Náhrady dlaždic

Náhrady dlaždic jsou metodou pro konstrukci mozaiky . Nejdůležitější je, že některé substituce dlaždic tvoří aperiodické dlaždice , tedy mozaiky, jejichž prototily netvoří žádné dlaždice s paralelním překladem . Nejznámější z nich jsou obklady Penrose . Náhradní dlaždice jsou zvláštní případy pravidel konečného dělení, kdy se nevyžaduje, aby dlaždice byly geometricky stejné.

Úvod

Náhrada dlaždice je popsána sadou prototilů , mapováním rozšíření a pravidlem dělení , které určuje, jak rozdělit rozšířené prototily , aby vytvořily kopie některých prototilů . Iterativní substituce dlaždic vytváří dlaždice v rovině, nazývané substituční dlaždice . Některé permutační obklady jsou periodické , to znamená, že mají translační symetrii . Mezi neperiodickými permutačními obklady jsou některé aperiodické , což znamená, že jejich prototily nelze umístit jako periodické obklady. ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{m))$ $Q$ ${\displaystyle QT_{i))$ $T_{j}$

Jednoduchý příklad vytvoření periodického obkladu s jednou dlaždicí, konkrétně čtvercem:

Opakováním této substituce budou větší a větší plochy roviny pokryty čtvercovou sítí. Složitější příklad dvou prototypových dlaždic je uveden níže.

Člověk může intuitivně pochopit, jak tento postup vytváří substituční obklad celé roviny . Matematická definice je uvedena níže. Substituční dlaždice jsou docela užitečné jako způsob definování aperiodických dlaždic , které jsou předmětem studia v mnoha oblastech matematiky , včetně teorie automatů , kombinatoriky , kombinatorické geometrie , dynamických systémů , teorie grup , harmonické analýzy a teorie čísel , nemluvě . oblasti, kde tyto obklady vznikly, krystalografie a chemie . Zejména obklad Penrose je příkladem obkladu aperiodické permutace.

Historie

V letech 1973 a 1974 Roger Penrose objevil rodinu aperiodických obkladů, nyní nazývaných Penrose obklady . První objev byl dán z hlediska „kombinačních pravidel“, podle kterých se s dlaždicemi pracovalo stejně jako s kousky mozaikového obrazu . Důkaz, že kopie těchto prototilů mohou být spojeny dohromady, aby vytvořily rovinný obklad , ale že tento obklad nemůže tvořit periodický obklad, používá konstrukci, kterou lze považovat za prototilní substituční obklad. V roce 1977 Robert Ammann objevil několik sad aperiodických prototilů, tj. prototily, u kterých párovací pravidla vedou k neperiodickým obkladům. Zejména znovu objevil první příklad Penrose. Tato práce ovlivnila vědce pracující v oblasti krystalografie , což nakonec vedlo k objevu kvazikrystalů . Naopak zájem o kvazikrystaly vedl k objevu některých dobře uspořádaných aperiodických teselací. Mnohé z nich lze jednoduše označit jako substituční obklad.

Matematická definice

Uvažujme oblasti , které jsou dobře podmíněny , v tom smyslu, že oblast je neprázdná kompaktní podmnožina, která je uzavřením jejího nitra . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$

Vezměme sadu oblastí jako prototily. Umístění prototilu je dvojice , kde je izometrie . Obrázek se nazývá hostitelská oblast. Dlaždice T je sada oblastí umístění prototilů, ve kterých vnitřní oblasti prototilů nemají žádné společné části. Řekneme, že obklad T je obklad na W , jestliže W je spojením odstavných ploch z T . $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ $T_{i}$ $(T_{i},\varphi )$ $\varphi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\varphi (T_{i})$

Náhrada dlaždic v literatuře často není dobře definována. Přesná definice je následující [1] .

Náhrada dlaždice za prototily P je pár , kde je lineární mapování , jehož všechny vlastní hodnoty jsou v absolutní hodnotě větší než jednota a pravidla substituce se mapují na dlaždici . Náhrada dlaždic generuje mapování z libovolné dlaždice T oblasti W na dlaždici oblasti $(Q,\sigma )$ ${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma$ $T_{i}$ ${\displaystyle QT_{i))$ $\sigma$ $\sigma (\mathbf {T} )$ $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$

\sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q ^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.

Všimněte si, že prototily lze odvodit ze substituce dlaždic. Není tedy potřeba je zahrnout do substitucí dlaždic [2] . $(Q,\sigma )$

Libovolný obklad , jehož jakákoli konečná část je shodná s podmnožinou nějakého , se nazývá substituční obklad (pro substituci dlaždice ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma ^{k}(T_{i})$ $(Q,\sigma )$

Viz také

Mozaika "Větrník"

Poznámky

↑ Frettlöh, 2005 , str. 619-639.
↑ Vince, 2000 , str. 329-370.

Čtení pro další čtení

N. Pytheas Fogg. Substituce v dynamice, aritmetice a kombinatorice / Editoři Berthé, Valérie; Ferenczi, Sebastien; Mauduit, křesťan; Siegel, A.. - Berlin: Springer-Verlag , 2002. - T. 1794. - (Poznámky z přednášky z matematiky). — ISBN 3-540-44141-7 .
D. Frettlöh. Dualita množin modelů generovaných substitucemi // Rumunský J. čisté a aplikované matematiky. - 2005. - Vydání. 50 .
Vince A. Directions in Mathematical Quasicrystals / M. Baake, R. V. Moody. - Providence: AMS, 2000. - svazek 13. - (série monografie CRM).

Odkazy

Encyklopedie substitučních obkladů Dirka Frettlöha a Edmunda Harrisse

geometrické mozaiky

Pravidelné

Pythagorejský
kosočtverečné
švarcovský trojúhelník
Obdélníkový
- Domino
Pětiúhelníkový
Homogenní mozaika
Honeycombs
- Barvení
- konvexní
- Dělená mozaika
Plochá krystalografická skupina
Wythoffova konstrukce

aperiodický

Ammann-Binker
Aperiodická sada mozaikových dlaždic
- Seznam
Jedna dlaždicová výzva
- Sokolara — Taylor
Gilbert
Penrose
větrník
klenutý
Dělící a samolepicí sady
- Sfinga
Truche

jiný

Non -isohedral a isohedral
Architektonické a reflexní
Circle Limit III
Počítačová grafika
voštiny
Hrana tranzitivní
Balík
Úkoly
Mozaikové dlaždice
- Conwayovo kritérium
- Girih
Pravidelné dělení letadla
Pravidelná mříž
Náhrady
Voronoiův diagram
Foderberg

Podle konfigurace vrcholu

Sférický	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
opravit	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
polosprávné _	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 ,4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2.∞ _ 4.6.12 4,8 2
hyperbolický _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 38 _ 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3,8) 2 3,14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 45 _ 4 6 4 7 48 _ 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4,8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6,8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7,14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8,16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞, 6 2 ∞, 8 2