Seznam neperiodických sad dlaždic

V geometrii je obklad  rozdělením roviny (nebo jiné geometrické struktury) do uzavřených souborů (nazývaných dlaždice ) bez mezer nebo přesahů (jiných než hranice dlaždic) [1] . Dlaždice se říká, že je periodická, pokud existují paralelní pohyby ve dvou nezávislých směrech, které pohybují dlaždice přesně stejným směrem. Takový obklad se skládá z jedné základní jednotky nebo primitivní buňky , která se neomezeně opakuje ve dvou nezávislých směrech [2] . Příklad takového obkladu je znázorněn na obrázku vpravo. Obklady, které nelze postavit z jedné primitivní buňky, se nazývají neperiodické. Pokud daná sada dlaždic umožňuje pouze neperiodické obkládání, říká se, že taková sada je neperiodická [3] .

První tabulka vysvětluje zkratky použité ve druhé tabulce. Druhá tabulka obsahuje všechny známé neperiodické sady dlaždic a poskytuje některé další základní informace o každé sadě. Tento seznam dlaždic zůstává neúplný.

Vysvětlivky

Snížení Význam Vysvětlení
E 2 Euklidovská rovina obyčejné letadlo
H2 _ hyperbolická
rovina		 rovina, kde neplatí axiom rovnoběžnosti
E 3 Euklidovský
trojrozměrný
prostor		 prostor vymezený třemi kolmými souřadnicovými osami
HDL Lokálně vzájemně deriváty o dvou dlaždicích se říká, že jsou od sebe lokálně vzájemně odvozené, pokud je jedna dlaždice odvozena od druhé jednoduchým místním pravidlem (jako je odstranění nebo vložení okraje)

Seznam

Obrázek název Počet dlaždic Prostor
_		 Datum publikace Odkazy Komentáře
Dlaždice Trilobit a Cross 2 E 2 1999 [čtyři] HDL s dlaždicemi „Chair“ (čtverec s vyříznutou čtvrtinou)
Penrose dlaždice P1 6 E 2 1974 [Poznámka 1] [5] LVP s dlaždicemi P2 a P3, Robinsonovými trojúhelníky a dlaždicemi "hvězda, loď, šestiúhelník"
Dlaždice P2 Penrose 2 E 2 1977 [Poznámka 2] [6] LVP s dlaždicemi P1 a P3, Robinsonovými trojúhelníky a dlaždicemi "hvězda, loď, šestiúhelník"
Dlaždice P3 Penrose 2 E 2 1978 [Poznámka 3] [7] LVP s dlaždicemi P1 a P2, Robinsonovými trojúhelníky a dlaždicemi "hvězda, loď, šestiúhelník"
dvojité dlaždice 2 E 2 1988 [osm]

[9]

Přestože jsou dlaždice podobné dlaždicím z P3, dlaždice nejsou navzájem HDL. Mozaika navržená ve snaze modelovat uspořádání atomů v binárních slitinách
Robinsonovy dlaždice 6 E 2 1971 [Poznámka 4] [deset] Dlaždice poskytují neperiodicitu tím, že tvoří nekonečnou hierarchii čtvercových mřížek
Žádná kresba Dlaždice Ammann A1 6 E 2 1977 [11] [12] Dlaždice poskytují neperiodicitu tím, že tvoří nekonečný hierarchický binární strom.
Dlaždice Ammann A2 2 E 2 1986 [Poznámka 5] [13]
Dlaždice Ammann A3 3 E 2 1986 [Poznámka 5] [13]
Dlaždice Ammann A4 2 E 2 1986 [Poznámka 5] [13] [14] HDL s dlaždicemi Ammann A5.
Dlaždice Ammann A5 2 E 2 1982 [Poznámka 6] [patnáct]

[16]

HDL s dlaždicemi Ammann A4.
Žádná kresba Penrose dlaždice "Šestiúhelník, trojúhelník" 2 E 2 1997 [17] [17] [18]
Žádná kresba Dlaždice "Zlatý trojúhelník" [19] deset E 2 2001 [20] [21] Datum odpovídá času, kdy byla otevřena pravidla připojení. Dual to Ammann dlaždice A2
Solární dlaždice 3 E 2 1989 [Poznámka 7] [22] [23] HDL s dlaždicemi "Shield".
Dlaždice "štít" čtyři E 2 1988 [Poznámka 8] [24] [25] HDL s dlaždicemi Sokolara
Dlaždice "čtverec, trojúhelník" 5 E 2 1986 [26] [27]
Mozaika "Sfinga" 91 E 2 [28]
Dlaždice "Hvězda, loď, šestiúhelník" 3 E 2 [29] [30] [31] LCS s Penroseovými dlaždicemi P1, P2, P3 a Robinsonovými trojúhelníky
Robinsonův trojúhelník čtyři E 2 [12] Dlaždice LVP s dlaždicemi Penrose P1, P2, P3 a "Star, Boat, Hexagon".
Danzerovy trojúhelníky 6 E 2 1996 [32] [33]
Dlaždice "Větrník" E 2 1994 [34] [35] [36] [37] Datum odpovídá zveřejnění pravidel připojení.
Socolar Tile - Taylor jeden E 2 2010 [38] [39] Nesoudržná dlažba . Neperiodické hierarchické uspořádání.
Žádná kresba Vanové dlaždice 20426 E 2 1966 [40]
Žádná kresba Vanové dlaždice 104 E 2 2008 [41]
Žádná kresba Vanové dlaždice 52 E 2 1971 [Poznámka 4] [42] Dlaždice poskytují neperiodicitu tím, že tvoří nekonečnou hierarchii čtvercových mřížek
Vanové dlaždice 32 E 2 1986 [43] lokálně odvozené z dlaždic Penrose.
Žádná kresba Vanové dlaždice 24 E 2 1986 [43] lokálně odvozené z dlaždic A2
Vanové dlaždice 16 E 2 1986 [44]

[45]

Deriváty z dlaždic formátu A2 a jejich pásků Ammann
Vanové dlaždice čtrnáct E 2 1996 [46] [47]
Vanové dlaždice 13 E 2 1996 [48] ​​[49]
Žádná kresba Deska z houby Decagon jeden E 2 2002 [50] [51] Porézní dlaždice skládající se z neprotínajících se sad teček
Žádná kresba Přísně neperiodické dlaždice Goodman–Strauss 85 H2 _ 2005 [52]
Žádná kresba Přísně neperiodické dlaždice Goodman–Strauss 26 H2 _ 2005 [53]
Hyperbolická dlaždice Borocki (Böröczky) jeden H n 1974 [54] [55] [56] Jen mírně neperiodické
Žádná kresba Schmitt dlaždice jeden E 3 1988 [57] periodické s ohledem na šroub
Schmitt-Conway-Danzer dlaždice jeden E 3 [57] je periodický vzhledem ke šroubu a je konvexní
Socolar Tile - Taylor jeden E 3 2010 [38] [39] Periodický ve třetí dimenzi
Žádná kresba Penrose rhomboedr 2 E 3 1981 [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65]
Makei-Ammann rhomboedra čtyři E 3 1981 [66] Mají ikosaedrickou symetrii . Jedná se o zdobené Penrose rhomboedry s pravidly spojení, která zajišťují neperiodicitu.
Žádná kresba Van Cubes 21 E 3 1996 [67]
Žádná kresba Van Cubes osmnáct E 3 1999 [68]
Žádná kresba Danzerův čtyřstěn čtyři E 3 1989 [69] [70]
Dlaždice I a L 2 E n
pro všechna
n ≥ 3		 1999 [71]

Poznámky

  1. ↑ Grünbaum B., Shephard GC Tilings by Regular Polygons // Math. Mag.. - 1977. - T. 50 , no. 5 . — S. 227–247 . - doi : 10.2307/2689529 . ( archiv WebCite )
  2. ↑ Edwards S., Fundamental Regions and Primitive cells ( archiv WebCite )
  3. ↑ Stan Wagon. Mathematica v akci. — 2. - New York, Berlín, Heidelberg: Springer Verlag, 1998. - S. 216 (9.1 Neperiodické obklady). — ISBN 0-387-98252-3 .
  4. ↑ Goodman-Strauss C. Malá aperiodická sada planárních dlaždic // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , no. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 . (předtisk k dispozici zde )
  5. ↑ Mikhael J. Koloidní monovrstvy na kvaziperiodických laserových polích (viz strana 23) ( archiv WebCite )
  6. ↑ Dlaždice Gardner M. Penrose do šifer trapdoor (viz strana 86) Archivováno 30. října 2012 na Wayback Machine ( Archiv WebCite )
  7. ↑ Penrose R. Pentaplexita // Matematika. Intel.. - 1979/80. - T. 2 . — S. 32–37 . - doi : 10.1007/bf03024384 . ( archiv WebCite )
  8. ↑ F. Lançon, L. Billard. Dvourozměrný systém s kvazikrystalickým základním stavem // J. Phys. Francie. - 1988. - T. 49 , no. 2 . — S. 249–256 . - doi : 10.1051/jphys:01988004902024900 . ( archiv WebCite )
  9. ↑ F. Lançon, L. Billard. Jednoduchý příklad jiného než Pisotova obkladu s pětinásobnou symetrií // J. Phys. Já Francie. - 1992. - Vol. 2 , vydání. 2 . — S. 207–220 . - doi : 10.1051/jp1:1992134 . ( archiv WebCite )
  10. ↑ Goodman-Strauss C. Aperiodické hierarchické obklady // Proc. NATO-ASI "Pěny, emulze a buněčné materiály" Ser. E. - 1999. - T. 354 . — S. 481–496 . - doi : 10.1007/978-94-015-9157-7_28 .
  11. ↑ Martin Gardner. Kolosální kniha o matematice . - WW Norton & Company, 2001. - S.  76 .
  12. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986 , podle [1] Archivováno 30. srpna 2006 ve Wayback Machine ; [2]
  13. ↑ 1 2 3 R. Ammann, B. Grünbaum, G. C. Shephard. Aperiodické dlaždice // Diskrétní komp. Geom. - 1992. - T. 8 . — S. 1–25 . - doi : 10.1007/BF02293033 .
  14. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann A4 Archivováno 9. dubna 2016 na Wayback Machine
  15. ↑ K. Komatsu, K. Nomakuchi, K. Sakamoto, T. Tokitou. Reprezentace obkladů Ammann-Beenker automatem // Nihonkai Math. J .. - 2004. - T. 15 . — s. 109–118 . ( archiv WebCite )
  16. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker Archivováno 5. října 2008 na Wayback Machine
  17. ↑ 1 2 R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiod Order / Moody RV. - Nato Asi Series C. - Dordrecht: Kluwer, 1997. - T. 489. - S. 467-497. - ISBN 978-0-7923-4506-0 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 . R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiod Order / Moody RV. - Springer Verlag GMBH, 2010. - T. 489. - S. 467-497. - (Nato Asi Series U). — ISBN 9048148324 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 .
  18. ↑ C. Goodman-Strauss, Neperiodický pár dlaždic
  19. ↑ Dlaždice neodpovídá rovnoramennému „ zlatému trojúhelníku “ a je to pravoúhlý trojúhelník se zlatým řezem přepony k noze
  20. ↑ Ludwig Danzer, Gerrit van Ophuysen. Druh planárních trojúhelníkových obkladů s inflačním faktorem  , Res. Býk. Panjab Univ. Sci .. - 2001. - V. 50 , no. 1-4 . — S. 137–175 .
  21. ↑ G Gelbrich. Fractal Penrose dlaždice II. Dlaždice s fraktálovou hranicí jako duály Penroseových trojúhelníků // Aequationes Math.. - 1997. - V. 54 . — S. 108–116 . - doi : 10.1007/bf02755450 .
  22. ↑ F. Gähler, R. Lück, S. I. Ben-Abraham, P. Gummelt. Dvanácthranné obklady jako maximální shlukové obklady . Staženo: 25. září 2013.
  23. ↑ Obklady Socolar
  24. ↑ Gähler F., Frettlöh D. Shield Archivováno 3. března 2016 na Wayback Machine
  25. ↑ F. Gähler. Pravidla párování pro kvazikrystaly: metoda složení-rozklad // J. of Non-crystalline Solids. - 1993. - T. 153 & 154 . — S. 160–164 . - doi : 10.1016/0022-3093(93)90335-u . ( archiv WebCite )
  26. ↑ Stampfli, P. Dodekagonální kvaziperiodická mřížka ve dvou rozměrech  // Helv. Phys. Acta.. - 1986. - T. 59 . - S. 1260-1263 .
  27. ↑ Hermisson J., Richard C., Baake M. Průvodce symetrickou strukturou tříd kvaziperiodických obkladů Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine (archivováno WebCite )
  28. ↑ Goodman-Strauss C., Aperiodické obklady (viz strana 74) Archivováno 13. března 2012 na Wayback Machine
  29. ↑ Kvazikrystaly lorda EA a vzory Penrose // Současná věda. - 1991. - T. 61 . - S. 315 .
  30. ↑ Z. Olamy, M. Kleman. Dvourozměrný aperiodický hustý obklad // J. Phys. Francie. - 1989. - T. 50 . — S. 19–33 . - doi : 10.1051/jphys:0198900500101900 . ( archiv WebCite )
  31. ↑ M. Mihalkovič, C. L. Henley, M. Widom. Kombinované zpřesnění energeticko-difrakčních dat decagonálního AlNiCo // J. Non-Cryst. pevné látky. - 2004. - T. 334 & 335 . — S. 177–183 . ( archiv WebCite )
  32. ↑ Nischke, KP a Danzer, L,. Konstrukce inflačních pravidel založených na $n$-násobné symetrii // Diskrétní výpočet. Geom.. - 1996. - V. 15 , no. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/bf02717732 . 96j:52035
  33. ↑ Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Abstract: Notes on vertex atlas of planar Danzer tiling
  34. ↑ Radin C. Větrník dlaždice letadla // Annals of Mathematics. Druhá série . - 1994. - T. 139 , no. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
  35. ↑ Charles Radin. Symetrie of Tilings Of The Plane // Annals of Mathematics. - 1994. - doi : 10.1090/s0273-0979-1993-00425-7 .
  36. ↑ C. Radin, M. Wolff. Prostorové obklady a místní izomorfismus // Geom. Dedicata. - 1992. - T. 42 , no. 3 . — S. 355–360 . - doi : 10.1007/bf02414073 .
  37. ↑ C. Radin. Aperiodické obklady, ergodická teorie a rotace // Matematika aperiodického řádu s dlouhým dosahem. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
  38. ↑ 1 2 Socolar JES a Taylor JM Neperiodická šestiúhelníková dlaždice
  39. ↑ 1 2 Socolar JES a Taylor JM Vynucení neperiodicity pomocí jedné dlaždice
  40. ↑ Burger R. Nerozhodnutelnost problému Domina // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
  41. ↑ Ollinger Nicolas. Substituční systémy dva na dva a nerozhodnutelnost problému domino. - Springer, 2008. - S. 476-485.
  42. ↑ J. Kari , P. Papasoglu. Deterministické aperiodické sady dlaždic // Geometrická a funkční analýza. - 1999. - T. 9 . — S. 353–369 . - doi : 10.1007/s000390050090 .
  43. ↑ 1 2 Lagae A., Kari J. , Dutré P. Aperiodické sady čtvercových dlaždic s barevnými rohy // Zpráva CW. - 2006. - T. 460 . - S. 12 . Archivováno z originálu 2. října 2010.
  44. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
  45. ↑ A. Carbone, M. Gromov, P. Prusinkiewicz. Tvorba vzorů v biologii, vidění a dynamice. Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000. - ISBN 981-02-3792-8 .
  46. ↑ Kari J. Malá aperiodická sada Wangových dlaždic". Diskrétní matematika, 160(1-3):259-264
  47. ↑ Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Disertation (viz strana 149) Archivováno 6. října 2010. ( archiv WebCite )
  48. ↑ Culik K., Kari J. O aperiodických sadách dlaždic Wang  (downlink)
  49. ↑ K. Čulík. Neperiodická sada 13 dlaždic Wang . Získáno 25. září 2013. Archivováno z originálu 2. října 2010.
  50. ↑ Zhu F. Hledání univerzální dlaždice
  51. ↑ D. A. Bailey, F. Zhu. Univerzální dlaždice podobná houbě (téměř) . Staženo: 25. září 2013.
  52. ↑ Goodman-Strauss C., Hierarchická silně aperiodická sada dlaždic v hyperbolické rovině
  53. ↑ Goodman-Strauss C. Silně aperiodická sada dlaždic v hyperbolické rovině  // Invent. Matematika.. - 2005. - T. 159 . — S. 130–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
  54. ↑ K. Boröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 25 . — S. 265–306 . K. Boroczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 26 . — S. 67–90 .
  55. ↑ Goodman-Strauss C. Silně aperiodická sada dlaždic v hyperbolické rovině  // Invent. Matematika.. - 2005. - T. 159 . - S. 120 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
  56. ↑ Dolbilin N., Frettlöh D. Vlastnosti obkladů Böröczky ve vysokodimenzionálních hyperbolických prostorech ( archiv WebCite )
  57. ↑ 12 Charles Radin . Aperiodické obklady ve vyšších dimenzích // Proceedings of the American Mathematical Society . - American Mathematical Society, 1995. - V. 123 , no. 11 . — S. 3543–3548 . - doi : 10.2307/2161105 . — .
  58. ↑ McKay Allan. J.I. DE NTVE QUINQUANGULA o pětiúhelníkových sněhových vločkách // Krystalografie. - 1981. - T. 26 , no. 5 . - S. 910-919. . ( archiv WebCite )
  59. ↑ Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Pokusy o kinetice růstu desetiúhelníkových kvazikrystalů) Disertační práce (viz str. 18-19) ( archiv WebCite )
  60. ↑ Jirong S. Přechod struktury trojrozměrného Penroseova obkladu pod polem Phasonova napětí // Chinese Phys. Lett.. - 1993. - T. 10, č.8 . — S. 449–452 . - doi : 10.1088/0256-307x/10/8/001 . ( archiv WebCite )
  61. ↑ Inchbald G. 3D kvazikrystalová struktura
  62. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Quasicrystals: dlaždicování versus shlukování // Phil. Mag. A. - 2001. - T. 81 . — S. 2645–2651 . - doi : 10.1080/01418610108216660 . ( archiv WebCite )
  63. ↑ Rudhart CP Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (O numerické simulaci praskání v kvazikrystalech) viz strana 11
  64. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Obklady, krytiny, shluky a kvazikrystaly // Současná věda. - 2000. - T. 78 , no. 1 . — S. 64–72 . ( archiv WebCite )
  65. ↑ Katz A. Theory of Matching Rules for 3-Dimensional Penrose Tilings // Commun. Matematika. Phys.. - 1988. - T. 118 , no. 2 . — S. 263–288 . - doi : 10.1007/BF01218580 . ( archiv WebCite )
  66. ↑ Eric A. Lord. Kvazikrystaly a Penroseovy vzory // Současná věda. - 1991. - T. 61 , no. 5 . - S. 313 .
  67. ↑ K. Čulík, J. Kari. Aperiodická sada kostek Wang . Staženo: 25. září 2013.
  68. ↑ G. Walther, C. Selter. Mathematikdidaktik jako věda o designu. - Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 1999. - ISBN 3122000601 .
  69. ↑ L. Danzer. Trojrozměrné analogy planárních Penroseových dlaždic a kvazikrystalů  // Diskrétní matematika. - 1989. - T. 76 . — S. 1–7 . - doi : 10.1016/0012-365X(89)90282-3 .
  70. ↑ Zerhusen A., Danzerův trojrozměrný obklad
  71. ↑ Goodman-Strauss C. Aperiodický pár dlaždic v E n pro všechna n ≥ 3  // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , no. 5 . — S. 385–395 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0282 . (předtisk k dispozici zde )

První publikace

  1. ↑ Penrose, R. (1974), "Role estetiky v čistém a aplikovaném matematickém výzkumu", Bull. Inst. Matematika. a jeho Appl. 10 :266-271
  2. ↑ Gardner, M. (leden 1977), „Mimořádné neperiodické obklady, které obohacují teorii dlaždic“, Scientific American 236 : 110-121
  3. ↑ Penrose, R. (1978), "Pentaplexity", Eureka 39 : 16-22
  4. ↑ 1 2 Robinson, R. (1971), "Nerozhodnutelnost a neperiodicita obkladů v rovině", Inv. Matematika. 12 :177-209
  5. ↑ 1 2 3 Grünbaum, Shephard, 1986 .
  6. ↑ Beenker, FPM(1982), "Algebraická teorie neperiodických obkladů roviny dvěma jednoduchými stavebními bloky: čtvercem a kosočtvercem", Eindhoven University of Technology, TH Report 82-WSK04
  7. ↑ Socolar, JES (1989), "Jednoduché osmiúhelníkové a dvanáctiúhelníkové kvazikrystaly", Phys. Rev. A39 : 10519-51
  8. ↑ Gahler, F., "Crystallography of dodekagonal quasicrystals" , publikovaná v Janot, C.: Quasicrystalline materials : Proceedings of the ILL / Codest Workshop, Grenoble, 21-25 March 1988. Singapore : World Scientific, 192-2847

Literatura

Odkazy

 geometrické mozaiky
Pravidelné
aperiodický
jiný
Podle konfigurace vrcholu
Sférický
opravit
polosprávné
_
hyperbolický
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 38 _
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3,8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 45 _
  • 4 6
  • 4 7
  • 48 _
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4,8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6,8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7,14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8,16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞, 6 2
  • ∞, 8 2