5/2,3,5}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
720 {5} |
120 {3,5} |
dvacet | 0 | H 4 [5,3,3] |
Skvělá 120článková | ||
| Skvělý stellated 120-cell | {5/2,5,5/2}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
66 | 0 | H 4 [5,3,3] |
self-duální | ||
| Velká skvělá 120článková | {5,5/2,3}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
1200 {3} |
120 {5/2,3} |
76 | −480 | H 4 [5,3,3] |
Velký dvacetistěnný 120-článkový | ||
| Velký ikosaedrický 120-buňkový (velký fasetový 600-buňkový) |
{3,5/2,5}
|
120 {3,5/2} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
76 | 480 | H 4 [5,3,3] |
Velký velký 120článkový | ||
| Skvělé 600 buněk | {3,3,5/2}
|
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
191 | 0 | H 4 [5,3,3] |
Velký velký hvězdicový 120-článkový | ||
| Velká skvělá 120článková | {5/2,3,3}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
191 | 0 | H 4 [5,3,3] |
Skvělých 600 buněk |
Existují 4 neúspěšné pravidelné hvězdicové permutace polytopů: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Jejich buňky a vertexové obrazce existují, ale nepokrývají hypersféru konečným počtem zobrazení.
Rozměr pět a vyšší
V pětirozměrném prostoru lze pravidelné polytopy označit jako , kde je typ se 4 obličeji, je buněčný typ, je typ se 2 obličeji, je tvar obličeje, je okrajový obrazec a je vrchol postava.
Vrcholový obrazec (5-rozměrného polytopu) je 4-rozměrný polytop tvořený vrcholy sousedícími s daným vrcholem. Hranový obrazec (5-rozměrného mnohostěnu) je mnohostěn tvořený plochami kolem každé hrany. Tvar obličeje (5-rozměrný mnohostěn) je mnohostěn tvořený buňkami kolem každé tváře.
Pravidelný 5-polytop existuje pouze tehdy, když a jsou pravidelnými 4-polytopy.
V závislosti na hodnotě
získat typ prostoru
: Kulový 4D obklad nebo 5D mnohostěn : Euklidovský 4-rozměrný obklad : Hyperbolický 4D obklad
Z těchto omezení získáme 3 konvexní mnohostěny, nula nekonvexních polytopů, 3 4rozměrné obklady a 5 hyperbolických 4rozměrných obkladů. V 5D a výše nejsou žádné nekonvexní pravidelné mnohostěny.
Vyboulení
V dimenzích 5 a výše jsou pouze tři typy konvexních pravidelných mnohostěnů [10] .
| název | Schläfliho symbol { p 1 ,...,p n −1 } |
coxeter | k -tváří | Typ fazety |
Vertexová postava |
Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n -simplexní | { 3n− 1 } | ... |
{ 3n −2 } | { 3n −2 } | Self-duální | |
| n -krychle | {4,3n − 2 } | ... |
{4,3n − 3 } | { 3n −2 } | n -ortoplex | |
| n - ortoplex | { 3n − 2,4 } | ... |
{ 3n −2 } | { 3n − 3,4 } | n -krychle |
Existují také nesprávné případy, kdy jsou některá čísla v symbolu Schläfli rovna 2. Například {p,q,r,...2} je nesprávný pravidelný sférický polytop v případě {p,q,r... } je pravidelný sférický polytop a {2,...p,q,r} je nevlastní pravidelný sférický polytop, když {...p,q,r} je pravidelný sférický polytop. Takové mnohostěny mohou být použity jako fasety poskytující tvary tvaru {p,q,...2...y,z}.
Pětirozměrné prostory| název | Schläfli symbol { p,q,r,s} Coxeter |
Počet faset ( čtyřrozměrné plochy) {p,q,r} |
Buňky (3D plochy) {p,q} |
Obličeje (2D) {p} |
žebra | Vrcholy | Tvar obličeje {s} |
Hranová postava {r,s} |
Vrchol { q,r,s} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hexateron | {3,3,3,3} |
6 {3,3,3} |
15 {3,3} |
20 {3} |
patnáct | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| Penteract | {4,3,3,3} |
10 {4,3,3} |
40 {4,3} |
80 {4} |
80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| 5-ortoplex | {3,3,3,4} |
32 {3,3,3} |
80 {3,3} |
80 {3} |
40 | deset | {čtyři} | {3,4} | {3,3,4} |
Hexateron |
Penteract |
5-ortoplex |
| název | Schläfli | Vrcholy | žebra | Fazety (2D) | Buňky (3D) | 4D tváře | 5D tváře | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-simplex | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 0 |
| Hexeract | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 0 |
| 6-orthoplex | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 |
6rozměrný simplex |
Hexeract |
6-rozměrný ortoplex |
| název | Schläfli | Vrcholy | žebra | Fazety (2D) | Buňky (3D) | 4D tváře | 5D tváře | 6D tváře | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7-simplex | {3,3,3,3,3,3} | osm | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | osm | 2 |
| Hepteract | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | čtrnáct | 2 |
| 7-ortoplex | {3,3,3,3,3,4} | čtrnáct | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 2 |
7-simplex |
Hepteract |
7-ortoplex |
| název | Schläfli | Vrcholy | žebra | Fazety (2D) | Buňky (3D) | 4D tváře | 5D tváře | 6D tváře | 7D tváře | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8-simplex | {3,3,3,3,3,3,3} | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 0 |
| Octeraact | {4,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 0 |
| 8-ortoplex | {3,3,3,3,3,3,4} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 |
8-simplex |
Octeraact |
8-ortoplex |
| název | Schläfli | Vrcholy | žebra | Fazety (2D) | Buňky (3D) | 4D tváře | 5D tváře | 6D tváře | 7D tváře | 8D tváře | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9-simplex | {3 8 } | deset | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | deset | 2 |
| Entereract | {4,3 7 } | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | osmnáct | 2 |
| 9-orthoplex | {3 7,4 } | osmnáct | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 2 |
9-simplex |
Entereract |
9-orthoplex |
| název | Schläfli | Vrcholy | žebra | Fazety (2D) | Buňky (3D) | 4D tváře | 5D tváře | 6D tváře | 7D tváře | 8D tváře | 9D tváře | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10-simplex | { 39 } | jedenáct | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | jedenáct | 0 |
| Deceract | {4,3 8 } | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | dvacet | 0 |
| 10-ortoplex | {3 8,4 } | dvacet | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 0 |
10-simplex |
Deceract |
10-ortoplex |
...
Nekonvexní
V rozměrech 5 nebo vyšších nejsou žádné nekonvexní pravidelné mnohostěny.
Pravidelné projektivní mnohostěny
Projektivní regulární ( n + 1)-polytop existuje, pokud původní regulární n -kulový obklad {p,q,...} je středově symetrický . Takové mnohostěny se nazývají semi-{p,q,...} a obsahují o polovinu méně prvků. Coxeter jim dává symbol {p,q,...}/2, zatímco McMullen píše {p,q,...} h/2 , kde h je Coxeterovo číslo . [jedenáct]
Pravidelné polygony se sudým počtem stran mají semi - 2n -gonální projektivní polygony, {2p}/2.
Existují 4 pravidelné projektivní polytopy , které odpovídají 4 z 5 platónských těles .
Polokrychle a semi - oktaedry se zobecňují na semi- n -krychle a semi- n - ortoplexy v jakékoli dimenzi.
Pravidelné projektivní mnohostěny ve 3D prostoru
| název | Coxeter McMullen |
obraz | tváře | Hrany | Vrcholy | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Půl kostky | {4,3}/2 {4,3} 3 |
3 | 6 | čtyři | jeden | |
| Semioctahedron | {3,4}/2 {3,4} 3 |
čtyři | 6 | 3 | jeden | |
| Semidodekaedr | {5.3}/2 {5.3} 5 |
6 | patnáct | deset | jeden | |
| Semiicosahedron | {3.5}/2 {3.5} 5 |
deset | patnáct | 6 | jeden |
Pravidelné projektivní mnohostěny ve čtyřech rozměrech
Ve 4-rozměrném prostoru tvoří 5 ze 6 konvexních pravidelných mnohostěnů projektivní 4-polytopy. Tyto 3 speciální případy jsou polovina dvacet čtyři buněk, polovina šest set buněk a polovina sto dvacet buněk.
| semi tesseract | {4,3,3}/2 | {4,3,3} 4 | čtyři | 12 | 16 | osm | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| půl šestnácti buňka | {3,3,4}/2 | {3,3,4} 4 | osm | 16 | 12 | čtyři | 0 |
| polo dvacet čtyři buňky | {3,4,3}/2 | {3,4,3} 6 | 12 | 48 | 48 | 12 | 0 |
| semi 120 buňka | {5,3,3}/2 | {5,3,3} 15 | 60 | 360 | 600 | 300 | 0 |
| půl šest set buněk | {3,3,5}/2 | {3,3,5} 15 | 300 | 600 | 360 | 60 | 0 |
Pravidelné projektivní polytopy v pětirozměrném prostoru
V prostorech dimenze 5 a výše jsou pouze 2 konvexní pravidelné projektivní semipolytopy.
| název | Schläfli | 4D tváře | Buňky (3D) | Fazety (2D) | žebra | Vrcholy | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| semi penteract | {4,3,3,3}/2 | 5 | dvacet | 40 | 40 | 16 | jeden |
| semi pentacross | {3,3,3,4}/2 | 16 | 40 | 40 | dvacet | 5 | jeden |
Infinitesimals
Infinite jemnohostěns nekonečným počtem faset. nvrchol jen-rozměrný vrchol nekonečna: 2-nekonečný vrchol = nekonečno-úhelník (apeirogon), 3-nekonečný vrchol = nekonečný vrchol ve 3D prostoru atd.
Existují dvě hlavní geometrické třídy infinitetopů: [12]
- Pravidelné plástve v n -rozměrném prostoru, zcela vyplňující n -rozměrný prostor.
- Pravidelné šikmé infinitetopy obsahující n rozměrné variety ve vyšších prostorech.
Jednorozměrný prostor (nekonečno)
Přímý apeirogon je pravidelný obklad přímky s jejím rozdělením na nekonečně mnoho stejných segmentů. Má nekonečně mnoho vrcholů a hran. Jeho symbol Schläfli je {∞} a jeho Coxeterův diagram je
.
... ...
Apeirogony na hyperbolické rovině , mezi nimiž je nejpozoruhodnější pravidelný apeirogon {∞}, mohou mít zakřivení, jako konečné polygony na euklidovské rovině, a mít vrcholy ležící na horocyklech nebo hypercyklech .
Pravidelné apeirogony s konvergencí v nekonečnu mají symbol {∞} a existují na horocyklech, i když obecně mohou existovat na hypercyklech.
| {∞} | {πi/λ} |
|---|---|
Nekonečno na horocyklu |
Nekonečno v hypercyklu |
Nahoře jsou zobrazeny dva hyperbolické apeirogony na Poincarého disku . Obrázek vpravo ukazuje kolmé čáry oddělující základní oblasti oddělené od sebe vzdáleností λ.
Prostorová nekonečnaŠikmé apeirogony ve dvourozměrném prostoru (rovině) tvoří cikcak. Pokud je klikatá symetrická a jednotná, je apeirogon správný.
Šikmé apeirogony lze konstruovat v prostoru libovolné dimenze. V trojrozměrném prostoru tvoří šikmé apeirogony spirálu a mohou být vlevo nebo vpravo.
| dvourozměrný prostor | 3D prostor |
|---|---|
Apeirogon ve formě cikcaku |
spirální apeirogon |
Dvourozměrný prostor (nekonečno)
Euklidovské obkladyExistují tři pravidelné obklady letadla. Všechny tři mají Eulerovu charakteristiku (χ) 0.
| název | Čtvercová mozaika (kvadrilla) |
Trojúhelníková mozaika (deltatilní) |
Šestihranné parkety (šestihranné) |
|---|---|---|---|
| Symetrie | p4m, [4,4], (*442) | p6m, [6,3], (*632) | |
| Schläfli {p,q} | {4,4} | {3,6} | {6,3} |
| Coxeterův graf |
|
|
|
| Obrázek | |||
Existují dva nesprávné pravidelné obklady - {∞,2}, nekonečně úhlový dihedron , získaný ze dvou apeirogonů , z nichž každý vyplňuje polorovinu, a jeho duální {2,∞} obklad, nekonečně úhlový osoedr , který může být reprezentován jako nekonečný počet rovnoběžných čar.
{∞,2} ,
|
{2,∞} ,
|
Nejsou zde žádné pravidelné obklady roviny hvězdicovými polygony . Existuje nekonečně mnoho dvojic čísel, pro které je splněna podmínka plochého uspořádání (1/ p + 1/ q = 1/2), například {8/3.8}, {10/3.5}, {5/2.10 }, {12/5,12} atd., ale žádná z těchto hvězd není vhodná pro obklady.
Hyperbolické obkladyObklady hyperbolického dvourozměrného prostoru jsou hyperbolické obklady . V H 2 je nekonečně mnoho pravidelných obkladů . Jak je uvedeno výše, jakýkoli kladný pár { p , q } takový, že 1/ p + 1/ q < 1/2 dává hyperbolické dlaždice. Ve skutečnosti pro obecný Schwartzův trojúhelník ( p , q , r ) totéž platí pro 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.
Existuje mnoho různých způsobů, jak reprezentovat hyperbolickou rovinu, včetně Poincarého diskového modelu , který mapuje rovinu na disk, jak je ukázáno níže. Všechny polygonální plochy obkladu by měly být považovány za rovnostranné a polygony se zmenšují, když se přibližujete k okraji disku kvůli projekci, což je podobné efektu kamery typu rybí oko .
Existuje nekonečně mnoho plochých pravidelných 3-nekonečných vrcholů jako pravidelných dlaždic hyperbolické roviny tvaru {p,q}, kde p+q<pq/2.
- {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
- {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
- {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
- {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
- {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
- {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
- {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
- ...
- {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
Příklady:
| Sférické (platónské) / euklidovské / hyperbolické (Poincare disk: kompaktní / parakompaktní / nekompaktní ) obklady se svými symboly Schläfli | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p\q | 3 | čtyři | 5 | 6 | 7 | osm | ... | ∞ | ... | iπ/λ |
| 3 | ( čtyřstěn ) {3,3}
|
( osmistěn ) {3,4}
|
( dvacetistěn ) {3,5}
|
( delta dlaždice ) {3,6}
|
{3,7}
|
{3,8}
|
{3,∞}
|
{3,iπ/λ} 
| ||
| čtyři | ( kostka ) {4,3}
|
( čtyřkolka ) {4,4}
|
{4,5}
|
{4,6}
|
{4,7}
|
{4,8}
|
{4,∞}
|
{4,iπ/λ}
| ||
| 5 | ( dvanáctistěn ) {5,3}
|
{5,4}
|
{5,5}
|
{5,6}
|
{5,7}
|
{5,8}
|
{5,∞}
|
{5,iπ/λ}
| ||
| 6 | ( hexatile ) {6,3}
|
{6,4}
|
{6,5}
|
{6,6}
|
{6,7}
|
{6,8}
|
{6,∞}
|
{6,iπ/λ}
| ||
| 7 | {7,3}
|
{7,4}
|
{7,5}
|
{7,6}
|
{7,7}
|
{7,8}
|
{7,∞}
|
{7,iπ/λ}
| ||
| osm | {8,3}
|
{8,4}
|
{8,5}
|
{8,6}
|
{8,7}
|
{8,8}
|
{8,∞}
|
{8,iπ/λ}
| ||
| ... | ||||||||||
| ∞ | {∞,3}
|
{∞,4}
|
{∞,5}
|
{∞,6}
|
{∞,7}
|
{∞,8}
|
{∞,∞}
|
{∞,iπ/λ}
| ||
| ... | ||||||||||
| iπ/λ | {ip/λ,3}
|
{ip/λ,4}
|
{ip/λ,5}
|
{ip/λ,6}
|
{ip/λ,7}
|
{ip/λ,8}
|
{iπ/λ,∞}
|
{iπ/λ,iπ/λ}
| ||
Existují dva nekonečné typy hyperbolických dlaždic, jejichž tváře nebo vrcholy jsou hvězdicové polygony — { m /2, m } a jejich duály { m , m /2} s m = 7, 9, 11, .... Mozaiky { m / 2, m } jsou stelace { m , 3} obkladů, zatímco duální obklady { m , m /2} jsou aspekty {3, m } obkladů a augmentace { m , 3} obkladů.
Schémata { m /2, m } a { m , m / 2} pokračují pro liché m < 7 jako mnohostěn : pokud m = 5, dostaneme malý hvězdicový dvanáctistěn a velký dvanáctistěn a s m = 3 čtyřstěn . Další dvě tělesa Kepler-Poinsot ( velký hvězdicový dvanáctistěn a velký dvacetistěn ) nemají v pravidelných hyperbolických obkladech obdoby. Je-li m sudé, v závislosti na tom, jak zvolíme definici { m /2}, můžeme získat buď degenerovaný kryt jiného obkladu, nebo spojení obkladů .
| název | Schläfli | Coxeterův graf | Obrázek | Typ obličeje {p} |
Vrchol {q} |
Hustota [ en | Symetrie | dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sedmiúhelníkový obklad objednávky 7 | {7/2,7} |
|
{7/2} |
{7} |
3 | *732 [7,3] |
Sedmiúhelníkový heptagramový obklad | |
| Heptagonální heptagramový obklad | {7,7/2} |
|
{7} |
{7/2} |
3 | *732 [7,3] |
Heptagramová dlaždice objednávky 7 | |
| Enneagram Mosaic of Order 9 | {9/2,9} |
|
{9/2} |
{9} |
3 | *932 [9,3] |
Devítistranný obklad Enneagram | |
| Devítistranný obklad Enneagram | {9,9/2} |
|
{9} |
{9/2} |
3 | *932 [9,3] |
Objednejte 9 devítistranných obkladů Enneagram | |
| Genekagramová mozaika řádu 11 | {11/2,11} |
|
{11/2} |
{jedenáct} |
3 | *11.3.2 [11.3] |
Hendekagramový obklad jedenáctiúhelníkový obklad | |
| Hendekagramový obklad jedenáctiúhelníkový obklad | {11,11/2} |
|
{jedenáct} |
{11/2} |
3 | *11.3.2 [11.3] |
Genekagramová mozaika řádu 11 | |
| p - gram obklad zakázky p | { p /2, p } |
|
{ p /2} | { p } | 3 | * str 32 [p,3] |
p - gram p - obklad z dřevěného uhlí | |
| p -gram obklad p -úhlový obklad | { p , p /2} |
|
{ p } | { p /2} | 3 | * str 32 [p,3] |
p -gram obklad zakázky p |
V euklidovském 3D prostoru existují tři pravidelná nekonečná zešikmení s pravidelným prostorovým mnohoúhelníkem jako vrcholy [13] [14] [15] . Mají stejné vrcholové uspořádání a uspořádání hran jako 3 konvexní jednotné plástve .
- 6 čtverců kolem každého vrcholu: {4,6|4}
- 4 šestiúhelníky kolem každého vrcholu: {6,4|4}
- 6 šestiúhelníků kolem každého vrcholu: {6,6|3}
| Pravidelný šikmý mnohoúhelník | ||
|---|---|---|
{4,6|4} |
{6,4|4} |
{6,6|3} |
V euklidovském trojrozměrném prostoru je třicet pravidelných nekonečností [17] . Zahrnují jak výše uvedené, tak 8 dalších „čistých“ nekonečností. Všechny jsou spojeny s krychlovými plástvemi {4,3,4}. Zbytek má prostorové polygonální plochy: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6,4 , {∞,6} 4,4 a {∞,6} 6,3 .
Šikmá nekonečna v hyperbolickém 3D prostoruV hyperbolickém trojrozměrném prostoru je 31 pravidelných šikmých nekonečnů ] :
- 14 kompaktních: {8.10|3}, {10.8|3}, {10.4|3}, {4.10|3}, {6.4|5}, {4.6|5}, {10,6|3}, {6 ,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, { 8,6|3} a {6,8|3}.
- 17 parakompakt: {12.10|3}, {10.12|3}, {12.4|3}, {4.12|3}, {6.4|6}, {4.6|6}, {8,4|4}, {4, 8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, { 8,6|4}, {6,8|4}, { 12.8|3}, {8.12|3} a {8.8|4}.
Existuje pouze jedna nedegenerovaná pravidelná dlaždice 3-rozměrného prostoru ( voština ), {4, 3, 4} [19] :
| název | Schläfli {p,q,r} |
coxeter
|
Typ buňky {p,q} |
Typ obličeje {p} |
Hrana { r} |
Vrchol { q,r} |
χ | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| krychlový plást | {4,3,4} | |
{4,3} | {čtyři} | {čtyři} | {3,4} | 0 | Self-duální |
Existuje šest nesprávných pravidelných obkladů, párově založených na třech pravidelných euklidovských obkladech. Jejich buňky a vrcholy jsou pravidelné { 2,n} osohedra , {n,2} dihedra a euklidovské dlaždice. Tyto nesprávné pravidelné mozaiky strukturálně souvisí s prizmatickými jednotnými plástvemi operací zkrácení. Jsou to vysokorozměrné protějšky 2. řádu s nekonečným úhlem [en a nekonečným úhlem osohedronu .
| Schläfli {p,q,r} |
Coxeterův graf |
Typ buňky {p,q} |
Typ obličeje {p} |
Hrana { r} |
Vrchol { q,r} |
|---|---|---|---|---|---|
| {2,4,4 | |
{2,4} | {2} | {čtyři} | {4,4} |
| {2,3,6 | |
{2,3} | {2} | {6} | {3,6} |
| {2,6,3} | |
{2,6} | {2} | {3} | {6,3} |
| {4,4,2} | |
{4,4} | {čtyři} | {2} | {4,2} |
| {3,6,2} | |
{3,6} | {3} | {2} | {6,2} |
| {6,3,2} | |
{6,3} | {6} | {2} | {3,2} |
| ||||
|
V hyperbolickém trojrozměrném prostoru je deset plochých pravidelných plástů [20] ( výše uvedené jako obklady):
- 4 kompaktní: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} a {5,3,5}
- 6 paracompact: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6} , {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} a {6,3,6}.
Dlaždice hyperbolického 3-prostoru lze nazvat hyperbolické plástve . V H 3 je 15 hyperbolických plástů , 4 kompaktní a 11 parakompaktů.
| název | symbol Schläfli { p,q,r} |
coxeter
|
Typ buňky {p,q} |
Typ obličeje {p} |
Hrana { r} |
Vrchol { q,r} |
χ | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ikosahedrické plástve | {3,5,3} | |
{3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | Self-duální |
| Krychlové plástve řád 5 | {4,3,5} | |
{4,3} | {čtyři} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} |
| Objednejte si 4 dvanáctistěnné plástve | {5,3,4} | |
{5,3} | {5} | {čtyři} | {3,4} | 0 | {4,3,5} |
| Dodekaedrální plástev řád 5 | {5,3,5} | |
{5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | Self-duální |
Existuje také 11 parakompaktních voštin H3 ( s nekonečnými (euklidovskými) buňkami a/nebo vertexovými obrazci): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } a {6,3,6}.
| název | symbol Schläfli { p,q,r} |
coxeter
|
Typ buňky {p,q} |
Tpi okraj {p} |
Hrana { r} |
Vrchol { q,r} |
χ | Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Čtyřboké plástve řádu 6 | {3,3,6} | |
{3,3} | {3} | {6} | {3,6} | 0 | {6,3,3} |
| Šestihranné mozaikové plástve | {6,3,3} | |
{6,3} | {6} | {3} | {3,3} | 0 | {3,3,6} |
| Objednejte si 4 osmistěnné plástve | {3,4,4} | |
{3,4} | {3} | {čtyři} | {4,4} | 0 | {4,4,3} |
| Čtvercové mozaikové plástve | {4,4,3} | |
{4,4} | {čtyři} | {3} | {4,3} | 0 | {3,3,4} |
| Trojúhelníkové mozaikové plástve | {3,6,3} | |
{3,6} | {3} | {3} | {6,3} | 0 | Self-duální |
| Krychlové plástve řád 6 | {4,3,6} | |
{4,3} | {čtyři} | {čtyři} | {3,4} | 0 | {6,3,4} |
| Objednejte si 4 šestihranné mozaikové plástve | {6,3,4} | |
{6,3} | {6} | {čtyři} | {3,4} | 0 | {4,3,6} |
| Čtvercové mozaikové plástve, objednávka 4 | {4,4,4} | |
{4,4} | {čtyři} | {čtyři} | {4,4} | 0 | {4,4,4} |
| Dodekaedrální plástev řád 6 | {5,3,6} | |
{5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | {6,3,5} |
| Šestihranná mozaiková voštinová řád 5 | {6,3,5} | |
{6,3} | {6} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,6} |
| Šestihranné mozaikové plástve, objednávka 6 | {6,3,6} | |
{6,3} | {6} | {6} | {3,6} | 0 | Self-duální |
Nekompaktní řešení existují jako skupiny Lorentzian Coxeter a lze je vizualizovat s otevřenou oblastí v hyperbolickém prostoru (základní čtyřstěn s některými částmi nedosažitelnými kvůli nekonečnu) a některé jsou nakresleny níže a ukazují jejich průsečík s rovinou. Všechny plástve, které nejsou uvedeny v tabulkách a které nemají v symbolu Schläfli 2, jsou nekompaktní.
| p\r | 3 | čtyři | 5 | 6 | 7 | osm | ...∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 |
{3,3,3}
|
{3,3,4}
|
{3,3,5}
|
{3,3,6}
|
{3,3,7}
|
{3,3,8}
|
{3,3,∞}
|
| čtyři |
{4,3,3}
|
{4,3,4}
|
{4,3,5}
|
{4,3,6}
|
{4,3,7}
|
{4,3,8}
|
{4,3,∞}
|
| 5 |
{5,3,3}
|
{5,3,4}
|
{5,3,5}
|
{5,3,6}
|
{5,3,7}
|
{5,3,8}
|
{5,3,∞}
|
| 6 |
{6,3,3}
|
{6,3,4}
|
{6,3,5}
|
{6,3,6}
|
{6,3,7}
|
{6,3,8}
|
{6,3,∞}
|
| 7 |
{7,3,3}
|
{7,3,4}
|
{7,3,5}
|
{7,3,6}
|
{7,3,7}
|
{7,3,8}
|
{7,3,∞}
|
| osm |
{8,3,3}
|
{8,3,4}
|
{8,3,5}
|
{8,3,6}
|
{8,3,7}
|
{8,3,8}
|
{8,3,∞}
|
| ... ∞ |
{∞,3,3}
|
{∞,3,4}
|
{∞,3,5}
|
{∞,3,6}
|
{∞,3,7}
|
{∞,3,8}
|
{∞,3,∞}
|
| q = 4 | q = 5 | q = 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
V H 3 nejsou žádné hyperbolické hvězdicové plástve - všechny tvary s pravidelným hvězdicovým mnohostěnem jako buňka, vrcholový útvar nebo oba se ukázaly jako kulové.
Čtyřrozměrný prostor (5-nekonečno-hedra)
Euklidovské obklady 4-rozměrného prostoruExistují tři typy nekonečných pravidelných ( voštiny ), které mohou vyplnit euklidovský čtyřrozměrný prostor:
| název | Schläfli symbol { p,q,r,s} |
Typ fasety {p,q,r} |
Typ buňky {p,q} |
Typ obličeje {p} |
tvar obličeje {s} |
Hranová postava {r,s} |
Vrchol { q,r,s} |
Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tesseract voštiny | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {čtyři} | {čtyři} | {3,4} | {3,3,4} | Self-duální |
| 16 buněčná plástev | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
| Čtyřiadvacetibuněčná plástev | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
Projektovaný fragment plástve {4,3,3,4} (voština Tesseract) |
Předpokládaný buněčný fragment {3,3,4,3} (šestnáctibuněčný plást) |
Projektovaný buněčný fragment {3,4,3,3} (24-buněčná plástev) |
Existují také dva nesprávné případy, {4,3,4,2} a {2,4,3,4}. V euklidovském 4-rozměrném prostoru existují tři ploché pravidelné typy plástů: [19]
- {4,3,3,4}, {3,3,4,3} a {3,4,3,3}.
V hyperbolickém 4-rozměrném prostoru je sedm plochých pravidelných konvexních plástů: [20]
- 5 kompaktních: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
- 2 parakompaktní: {3,4,3,4} a {4,3,4,3}.
V hyperbolickém 4-rozměrném prostoru existují čtyři ploché pravidelné hvězdné typy plástů: [20]
- {5/2.5.3.3}, {3.3.5.5/2}, {3.5.5/2.5} a {5.5/2.5.3}.
V prostoru H 4 je sedm konvexních pravidelných plástů a čtyři plástve hvězdicového tvaru [21] . Pět konvexních typů je kompaktních a dva jsou parakompaktní.
Pět kompaktních pravidelných plástů v H 4 :
| název | Schläfli symbol { p,q,r,s} |
Typ fasety {p,q,r} |
Typ buňky {p,q} |
Typ obličeje {p} |
tvar obličeje {s} |
Hranová postava {r,s} |
Vrchol { q,r,s} |
Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pětibuněčná voštinová objednávka 5 | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} |
| 120 buněčných plástů | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} |
| Tesseract voštiny objednávka 5 | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {čtyři} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} |
| 120 buněk objednávka 4 buňky | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {čtyři} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} |
| 120 buněčný řád 5 plástů | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | Self-duální |
Dva pravidelné parakompaktní pravidelné typy plástů v H 4 : {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
| název | Schläfli symbol { p,q,r,s} |
Typ fasety {p,q,r} |
Typ buňky {p,q} |
Typ obličeje {p} |
tvar obličeje {s} |
Hranová postava {r,s} |
Vrchol { q,r,s} |
Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 24 buněk pořadí 4 buňky | {3,4,3,4} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {čtyři} | {3,4} | {4,3,4} | {4,3,4,3} |
| Krychlový plást | {4,3,4,3} | {4,3,4} | {4,3} | {čtyři} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,4} |
Nekompaktní řešení existují jako skupiny Lorentzian Coxeter a lze je vizualizovat pomocí otevřené oblasti v hyperbolickém prostoru (základní pětibuňka s některými částmi nedosažitelnými kvůli nekonečnu). Všechny plástve, které nejsou uvedeny v tabulkách a které nemají v symbolu Schläfli 2, jsou nekompaktní.
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V prostoru H 4 jsou čtyři typy pravidelných stelovaných plástů :
| název | Schläfli symbol { p,q,r,s} |
Typ fasety {p,q,r} |
Typ buňky {p,q} |
Typ obličeje {p} |
tvar obličeje {s} |
Hranová postava {r,s} |
Vrchol { q,r,s} |
Dvojí | Hustota _ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Plástev z malé hvězdicovité 120článkové | {5/2,5,3,3} | {5/2,5,3 | {5/2,5} | {5} | {5} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | 5 |
| 600-buňkový pentagram objednávka | {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5,5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | 5 |
| Icosahedral 120-buňková plástev objednávka 5 | {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5.5/2.5.3} | deset |
| Plásty velké 120-článkové | {5.5/2.5.3} | {5,5/2,5} | {5,5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} | deset |
Pětirozměrný prostor (nekonečně úhlový 6 mnohostěnů)
V euklidovském 5-prostoru je pouze jeden plochý pravidelný plástev: ( výše uvedené jako obklady) [19]
- {4,3,3,3,4}
Existuje pět plochých pravidelných voštin v hyperbolickém 5prostoru, všechny parakompaktní: ( výše uvedené jako dlaždice) [20]
- {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} a {4 ,3,3,4,3}
Hyperkubická voština je jediná rodina pravidelných voštin, která může vydláždit prostor libovolné dimenze (pěti nebo více) tvořený fasetami hyperkrychle , čtyřmi kolem každé (n-2)rozměrné plochy.
| název | Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 } |
Typ fazety |
Vertexová postava |
Dvojí |
|---|---|---|---|---|
| Čtvercové parkety | {4,4} | {čtyři} | {čtyři} | Self -duální |
| krychlový plást | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | Self - duální |
| Tesseract voštiny | {4,3 2 ,4} | {4,3 2 } | {3 2,4 } | Self - duální |
| 5kubický plást | {4,3 3 ,4} | {4,3 3 } | {3 3,4 } | Self - duální |
| 6kubický plást | {4,3 4 ,4} | {4,3 4 } | {3 4 ,4} | Self - duální |
| 7kubické plástve | {4,3 5 ,4} | {4,3 5 } | {3 5,4 } | Self - duální |
| 8kubické plástve | {4,3 6 ,4} | {4,3 6 } | {3 6 ,4} | Self - duální |
| n -rozměrné hyperkubické plástve | {4,3 n−2 ,4} | {4,3n −2 } | { 3n−2,4 } | Self - duální |
V E 5 jsou také nesprávné případy {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} a {2,3,4,3,3}. V E n jsou {4,3 n−3 ,4,2} a {2,4,3 n− 3,4} vždy nesprávné euklidovské obklady.
Dlaždice hyperbolického 5-rozměrného prostoruV H 5 je 5 běžných druhů plástů , všechny jsou parakompaktní. Zahrnují nekonečné (euklidovské) fasety nebo tvary vrcholů: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} a {4,3,3,4,3}.
V hyperbolickém prostoru dimenze 5 nebo více existují dvě nekompaktní pravidelné dlaždice a v hyperbolickém prostoru dimenze 6 nebo více neexistují žádné parakompaktní pravidelné dlaždice.
| název | Schläfli symbol { p,q,r,s,t} |
Typ fasety {p,q,r,s} |
4obličejový typ {p,q,r} |
typ buňky {p,q} |
typ obličeje {p} |
obrázek buňky {t} |
obličejová postava {s,t} |
okrajová postava {r,s,t} |
Vrchol { q,r,s,t} |
Dvojí |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-orthoplexní plást | {3,3,3,4,3} | {3,3,3,4} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,3} |
| Čtyřiadvacetibuněčné plástve | {3,4,3,3,3} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4,3} |
| 16 buněčná plástev | {3,3,4,3,3} | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,4,3,3} | Self - duální |
| 24 buněk pořadí 4 buňky | {3,4,3,3,4} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {čtyři} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,4 | {4,3,3,4,3} |
| Tesseract voštiny | {4,3,3,4,3} | {4,3,3,4 | {4,3,3} | {4,3} | {čtyři} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,4} |
Protože neexistují žádné pravidelné hvězdicové n -polytopy pro n ≥ 5, které by mohly být potenciálními buňkami nebo vertexovými útvary, v Hn již pro n ≥ 5 nejsou žádné hyperbolické hvězdicové plástve .
Dimenze 6 a vyšší (7-rozměrné nekonečno+)
Dlaždice hyperbolického 6-rozměrného prostoru a výšeNeexistují žádné správné kompaktní nebo parakompaktní obklady hyperbolického prostoru dimenze 6 nebo vyšší. Všechny nevyčíslené celočíselné hodnoty poskytují nekompaktní uspořádání hyperbolického n - rozměrného prostoru.
Sloučeniny mnohostěnů
2D spojení
Pro jakékoli přirozené číslo n existuje n-vrcholový pravidelný hvězdný mnohoúhelník se Schläfliho symbolem {n/m} pro libovolné m < n/2 (přesně řečeno, {n/m}={n/(n−m)} ), kde m a n jsou relativně prvočísla . Pokud m a n nejsou relativně prvočísla, výsledný mnohoúhelník bude mít n / m stran. Nový údaj se získá otočením těchto n / m -úhelníků o jeden vrchol (doleva), dokud počet otočení nedosáhne čísla n / m mínus jedna, a kombinací těchto otočených čísel. V extrémním případě, kdy se n / m rovná 2, dostaneme číslo n /2 segmentů. Takový obrazec se nazývá degenerovaný hvězdný mnohoúhelník .
V ostatních případech, kdy n a m mají společného dělitele, dostaneme hvězdicový mnohoúhelník s menším n a verze získané rotací s ním lze kombinovat. Tyto tvary se nazývají tvary hvězd , nesprávné mnohoúhelníky hvězdy nebo složené mnohoúhelníky . Často se pro ně používá stejný zápis { n / m } , ačkoli někteří autoři, jako Grünbaum (1994), preferují (s určitými výhradami) jako správnější formu k { n }, kde obecně k = m .
Další komplikace nastává, když spojíme dva nebo více hvězdicových polygonů, jako jsou dva pentagramy, které se liší rotací o 36° a jsou vepsány do desetiúhelníku. Správnější je v tomto případě psát ve tvaru k { n / m }, v našem případě 2{5/2}, než používat běžně používané {10/4}.
Rozšířená Coxeterova notace pro spojování polygonů je c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, což odráží to d odlišné { p , q ,...} dohromady pokrývají vrcholy { m , n ,...} c krát a plochy { s , t ,...} e krát. Pokud neexistuje žádné platné { m , n ,...}, první část záznamu se odstraní a zůstane [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}. Opačný případ je, pokud neexistuje správné { s , t ,...}. Duál c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} je e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Pokud se c nebo e rovná 1, lze je vynechat. Pro spojení mnohoúhelníků se tento zápis redukuje na { nk }[ k { n / m }] { nk }. Například hexagram lze zapsat jako {6}[2{3}]{6}.
2{2} |
3{2} |
4{2} |
5{2} |
6{2} |
7{2} |
8{2} |
9{2} |
10{2} |
11{2} |
12{2} |
13{2} |
14{2} |
15{2} | |
2{3} |
3{3} |
4{3} |
5{3} |
6{3} |
7{3} |
8{3} |
9{3} |
10{3} |
2{4} |
3{4} |
4{4} |
5{4} |
6{4} |
7{4} |
2{5} |
3{5} |
4{5} |
5{5} |
6{5} |
2{5/2} |
3{5/2} |
4{5/2} |
5{5/2} |
6{5/2} |
2{6} |
3{6} |
4{6} |
5{6} | |
2{7} |
3{7} |
4{7} |
2 {7/2} |
3{7/2} |
4{7/2} |
2{7/3} |
3{7/3} |
4{7/3} |
2{8} |
3{8} |
2 {8/3} |
3{8/3} | ||
2{9} |
3{9} |
2 {9/2} |
3 {9/2} |
2 {9/4} |
3{9/4} |
2{10} |
3{10} |
2{10/3} |
3{10/3} | |||||
2{11} |
2{11/2} |
2{11/3} |
2{11/4} |
2{11/5} |
2{12} |
2{12/5} |
2{13} |
2{13/2} |
2{13/3} |
2{13/4} |
2{13/5} |
2{13/6} | ||
2{14} |
2{14/3} |
2{14/5} |
2{15} |
2{15/2} |
2{15/4} |
2{15/7} |
Pravidelné prostorové polygony také vytvářejí spoje, které lze pozorovat v hranách hranolového spoje antihranolů , například:
| Spojování vesmírných čtverců |
Spojení prostorových šestiúhelníků |
Propojování prostorových desetiúhelníků | |
| Dva {2}#{ } | Tři {2}#{ } | Dva {3}#{ } | Dva {5/3 #{ } |
3D spojení
Regulární polytopová spojení mohou být definována jako spojení, která jsou stejně jako běžné polytopy vertex-tranzitivní , přechodově přechodová a plošně tranzitivní . Podle této definice existuje 5 správných spojení.
| Symetrie | [4,3], O h | [5,3] + , I | [5,3], I h | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Dualita | self-duální | Duální páry | |||
| Obrázek | |||||
| Sférický | |||||
| Mnohostěn | hvězdicový osmistěn | 5 {3,3} | 10 {3,3 | 5 {4,3} | 5 {3,4} |
| coxeter | {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} | {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} | 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} | 2 {5,3} [5 {4,3} ] | [5 {3,4} ]2 {3,5} |
Existuje osmnáct dvouparametrových rodin pravidelných spojů euklidovských plošných obkladů. V hyperbolické rovině je známo pět jednoparametrových rodin a sedmnáct izolovaných případů, ale úplnost tohoto seznamu ještě nebyla prokázána.
Rodiny sloučenin euklidovské a hyperbolické roviny 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p je celé číslo) jsou podobné sférickým hvězdicovým osmistěnům , 2 {3,3}.
| Self-duální | Self-duální | Self-duální | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞} |
{{4,4}} nebo a{4,4} nebo {4,4}[2{4,4}]{4,4}  +  nebo
|
[2{6,3}]{3,6}{101} | a{6,3} nebo {6,3}[2{3,6}]  + nebo
|
{{∞,∞}} nebo a{∞,∞} nebo {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4}  +nebo
|
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞} | |
| 2{3,6}[3{6,3}]{6,3} | {3,6}[3{3,6}]2{6,3}++
|
++
| |
Spojení ve 4D prostoru
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
Ve 4-rozměrném prostoru existuje třicet dva pravidelných spojení pravidelných polytopů, které Coxeter uvedl ve své knize Regular Polytopes : [22]
| Sloučenina | Symetrie | Umístění vrcholu | Rozložení buněk |
|---|---|---|---|
| 120 {3,3,3} | [5,3,3], objednávka 14400 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 5 {3,4,3} | [5,3,3], objednávka 14400 | {3,3,5} | {5,3,3} |
| Sloučenina 1 | sloučenina 2 | Symetrie | Umístění vrcholu (1) | Rozvržení buňky (1) | Umístění vrcholu (2) | Rozvržení buňky (2) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 {3,3,4} [23] | 3 {4,3,3} | [3,4,3], pořadí 1152 | {3,4,3} | 2{3,4,3} | 2{3,4,3} | {3,4,3} |
| 15 {3,3,4} | 15 {4,3,3} | [5,3,3], objednávka 14400 | {3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | {5,3,3} |
| 75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], objednávka 14400 | 5{3,3,5}{101} | 10{5,3,3} | 10{3,3,5} | 5{5,3,3}{101} |
| 75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], objednávka 14400 | {5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | {3,3,5} |
| 300 {3,3,4} | 300 {4,3,3} | [5,3,3] + , objednávka 7200 | 4{5,3,3} | 8{3,3,5} | 8{5,3,3}{101} | 4{3,3,5} |
| 600 {3,3,4} | 600 {4,3,3} | [5,3,3], objednávka 14400 | 8{5,3,3}{101} | 16{3,3,5} | 16{5,3,3} | 8{3,3,5} |
| 25 {3,4,3} | 25 {3,4,3} | [5,3,3], objednávka 14400 | {5,3,3} | 5{5,3,3}{101} | 5{3,3,5}{101} | {3,3,5} |
Existují dvě různá spojení 75 tesseractů: jedno používá stejné vrcholy jako 120-buňka a druhé používá stejné vrcholy jako 600-buňka. Z toho vyplývá, že odpovídající duální sloučeniny 75 šestnácti buněk jsou také odlišné.
| Sloučenina | Symetrie | Umístění vrcholu | Rozložení buněk |
|---|---|---|---|
| 5 {5.5/2.5} | [5,3,3] + , objednávka 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {5.5/2.5} | [5,3,3], objednávka 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 {5/2,5,5/2} | [5,3,3] + , objednávka 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {5/2,5,5/2} | [5,3,3], objednávka 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| Připojení1 | Připojení2 | Symetrie | Umístění vrcholu (1) | Rozvržení buňky (1) | Umístění vrcholu (2) | Rozvržení buňky (2) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 {3,5,5/2 | 5 {5/2,5,3 | [5,3,3] + , objednávka 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3 | [5,3,3], objednávka 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 {5.5/2.3} | 5 {3.5/2.5} | [5,3,3] + , objednávka 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 _ | 10 {3.5/2.5} | [5,3,3], objednávka 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 {5/2,3,5 | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3] + , objednávka 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 {5/2,3,5 | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], objednávka 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
Existuje také čtrnáct částečně pravidelných spojení, která jsou buď vertex-transitive, nebo cell-transitive, ale ne obojí. Sedm vertex-tranzitivních částečně pravidelných spojení je duálních vůči sedmi buňkám tranzitivním částečně pravidelným spojením.
| Sloučenina 1 je vrcholově tranzitivní |
Sloučenina 2 buněčná tranzitivní |
Symetrie |
|---|---|---|
| 2 hexadecimální buňky [24] | 2 tesserakty | [4,3,3], pořadí 384 |
| 100 dvacet čtyři buněk | 100 dvacet čtyři buněk | [5,3,3] + , objednávka 7200 |
| 200 dvacet čtyři buněk | 200 dvacet čtyři buněk | [5,3,3], objednávka 14400 |
| 5 šest set buněk | 5 set dvacet buněk | [5,3,3] + , objednávka 7200 |
| 10 šest set buněk | 10 set dvacet buněk | [5,3,3], objednávka 14400 |
| Connection1 jsou vrcholově tranzitivní |
Join2 cell transitive |
Symetrie |
|---|---|---|
| 5 {3,3,5/2 | 5 {5/2,3,3 | [5,3,3] + , objednávka 7200 |
| 10 {3,3,5/2 | 10 {5/2,3,3 | [5,3,3], objednávka 14400 |
Jediná pravidelná euklidovská voštinová spojení jsou nekonečná rodina krychlových voštinových spojení , které sdílejí vrcholy a plochy s jinými krychlovými voštinovými spojeními. Toto spojení může mít libovolný počet krychlových buněk. Coxeterův zápis je {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.
Spojení v pětirozměrných a vyšších prostorech
V pětirozměrných a šestirozměrných prostorech neexistují správná spojení. Jsou známy tři sedmirozměrné sloučeniny (16, 240 a 480 7-simplice ) a šest osmirozměrných (16, 240 a 480 okteraktů nebo 8-ortoplexů ). Existuje také jedno spojení n - rozměrných zjednodušení v n - rozměrném prostoru, za předpokladu, že n je o jedna menší než mocnina dvou, a také dvě spojení (spojení n -rozměrných krychlí a jeho duální spojení n - rozměrných ortoplexů ) v n - rozměrném prostoru, pokud n je mocnina dvou.
Coxeterův zápis pro tyto sloučeniny (kde α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 ,4 }, γ n = {4,3 n −2 }:
- 7-simplelic: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , kde c = 1, 15 nebo 30
- 8-ortoplexy: c γ 8 [16 c β 8 ]
- 8-kostky: [16 c γ 8 ] c β 8
Obecný případ (když n = 2 k a d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):
- Simplexy: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1
- Ortoplexy: γ n [ d β n ]
- Hyperkrychle: [ d γ n ]β n
Je známa nekonečná rodina pravidelných euklidovských voštinových spojení v dimenzích pět a výše - spojení hyperkubických voštin , které sdílejí vrcholy a plochy s jinými hyperbolickými voštinami. Toto spojení může mít libovolný počet hyperbolických buněk. Coxeterův zápis pro tyto sloučeniny je δ n [ d δ n ] δ n , kde δ n = {∞} pro n = 2 a {4,3 n −3 ,4} pro n ≥ 3.
Abstraktní mnohostěny
Koncept abstraktního mnohostěnu vznikl při pokusu o studium mnohostěnů, aniž bychom je spojovali s geometrickým prostorem, ve kterém se nacházejí. Patří mezi ně obklady sférických, euklidovských a hyperbolických prostorů, obklady jiných variet a mnoho dalších objektů, které nemají přesně definovanou topologii, ale místo toho jsou charakterizovány svou „místní“ topologií. V jakékoli dimenzi je nekonečně mnoho abstraktních mnohostěnů. Příklady viz atlas . Některé pozoruhodné příklady abstraktních pravidelných mnohostěnů, které je těžké najít jinde, jsou jedenáctibuněčný , {3,5,3} a padesátisedmičlánkový , {5,3,5}, které mají pravidelné projektivní polytopy. jako buňky a vrcholy.
Prvky abstraktního mnohostěnu jsou jeho tělo (maximální prvek), plochy, hrany, vrcholy a nulový mnohostěn (prázdná množina). Tyto abstraktní prvky lze zobrazit v běžném prostoru nebo je brát jako geometrické tvary. Některé abstraktní mnohostěny mají dobře vytvořené nebo věrohodné implementace, jiné ne. Příznak je sada souvisejících prvků každé dimenze. U čtyřrozměrného mnohostěnu se jedná o těleso, plochu, hranu této plochy, vrchol hrany a nulový mnohostěn. O abstraktním mnohostěnu se říká , že je pravidelný , pokud jsou jeho kombinatorické symetrie na jeho vlajkách tranzitivní, to znamená, že kterýkoli z jeho vlajek může být přeložen symetrií mnohostěnu do jakékoli jiné. Abstraktní pravidelné mnohostěny jsou aktivní oblastí výzkumu.
Pět takových pravidelných abstraktních mnohostěnů, které nelze věrohodně realizovat, uvedl Coxeter ve své knize Regular Polytopes (1977) a později v článku JM Willse „The combinatorially regular polyhedra of index 2“ (1987) [25] . Jsou topologicky ekvivalentní toroidu . Jejich konstrukce umístěním n ploch blízko každého vrcholu může pokračovat donekonečna, čímž se vytvoří dlaždice hyperbolické roviny.
| Mnohostěn | Střední rombotriakontaedr |
Dodecodedecahedron |
Střední triambikykosahedr |
Bitrigonální dvanáctistěn |
Vrubový dvanáctistěn |
|---|---|---|---|---|---|
| Vertexová postava | {5}, {5/}2} |
(5,5/2) 2 |
{5}, {5/}2} |
(5,5/3) 3 |
|
| Fazety | 30 diamantů |
12 pětiúhelníků 12 pentagramů |
20 šestiúhelníků |
12 pětiúhelníků 12 pentagramů |
20 hexagramů |
| Mozaika | {4, 5 |
{5, 4 |
{6, 5 |
{5, 6 |
{6, 6}{6, 6 |
| χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
Objevují se jako duální páry:
- Střední kosočtverečný triakontahedr a dvanáctistědný kachedr jsou vzájemně duální.
- Střední triambikykosahedr a bitrigonální dvanáctistěn jsou vzájemně duální.
- Vroubkovaný dvanáctistěn je samoduální.
Viz také
- Polygon
- Mnohostěn
- Pravidelný mnohostěn (5 pravidelných platónských těles a 4 tělesa Kepler-Poinsot )
- 4D mnohostěn
- Pravidelný 4-polytop (16 pravidelných 4-polytopů, 4 konvexní a 10 hvězdicových (Schläfli–Hess))
- Jednotný čtyřrozměrný mnohostěn
- Parkety (geometrie)
- Teselace euklidovské roviny s pravidelnými mnohoúhelníky
- Konvexní jednotné plástve
- Pravidelné vícerozměrné mnohostěny
- Jednotný čtyřrozměrný mnohostěn
- Správná mapa
Poznámky
- ↑ Coxeter, 1973 , str. 129.
- ↑ McMullen, Schulte, 2002 , str. třicet.
- ↑ Johnson, 2012 , str. 86.
- ↑ Coxeter, 1973 , str. 120.
- ↑ Coxeter, 1973 , str. 124.
- ↑ V anglické literatuře - skew polygon, doslova - šikmý mnohoúhelník . V ruské literatuře se vžil pojem prostorový mnohoúhelník a výrazu šikmý mnohostěn odpovídá výrazu šikmý mnohostěn ( šikmý mnohostěn ). Tento článek používá termín šikmý mnohostěn pro rozměry 4 a vyšší.
- ↑ Coxeter, 1973 , str. 66-67.
- ↑ Zdroj . Datum přístupu: 10. ledna 2016. Archivováno z originálu 29. listopadu 2014.
- ↑ V angličtině se pro mnohostěny používají tyto názvy: polyhedra - trojrozměrný mnohostěn, polychoron - čtyřrozměrný mnohostěn, polytope - mnohostěn o rozměru 5 a vyšší. V ruštině se pro všechny tyto druhy zpravidla používá výraz mnohostěn , někdy i mnohostěn .
- ↑ Coxeter (1973 ), Tabulka I: Regulární polytopy, (iii) Tři pravidelné polytopy pro dimenze n (n>=5), s. 294–295.
- ↑ Abstraktní pravidelné polytopy, str. 162-165 [1] Archivováno 15. září 2019 na Wayback Machine
- ↑ Grünbaum, B.; "Pravidelný mnohostěn — starý a nový", Aeqationes mathematicae , sv. 16 (1977), str. 1–20.
- ↑ Coxeter, 1937 , str. 33–62.
- ↑ Coxeter, pravidelné a poloregulární polytopy II 2.34
- ↑ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmetry , Infinite Platonic Polyhedra , pp. 333–335
- ↑ McMullen, Schulte, 2002 , str. 224.
- ↑ McMullen, Schulte, 2002 , str. Oddíl 7E.
- ↑ Garner, CWL Regular Skew Polyhedra v hyperbolickém tříprostoru. Kanada. J Math. 19, 1179–1186, 1967. [2] Archivováno 2. dubna 2015 na Wayback Machine Poznámka: Článek říká, že jich je 32, ale jeden je samoduální, takže zbývá 31.
- ↑ 1 2 3 Coxeter, 1973 , str. 296, Tabulka II: Pravidelné plásty.
- ↑ 1 2 3 4 Coxeter, 1999 , str. Kapitola 10
- ↑ Coxeter, 1956 , str. 213, tabulka IV.
- ↑ Coxeter, 1973 , str. 305 Tabulka VII.
- ↑ Richard Klitzing, Jednotná směs, stellated icositetrachoron Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
- ↑ Richard Klitzing, Jednotná směs, demidistesseract Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
- ↑ The Regular Polyhedra (z indexu dva) Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine , David A. Richter
Literatura
- HSM Coxeter . Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, roč. III. - Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. - S. 155-169. . Přetištěno v HSM Coxeter . Kapitola 10, str. 199–214 // Krása geometrie: Dvanáct esejů . - Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. - ISBN 0-486-40919-8 . . Viz zejména tabulky II,III,IV,V, s. 212–213 knihyKrása geometrie.
- HSM Coxeter . Pravidelné polytopy. — 3. — Dover Publications, Inc., 1973.. Viz zejména tabulky I a II: Pravidelné polytopy a plástve, s. 294–296.
- Norman W. Johnson. Mezinárodní konference o matematice vzdáleností a aplikací. — 2.–5. července 2012, Varna, Bulharsko, 2012. — S. 85–95.
- HSM Coxeter. Pravidelné zkosené mnohostěny ve třech a čtyřech rozměrech // Proc. Londýnská matematika. Soc.. - 1937. - Vydání. 43 . — s. 33–62 .
- Peter McMullen, Egon Schulte. Abstraktní pravidelné polytopy. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Encyklopedie matematiky a její aplikace). - ISBN 0-521-81496-0 . - doi : 10.1017/CBO9780511546686 .
- DMY Sommerville. Úvod do geometrie n dimenzí. — New York: Dover Publications, Inc., 1958. . Reedice 1930, EP Dutton. Viz kapitola X: Pravidelné polytopy.
- Visualizing Hyperbolic Honeycombs Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [4]
Odkazy
- Platonická tělesa
- Těla Kepler-Poinsot
- Pravidelné 4D polytopové skládání
- Vícerozměrný glosář (viz Hexacosichoron a Hecatonicosachoron )
- Prohlížeč polytopů
- Polytopy a optimální uspořádání p bodů v n rozměrných sférách
- Atlas malých pravidelných mnohostěnů
- Pravidelné mnohostěny v čase I. Hubard, Polytopy , Mapy a jejich symetrie
| Základní konvexní pravidelné a jednotné plástve v prostorech dimenzí 2–10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| geometrické mozaiky | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pravidelné |
| ||||||||
| aperiodický |
| ||||||||
| jiný |
| ||||||||
| Podle konfigurace vrcholu |
| ||||||||