Pětiúhelníkové parkety

Geometrie pětiúhelníkových parket  : obklad složený z konvexních pětiúhelníků . Skládání pravidelných pětiúhelníků v euklidovském prostoru není možné, protože celkový úhel pravidelného pětiúhelníku je 108° a nedělí ani 180° ani 360°. Mohou však položit hyperbolickou rovinu a kouli .

Pro letadlo je však problém kompletního popisu všech možných obkladů nepravidelnými pětiúhelníky (popisy všech typů pětiúhelníků, pro které je takové obklady možné) velmi složitý a výzkum na něm probíhá již více než století. .

Obkládání roviny jednou konvexní dlaždicí

Počet parket z jedné konvexní dlaždice

Pentagonální parkety obecně

Předpokládá se, že existuje pouze 15 tříd pětiúhelníků, z nichž nekonečné parkety mohou obložit rovinu. Hledání všech takových tříd pokračovalo až do roku 2015 a 1. května 2017 Mikael Rao předložil důkaz, že žádné jiné takové pětiúhelníky neexistují [1] [2] . Od prosince 2017 byl počítačový program použitý a speciálně napsaný k prokázání teorému nezávisle reprodukován a ověřen Thomasem Halesem , profesorem matematiky na University of Pittsburgh [3] [4] , a zbytkem článku je stále ve vzájemném hodnocení .

Parkety od okraje k okraji

Jednodušším úkolem je najít všechny parkety, které tvoří dlažbu od okraje k okraji, to znamená, že žádná strana žádné dlaždice se nekryje se dvěma stranami dvou dalších najednou (nebo jinými slovy, když žádný z vrcholů polygony obkladu leží uprostřed nějaké strany jiného polygonu).

Celkem existuje osm typů pětiúhelníkových konvexních parketových dlaždic typu žebro-to-rib. To, že neexistují žádné jiné takové typy parketových dlaždic, kromě již nalezených, dokázala Olga Bagina na Omském algebraickém semináři v roce 2011 [5] . Důkaz byl zveřejněn v roce 2017 [6] .

Bez ohledu na Bagina, důkaz získal také Sugimoto v roce 2012 [7] .

Pozoruhodné typy parket

Žádná z patnácti známých tříd tessellable pentagons není zcela pokryta spojením ostatních. Některé dvojice tříd se však mohou překrývat. Navíc v některých třídách existují polygony, pro které kromě standardního schématu pro obkládání roviny dlaždicemi této třídy existují i ​​alternativní způsoby obkládání.

Ve výše uvedené klasifikaci dlaždic jsou rohy pětiúhelníku označeny A,B,C,D,E a délky jeho stran a, b, c, d, e, kde |EA|=a, | AB|=b, |BC|= c, |CD|=d, |DE|=e. Mnoho z těchto tříd má stupně volnosti vyjádřené rovnicemi pro úhly a strany. Zejména třídy 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a 13 umožňují parametry, které činí pětiúhelníky nekonvexními.

15 jednodílných pětibokých parket
jeden 2 3 čtyři 5

B+C=180°
A+D+E=360°
c=e
B+D=180°
a = b, d = c + e
A = C = D = 120°
b = c, d = e
B = D = 90°
a = b, d = e
A = 60°, D = 120°
6 7 osm 9 deset

a = d = e, b = c
B + D = 180°, 2B = E
b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360°
b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360°
b = c = d =
e2A + C = D + 2E = 360°
a = b = c + e
A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct

2a + c = d = e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°
2a = d = c + e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°
d = 2a = 2e
B = E = 90°, 2A + D = 360°
2a = 2c = d = e
A = 90°, B = 145,34°, C = 69,32°,
D = 124,66°, E = 110,68°
(2B + C = 360°, C + E = 180°).
a = c = e, b = 2a
A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

Periodické obklady lze charakterizovat jejich skupinou symetrie , například p2 (2222) pro obklady obsahující 4 rotační body (s přihlédnutím k paralelnímu posunu) řádu 2 (obraz se při otočení o 360/2=180 transformuje do sebe °). To je použito později na ilustracích, kde jsou zobrazeny stejné barvy, dlaždice mozaiky, které se navzájem proměňují s příslušnou rotací.

Primitivní buňka je nejmenší z dlaždic, která po zkopírování a přesunutí tvoří celou danou mozaiku.

Typy 1,2,3,4,5 (Reinhardt, 1918)

Prvních pět typů obkladů popsal v roce 1918 Carl Reinhardt . [8] Všech těchto pět obkladů bylo isohedrických , to znamená, že každý z obkladů mohl být přeložen do sebe jednoduchým otočením a posunutím, bez použití zrcadlového odrazu.

Grünbaum a Shephard ukázali, že existuje přesně 24 typů odlišných izoedrických obkladů. [9] Všech těchto 24 typů patřilo do tříd popsaných Reinhardtem, ale někdy vyžadovaly dodatečné podmínky. Existují dva izoedrické obklady pro každou sadu typu 2 a jedna pro každou z ostatních čtyř. 15 z 18 ostatních typů jsou speciální případy obkladů typu 1. 9 z 24 typů jsou parkety od okraje k okraji. [deset]

Skupiny symetrie vedle obrázků níže jsou uvedeny v orbifold notaci .

Pro dlaždice prvního typu existuje mnoho způsobů, jak jimi obkládat rovinu. Následuje pět topologicky odlišných příkladů teselací:

Typ obkladu 1
p2 (2222) cmm (2*22) cm (*×) pmg (22*) pgg (22x) p2 (2222) cmm (2*22)
p1 (°) p2 (2222) p2 (2222)
Primitivní buňka se 2 dlaždicemi Primitivní buňka se 4 dlaždicemi

B + C = 180°
A + D + E = 360°
a = c, d = e
A + B = 180°, A + D + E = 360°
a = c
A + B = 180°, C + D + E = 360°
a = e
B + C = 180°, A + D + E = 360°
d = c + e
A = 90°, C + D = 180°
2B + C = 360°
B + E = 270°
Typ 2
pgg (22x)
p2 (2222)
Primitivní buňka se 4 dlaždicemi

c =
eB + D = 180°
c = e, d = b
B + D = 180°
Typ 3 Typ 4 Typ 5
p3 (333) p31m (3*3) p4 (442) p4g (4*2) p6 (632)
Primitivní buňka se 3 dlaždicemi Primitivní buňka se 4 dlaždicemi Primitivní buňka 6 dlaždic Primitivní buňka 18 dlaždic

a = b, d = c + e
A = C = D = 120°
b = c, d = e
B = D = 90°
a = b, d = e
A = 60°, D = 120°
a = b = c, d = e
A = 60°, B = 120°, C = 90°
D = 120°, E = 150°
Typy 6,7,8 (Kershner, 1968)

Richard Kershner popsal v roce 1968 další tři typy dlaždic. Tvrdil, že kromě osmi nyní nalezených typů neexistují žádné další, ale ukázalo se, že se mýlil.

U typů 7 a 8 se nejprve objevují chirální dlaždice (tedy pro úplný popis drah symetrie je poprvé nutné použít nejen rotace, ale i odrazy). Na obrázku níže jsou dvojice chirálních dlaždic označeny dvojicemi barev (žlutá, zelená) a (modrá, světle modrá).

Všechny níže uvedené příklady jsou 2-isoedrické.

Typ 6 Typ 6
(také typ 5)		 Typ 7 Typ 8
p2 (2222) pgg (22x) pgg (22x)
p2 (2222) p2 (2222)

a = d = e, b = c
B + D = 180°, 2B = E
a = d = e, b = c
B = 60°, A = C = D = E = 120°
b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360°
b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360°

Primitivní buňka se 4 dlaždicemi
Primitivní buňka se 4 dlaždicemi
Primitivní buňka s 8 dlaždicemi
Primitivní buňka s 8 dlaždicemi
Typ 10 (James, 1975)

Po přezkoumání Kershnerových výsledků ve sloupci Martina Gardnera „Math Games“ v Scientific American našel Richard James další typ pětiúhelníku, který je nyní označován jako typ 10.

Zde uvedené příklady jsou 3-isoedrické.

typ 10
p2 (2222) cmm (2*22)

a=b=c+e
A=90, B+E=180°, B+2C=360°
a=b=2c=2e
A=B=E=90°, C=D=135°

Primitivní buňka 6 dlaždic
Typy 9, 11, 12, 13 (Rice, 1977)

Amatérská matematička Marjorie Riceová našla v letech 1976 a 1977 další čtyři typy dlaždic vhodných pro obklady.

Všechny čtyři typy parket jsou 2-izoedrické. Na obrázku níže jsou dvojice chirálních dlaždic označeny dvojicemi barev (žlutá, zelená) a (modrá, světle modrá).

Ze čtyř typů poskytuje pouze typ 9 obklady od okraje k okraji.

Primitivní cely obsahují všude 8 dlaždic.

Typ 9 Typ 11 Typ 12 Typ 13
pgg (22x)
p2 (2222)

b=c=d=e
2A+C=D+2E=360°
2a+c=d=e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
2a=d=c+e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
d=2a=2e
B=E=90°, 2A+D=360°

Primitivní buňka s 8 dlaždicemi
Primitivní buňka s 8 dlaždicemi
Primitivní buňka s 8 dlaždicemi
Primitivní buňka s 8 dlaždicemi
Typ 14 (Stein, 1985)

Čtrnáctou mozaiku nalezl Rolf Stein v roce 1985. Obklad, který našel, je 3-izoedrický a není typu od okraje k okraji.

Jeho obklad se navíc skládá z přísně fixovaných dlaždic - neexistuje zde variabilita prostřednictvím rovnic pro úhly, jako u předchozích typů, zde nejsou žádné stupně volnosti. Zde je několik možností pro tuto pevnou dlaždici:

Z těchto hodnot snadno odvodíte zbytek.

Primitivní buňka takového obkladu obsahuje šest dlaždic.

typ 14
pgg (22x)

2a=2c=d=e
A=90°, B=145,34°, C=69,32°, D=
124,66°, E=110,68°
(2B+C=360°, C+E=180°).
Primitivní buňka 6 dlaždic
Typ 15 (Mann, Macleod, von Durey, 2015)

Vědci z Washingtonské univerzity v Bothellu, matematici Casey Mann, Jennifer Macleod a David von Duray, v roce 2015 pomocí počítačových výpočtů našli patnáctý typ parket. Jejich práce byla zveřejněna v říjnu 2015. [jedenáct]

Tento obklad není obkladem od okraje k okraji. Je 3-izoedrický (to je zajištěno dvěma symetriemi — rotace o 180° kolem středu spojnice světle žlutých destiček jedné elementární buňky a zrcadlový odraz kolem středu spojnice světle žlutých destiček ze dvou různých elementárních buněk) . V mozaice jsou chirální dlaždice - na obrázku jsou naznačeny dvojicemi barev (žlutá, světle žlutá), (modrá, azurová), (červená, růžová). Primitivní buňka obsahuje 12 dlaždic.

Stejně jako parkety typu 14 lze tyto parkety postavit z jedné dlaždice, neexistují žádné stupně volnosti pro změnu úhlů a délek stran.

Typ 15

( Větší obrázek )
a=c=e, b=2a, d= √ 2 + √ 3 a
A=150°, B=60°, C=135°
D=105°, E=90°
Primitivní buňka 12 dlaždic

Neperiodické parkety

Existují také neperiodické parkety z pětiúhelníkových dlaždic. Mají radiální symetrii, to znamená, že se shodují se sebou po otočení o určitý úhel vzhledem ke středu.

Níže budeme hovořit o obkladu s radiální řádovou symetrií , pokud se po otočení kolem centrálního bodu shoduje se sebou samým.

V roce 2016 Bernard Claasen ukázal, že pro každý existuje neperiodický pětiúhelníkový obklad s řádovou radiální symetrií [12] [13] . Jeho konstrukční metodou bylo vyplnit rovinu dvojicemi pětiúhelníků, spojených na jedné straně tak, že tvoří šestiúhelník. Pokud je jeden z úhlů pětiúhelníku stejný a délky stran jsou zvoleny správným způsobem, pak, počínaje takovými pětiúhelníky triviálně spojenými kolem jednoho bodu, lze předvídatelně vyplnit vrstvy, které je obklopují, jednu po druhé.


Pětiúhelníkový obklad s radiální symetrií řádu 5
Pětiúhelníkový obklad s radiální symetrií řádu 6
Pětiúhelníkový obklad s radiální symetrií řádu 7
Příklad obkladu Claasen pro

Parkety duální až homogenní parkety

Existují tři typy parket duální až homogenní parkety . Všechny tyto parkety jsou typu žebro-žebro. Symetrie dvojitých parket se shodují se symetrií odpovídajících homogenních parket. Protože homogenní parkety jsou izogonální , jejich dvojité parkety jsou izoedrické.

cmm (2*22) p4g (4*2) p6 (632)
Prizmatické pětiboké parketyInstance typu 1 [8] Káhirská pětiúhelníková mozaikaInstance typu 4 [8] [14] Květinová pětiúhelníková mozaikaInstance typů 1, 2 a 5

120°, 120°, 120°, 90°, 90°
V3.3.3.4.4
120°, 120°, 90°, 120°, 90°
V3.3.4.3.4
120°, 120°, 120°, 120°, 60°
V3.3.3.3.6

Obkládání roviny více dlaždicemi

Parkety duální až k -homogenní

Jiné k -homogenní parkety, jejichž všechny vrcholy mají pět vystupujících hran, mají také dvojité pětiúhelníkové parkety, ale sestávající z několika různých dlaždic. Žádné jiné dlaždice, kromě tří, které se objevují v běžných parketách, duálních až homogenních, se v nich však neobjevují.

Parkety duální ke k -homogenním parketám jsou k -isohedrické.

Například níže jsou pětiúhelníkové parkety duální až 2,3,4 a 5-homogenní a také samostatně (pod každou) dlaždice, které je tvoří.

2-isoedrický 3-isoedrický
p4g (4*2) pgg (22x) p2 (2222) p6 (*632)
4-isoedrický 5-isoedrický
pgg (22x) p2 (2222) p6m (*632)
5-isoedrický
pgg (22x) p2 (2222)

Pentagonální-šestihranné obklady

Pětiúhelníky jsou v zajímavém vztahu s šestiúhelníky. Některé typy šestiúhelníků lze rozdělit na pětiúhelníky – zejména jeden šestiúhelník lze rozdělit na:

  • 2 dlaždice typu 1
  • 3 dlaždice typu 3
  • 4 dlaždice typu 4
  • 9 dlaždic typu 3

Vzhledem k této rozmanitosti možností lze letadlo rozdělit do pětiúhelníků nekonečným počtem způsobů, které jsou vytvořeny z poddělení šestiúhelníků pravidelného obkladu.


Obkládání roviny jednou pětiúhelníkovou dlaždicí (typ 1) vytvořením pravidelné mozaiky šestiúhelníků (z nichž každý je rozdělen na 2 pětiúhelníky)
Obkládání roviny jednou pětiúhelníkovou dlaždicí (typ 3) vytvořením pravidelné mozaiky šestiúhelníků (z nichž každý je rozdělen na 3 pětiúhelníky)
Obkládání roviny jednou pětiúhelníkovou dlaždicí (typ 4) vytvořením pravidelné mozaiky šestiúhelníků (z nichž každý je rozdělen na 4 pětiúhelníky)
Obkládání roviny jednou pětiúhelníkovou dlaždicí (typ 3) vytvořením pravidelné mozaiky ze šestiúhelníků dvou různých velikostí (z nichž každý je rozdělen na 3 nebo 9 dlaždic)

Dlažba s nekonvexními pětiúhelníky

Existují také obklady roviny nekonvexními polygony. Jedním takovým příkladem je obklad Sphinx , neperiodický obklad zvětšováním velikosti dělící dlaždice . U postavy "Sfinga" existuje také periodické obkládání prostřednictvím sestavování jejich párů do rovnoběžníků a triviální obkládání roviny těmito rovnoběžníky.

V roce 2003 Gerver ukázal, jak lze pravidelný trojúhelník rozdělit na tři nekonvexní polygony. Pomocí stejného schématu lze rozdělit libovolný pravidelný -gon na nekonvexní pětiúhelníky nekonečným počtem způsobů. Zejména je tato metoda vhodná pro 3, 4 a 6-úhelníky, přes rozdělení pravidelných teselací, z nichž lze tak generovat další nekonečnou třídu dlaždic roviny do nekonvexních polygonů.

Poznámky

  1. ↑ Konjajev, Andrej . Francouzský matematik vyřešil problém obkládání roviny , N+1  (12. července 2017). Archivováno z originálu 5. ledna 2018. Staženo 4. ledna 2018.
  2. ↑ Předtisk Raova díla . Získáno 12. března 2018. Archivováno z originálu 2. srpna 2017.
  3. ↑ Programový kód Hales
  4. ↑ Publikace Halesova díla Archivováno 6. srpna 2017 na Wayback Machine na webu Quanta Magazine
  5. ↑ Omský algebraický seminář . Získáno 12. března 2018. Archivováno z originálu 12. března 2018.
  6. ↑ O. G. Bagina. O vlastnostech mozaikových pětiúhelníků s párem stejných sousedních stran  // Ústav matematiky im. S. L. Soboleva Sibiřské elektronické matematické zprávy. - Elektronický časopis, 2017. - 8. prosince ( roč. 14 ). - S. 1380-1412 . doi : 10.17377 / pololetí 14. 2017 .
  7. ↑ Sugimoto, Teruhisa (2012), Konvexní pětiúhelníky pro obklady od okraje k okraji, I. , Forma T. 27 (1): 93–103 , < http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/ 2701/27010093.html > Archivováno 20. května 2020 na Wayback Machine 
  8. ↑ 1 2 3 Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone , Disertační práce Frankfurt nad Mohanem, Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske,, str. 77–81 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN316479497&DMDID=DMDLOG_0013&LOGID=LOG_0013&PHYSID=PHYS_0083 >  (poznámka: v práci je alespoň jedna chyba součet úhlů γ +δ v prvních dvou typech dlaždic na straně 77 by měl být π, nikoli 2π)
  9. ↑ Grünbaum, Shephard, 1978 .
  10. ↑ Schattschneider, 1978 .
  11. ↑ Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer & David Von Derau (2015), Konvexní pětiúhelníky, které připouštějí $i$-blokové tranzitivní dlaždice, arΧiv : 1510.01186 [math.MG]. 
  12. ↑ Klaassen, Bernard. Rotačně symetrické obklady s konvexními pětiúhelníky a šestiúhelníky  //  Elemente der Mathematik : deník. - 2016. - Sv. 71 , č. 4 . - S. 137-144 . — ISSN 0013-6018 . - doi : 10.4171/em/310 .
  13. ↑ Klaassen, Bernhard (2016), Rotačně symetrické obklady s konvexními pětiúhelníky a šestiúhelníky, arΧiv : 1509.06297 [math.MG]. 
  14. ↑ Káhirské pětiúhelníkové dlaždice generované dotazem pentagonu typu 4 Archivováno 28. prosince 2017 na Wayback Machine a dotazem pentagonálního typu 2 Archivováno 29. prosince 2017 na Wayback Machine na wolframalpha.com Archivováno 24. února 2011 na Wayback Machine ( wolframová definice obkladu typu 2 typu pentagon neodpovídá typu 2 definovanému Reinhardtem v roce 1918)

Odkazy

 geometrické mozaiky
Pravidelné
aperiodický
jiný
Podle konfigurace vrcholu
Sférický
opravit
polosprávné
_
hyperbolický
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 38 _
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3,8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 45 _
  • 4 6
  • 4 7
  • 48 _
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4,8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6,8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7,14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8,16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞, 6 2
  • ∞, 8 2