Trojúhelníková mozaika

Trojúhelníková mozaika
Typ	polopravidelný obklad
Konfigurace vertexu	(3.6) 2
symbol Schläfli	r{6,3} nebo h 2 {6,3}
symbol Wythoff	2 | 6 3 3 3 | 3
Coxeter-Dynkinův diagram	=
Symetrie	p6m, [6,3], (*632)
Rotační symetrie	p6, [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Bowerova notace	Že
Dvojité plástve	kosočtverečná mozaika
Vlastnosti	vertex-tranitive edge-tranitive

Trihexagonální obklad je jedním z 11 jednotných obkladů na euklidovské rovině z pravidelných mnohoúhelníků [1] . Mozaika se skládá z pravidelných trojúhelníků a pravidelných šestiúhelníků uspořádaných tak, že každý šestiúhelník je obklopen trojúhelníky a naopak. Název obkladu pochází z toho, že kombinuje pravidelný šestihranný obklad a pravidelný trojúhelníkový obklad . Kolem každého vrcholu se střídají dva šestiúhelníky a dva trojúhelníky a hrany tvoří nekonečnou konfiguraci čar . Duální obklad je kosočtverečný [2] .

Mozaice a jejímu místu v klasifikaci homogenních mozaik dal Johannes Kepler již v roce 1619 ve své knize Harmonices Mundi [3] . Vzor se dlouho používal v japonském pletení košíků , kde se mu říkalo kagome . Japonský termín pro tento vzor si vypůjčili fyzikové, kde se nazýval mřížka kagome . Vzor se nachází v krystalových strukturách některých minerálů. Conway používal název hexadeltille (šest-delta-mozaika), spojující části slov hex-/delta/tille [4] .

Kagome

Kagome (籠目) je tradiční japonský vzor tkaní z bambusu. Název je kombinací slov kago (koš) a me (oko), přičemž to druhé odkazuje na otvory v bambusovém koši.

Kagome je propletená konfigurace tyčí, která tvoří trojhranný mozaikový vzor. Tkaní dává kagome symetrii skupiny chirálních tapet, skupiny p6.

Mříž kagome

Termín mříž kagome zavedl japonský fyzik, zahraniční člen Ruské akademie věd [5] Koji Fushimi. Termín se poprvé objevil v článku z roku 1951, který napsal Ishirō Shoji pod vedením Fushimi [6] . Kagome mřížka v tomto smyslu sestává z vrcholů a hran trihexagonálního obkladu. Na rozdíl od názvu tyto průsečíky netvoří matematickou mřížku .

Spojená 3D struktura tvořená vrcholy a hranami čtvrtkrychlové plástve, vyplňující prostor pravidelnými čtyřstěny a zkrácenými čtyřstěny , se nazývá hypermřížka kagome [7] . Představují jej vrcholy a hrany čtvrtkubických plástů vyplňujících prostor čtyřstěny a zkrácenými čtyřstěny . Struktura obsahuje čtyři sady rovnoběžných rovin a každá rovina je dvourozměrná mřížka kagome. Další reprezentace v trojrozměrném prostoru má paralelní úrovně dvourozměrných mřížek a nazývá se ortorombická mřížka kagome [7] . Trojhranné hranolové plástve představují hrany a vrcholy této mřížky.

Některé minerály , jmenovitě jarosit a herbertsmithit , obsahují dvourozměrné mřížky nebo trojrozměrné mřížky kagome vytvořené z atomů v krystalové struktuře . Tyto minerály vykazují fyzikální vlastnosti spojené s geometrickými frustračními magnety . Například rozložení spinů magnetických iontů v Co 3 V 2 O 8 je uspořádáno ve formě mřížky kagome a vykazuje úžasné magnetické chování při nízkých teplotách [8] . Termín je nyní široce používán ve vědecké literatuře, zejména v teoretickém studiu magnetických vlastností teoretické mřížky kagome.

Symetrie

Trihexagonální obklad má Schläfliho symbol r{6,3} a Coxeter-Dynkinův diagram , symbolizující skutečnost, že obklad je plně zkrácený šestihranný obklad {6,3}. Jeho symetrie lze popsat skupinou tapet p6mm, (*632) [9] . Obklad lze získat Wythoffovou konstrukcí ze základních reflexních oblastí této skupiny . Trihexagonální obklad je kvazipravidelný obklad, který střídá dva typy polygonů a má vrcholovou konfiguraci (3.6) 2 . Obklad je také jednotný , jeden z osmi odvozených od pravidelného šestihranného obkladu.

Jednotné barvy

Trihexagonální obklad má dvě různé jednotné barvy . Tato dvě zabarvení, pokud určíte barevné indexy pro 4 plochy kolem vrcholu (3.6.3.6), mají sady indexů 1212 a 1232 [10] . Druhé zbarvení se nazývá zkosený hexagonální obklad , h 2 {6,3}, se dvěma barvami trojúhelníku ze symetrie (*333) skupiny tapet p3m1 .

Symetrie	p6m, (*632)	p3m, (*333)
Zbarvení
základní oblast
symbol Wythoff	2 | 6 3	3 3 | 3
Coxeter -Dynkinův diagram		=
symbol Schläfli	r{6,3}	r{3 [3] } = h 2 {6,3}

Topologicky ekvivalentní obklady

Trihexagonální obklad lze geometricky zakřivit do topologicky ekvivalentních obkladů s nižším stupněm symetrie [10] . V těchto variantách mozaiky nemusí být okraje nutně segmenty (mohou být zakřivené).

Související kvazi-pravidelné obklady

Trihexagonální obklad je přítomen v posloupnosti symetrií kvazipravidelných obkladů s vrcholovými konfiguracemi (3. n ) 2 , která začíná obklady na kouli, jde do euklidovské roviny a přechází do hyperbolické roviny. S orbifold notací* n 32 symetrie, všechny tyto obklady jsou vytvořeny Wythoffovou konstrukcí se základní oblastí symetrie a generátorovým bodem ve vrcholu oblasti s pravým úhlem [11] [12] .

Související pravidelná komplexní nekonečna

Existují 2 pravidelná komplexní nekonečna , která mají stejné vrcholy jako trihexagonální dlaždice. Pravidelná komplexní nekonečna mají vrcholy a hrany, zatímco hrany mohou mít 2 nebo více vrcholů. Pravidelná nekonečna (apeirogony) p { q } r mají omezující rovnost: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Hrany mají p vrcholů uspořádaných jako pravidelný mnohoúhelník a obrazce vrcholů jsou r -gonální [13 ] .

První nekonečno se skládá z trojúhelníkových hran, dvou trojúhelníků kolem každého vrcholu, druhé má šestiúhelníkové hrany, dva šestiúhelníky kolem každého vrcholu.

3{12}2 nebo	6{6}2 nebo

Viz také

• perkolační práh
• Davidova hvězda
• Trojhranné prizmatické plástve

Poznámky

1. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 . Viz zejména věta 2.1.3 na straně 59 (klasifikace homogenních obkladů), obrázek 2.1.5 na straně 63 (ilustrace tohoto obkladu), věta 2.9.1 na straně 103 (klasifikace barevných obkladů), obrázek 2.9 . 2 na straně 105 (ilustrace barevných obkladů), Obrázek 2.5.3(d) na straně 83 (topologicky ekvivalentní hvězdicové obklady) a Cvičení 4.1.3 na straně 171 (topologická ekvivalence trihexagonálních a bittrojúhelníkových obkladů).
2. ↑ Williams, 1979 , s. 38.
3. ↑ Kepler, 1997 , str. 104–105.
4. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , str. 288.
5. ↑ Fushimi Koji. | JE ARAN . Získáno 4. září 2021. Archivováno z originálu dne 4. června 2021. (neurčitý)
6. ↑ Mekata, 2003 , str. 12–13.
7. ↑ 1 2 Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008 .
8. ↑ Yen, Chaudhury, Galstyan a kol., 2008 , s. 1487–1489
9. ↑ Steurer, Deloudi, 2009 , str. dvacet.
10. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1987 .
11. ↑ Coxeter, 1973 .
12. ↑ Dvourozměrné mutace symetrie od Daniela Husona
13. ↑ Coxeter, 1991 , str. 111-112, 136.

Literatura

• Robert Williams. Geometrický základ přírodní struktury: Zdrojová kniha designu . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 32 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , Shephard GC Obklady a vzory. - New York: W.H. Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Johannes Kepler. Harmonie světa Johannes Kepler / Aiton EJ, Duncan AM, Field JV. - American Philosophical Society, 1997. - T. 209. - S. 104-105. — (Memoirs of the American Philosophical Society). — ISBN 9780871692092 .
• Coxeter HSMD Regular Complex Polytopes . — 2. - New York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - S.  111-112 , 136. - ISBN 0-521-39490-2 .
• Coxeter HSMD Kapitola V: Kaleidoskop, oddíl: 5.7 Wythoffova konstrukce // Regular Polytopes . - Třetí edice. - Vydání Dover, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitola 21: Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů; Euklidovské rovinné teselace // Symmetrie věcí. - Wellesley, MA: A. K. Peters, Ltd., 2008. - S. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Mamoru Mekata. Kagome: Příběh košíkářské mřížky // Fyzika dnes. - AIP Publishing, 2003. - Únor ( vol. 56 , číslo 2 ). — S. 12–13 . - doi : 10.1063/1.1564329 . — .
• Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Topologická spinová kapalina na mřížce hyperkagome Na 4 Ir 3 O 8  // Physical Review Letters. - 2008. - Červen ( roč. 100 , číslo 22 ). - doi : 10.1103/physrevlett.100.227201 . - . - arXiv : 0705.0990 .
• Yen F., Chaudhury RP, Galstyan E., Lorenz B., Wang YQ, Sun YY, Chu CW Magnetické fázové diagramy sloučeniny Kagome schodiště Co 3 V 2 O 8  // Physica B: Condensed Matter. - 2008. - T. 403 . - S. 1487-1489 . - doi : 10.1016/j.physb.2007.10.334 . - . - arXiv : 0710.1009 .
• Dale Seymour, Jill Britton. Úvod do teselací . - 1989. - S.  50-56 . — ISBN 978-0866514613 .
• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Krystalografie kvazikrystalů: koncepty, metody a struktury . - Springer, 2009. - T. 126. - S. 20. - (Springer Series in Materials Science). — ISBN 9783642018992 .