Problém jedné dlaždice ( anglicky einstein problem ) je geometrický problém, který vyvolává otázku existence jednoho prototilu , který tvoří neperiodický soubor dlaždic , tedy existence obrazce, jehož kopie mohou dláždit prostor, ale pouze neperiodickým způsobem. V pramenech v angličtině se takovým obrazcům říká „einsteins“ – slovní hříčka, německy. ein stein znamená „jeden kámen“ a je také jménem fyzika Alberta Einsteina . V závislosti na konkrétní definici neperiodicity, konkrétně které sady lze považovat za dlaždice a jak je lze spojovat, lze problém považovat za otevřený nebo vyřešený. Problém jedné dlaždice lze považovat za přirozené pokračování druhé části Hilbertova osmnáctého problému , který se ptá na mnohostěn, jehož kopie mohou vyplnit trojrozměrný euklidovský prostor, a žádné zaplnění prostoru kopiemi tohoto mnohostěn by měl být izoedrický [1] . Taková neizoedrická tělesa nalezl Carl Reinhard v roce 1928, ale tato tělesa vyplňují prostor periodickým způsobem.
V roce 1988 objevil Peter Schmitt neperiodický prototil pro trojrozměrný euklidovský prostor. Ačkoli žádná výplň s tímto tělesem neumožňuje paralelní posun , některé výplně mají šroubovicovou symetrii . Operace symetrie šroubu má podobu složení paralelního posunu a rotace o úhel nesouměřitelný s π, takže žádný počet opakování těchto operací nepovede k jednoduchému paralelnímu posunu. Tuto konstrukci později použili John Conway a Ludwig Danzer ke konstrukci konvexní neperiodické dlaždice Schmitt-Conway-Danzer . Přítomnost šroubové symetrie byla důsledkem požadavku na neperiodicitu [2] . Chaim Goodman-Strauss navrhoval považovat obklady za přísně aperiodické , pokud pro ně neexistuje nekonečná cyklická skupina pohybů euklidovského prostoru , což jsou symetrie obkladů, a nazývat přísně aperiodickými pouze ty sady dlaždic, které vedou k striktně aperiodické obklady, zbývající sady obkladů se pak nazývají slabě aperiodické [3] .
V roce 1996 postavila Petra Hummelt vzorovanou desetihrannou dlaždici a ukázala, že pokud jsou povoleny dva typy překrývání dvojic dlaždic, mohou obkládat rovinu, a to pouze aperiodickým způsobem [4] . Obvykle je teselace chápána jako výplň bez přesahu, takže dlaždici Hummelt nelze považovat za aperiodický prototil. Aperiodická sada dlaždic v euklidovské rovině, která se skládá pouze z jedné dlaždice, dlaždice Socolar-Taylor , byla navržena na počátku roku 2010 Joshuou Socolarem a Joan Taylor [5] . Tato konstrukce zahrnuje pravidla spojení, pravidla omezující relativní orientaci dvou dlaždic a pravidla pro spojování vzorů na dlaždicích a tato pravidla platí pro dvojice nesousedících dlaždic. Je možné použít dlaždice bez vzorů a bez orientačních pravidel, ale pak nebudou dlaždice spojeny. Konstrukci lze rozšířit do 3D prostoru pomocí spojených dlaždic a bez pravidel spojování, ale tyto dlaždice lze pokládat s periodicitou ve stejném směru, takže se jedná pouze o slabě neperiodický obklad. Navíc dlaždice nejsou jednoduše spojeny.
Nevyřešeným problémem zůstává existence přísně aperiodických sad skládajících se z jedné spojené dlaždice bez pravidel spojování.
| geometrické mozaiky | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pravidelné |
| ||||||||
| aperiodický |
| ||||||||
| jiný |
| ||||||||
| Podle konfigurace vrcholu |
| ||||||||