Pythagorejská mozaika

Pythagorejský obklad ( obklad se dvěma čtverci ) je obklad euklidovské roviny se čtverci o dvou různých velikostech, kde se každý čtverec svými čtyřmi stranami dotýká čtyř čtverců různé velikosti. Na základě této mozaiky lze (intuitivně) dokázat Pythagorovu větu [2] , pro kterou byla mozaika nazývána Pythagorova [1] . Mozaika se často používá jako vzor dlaždicové podlahy . V této souvislosti je obklad známý také jako třídní vzor [3] .

Topologie a symetrie

Pythagorejský obklad je jediným obkladem se dvěma různě velkými čtverci, ve kterých žádné dva čtverce nemají společnou stranu a zároveň lze symetrií obkladu k sobě přiřadit libovolné dva stejně velké čtverce [ 4] .

Topologicky má pythagorejský obklad stejnou strukturu jako zkrácený čtvercový obklad čtverců a pravidelných osmiúhelníků [5] . Menší čtverce v pythagorejském obkladu sousedí se čtyřmi velkými dlaždicemi, stejně jako čtverce v zkráceném čtvercovém obkladu, zatímco větší čtverce v pythagorejském obkladu sousedí s osmi sousedy, střídavě velkými a malými, stejně jako osmiúhelníky v zkráceném čtvercový obklad. Tyto dva obklady však mají různé symetrie – zkrácený čtvercový obklad má dihedrální symetrii kolem středu každé dlaždice, zatímco Pythagorejský obklad má menší cyklickou sadu symetrií kolem odpovídajících bodů, které tvoří symetrii p4 [6] . Mozaika je chirální , což znamená, že ji nelze získat ze zrcadlového obrazu pouze paralelními posuny a rotacemi.

Jednotná  dlaždice je dlaždice, ve které je každá dlaždice pravidelným mnohoúhelníkem a ve které existuje symetrie, která mapuje jakýkoli vrchol na jakýkoli jiný vrchol. Obvykle je navíc vyžadován jednotný obklad, aby se dlaždice dotýkaly okrajem k okraji, ale pokud se toto omezení zruší, pak existuje osm dalších jednotných obkladů - čtyři jsou vytvořeny z nekonečných pásů čtverců nebo pravidelných trojúhelníků, tři jsou tvořeny pravidelnými trojúhelníky a pravidelné šestiúhelníky a osmý je Pythagorejská mozaika [7] .

Pythagorova věta a řezy

Mozaika se nazývá Pythagorejská, protože ji k prokázání Pythagorovy věty použili arabští matematici devátého století An-Nairizi a Thabit ibn Qurra a v 19. století britský amatérský matematik Henry Perigal [1] [8] [9] . Pokud jsou strany dvou čtverců tvořících mozaiku označeny písmeny a , pak nejbližší vzdálenost mezi odpovídajícími body shodných čtverců bude , kde je délka přepony pravoúhlého trojúhelníku , jehož ramena se rovnají a . Například na obrázku vlevo mají dva čtverce pythagorejského obkladu délky 5 a 12 jednotek a délka strany navrstveného čtvercového obkladu (červené čáry) je 13, což odpovídá pythagorejskému trojitému (5 ,12,13).

Přiložením čtvercové mřížky se stranou na pythagorejský obklad lze získat řez na pět částí dvou nestejných čtverců se stranami a , ze kterých lze vytvořit čtverec se stranou , což ukazuje, že dva menší čtverce v celkem mají stejnou plochu jako velké náměstí. Stejně tak lze superpozicí dvou pythagorejských obkladů získat řez na šest dílů dvou nestejných čtverců, z nichž lze přidat další dva nestejné čtverce [8] [10] .

Aperiodické sekce

Přestože je pythagorejský obklad sám o sobě periodický (má čtvercovou mřížku paralelních translace), jeho řezy lze použít k vytvoření jednorozměrných neperiodických sekvencí [11] .

Při „blokové konstrukci“ aperiodických sekvencí se pythagorejská mozaika konstruuje se dvěma čtverci, jejichž poměr délek stran je iracionální (rovný ). V tomto případě je vybrána čára, která je rovnoběžná se stranami čtverců a je generována sekvence binárních hodnot v závislosti na čtverci, který čára protíná - 0 odpovídá průsečíku většího čtverce a 1 odpovídá na křižovatku menšího náměstí. V této posloupnosti je poměr výskytů nul a jedniček ve vztahu . Tento podíl nelze získat periodickou posloupností nul a jedniček, protože je iracionální [11] .

Pokud jako kvalitu zvolíte zlatý řez , takto vytvořená posloupnost nul a jedniček má stejnou rekurzivní strukturu jako Fibonacciho slovo  - lze ji rozdělit na podřetězce ve tvaru "01" a "0" ( tedy bez dvou po sobě jdoucích ) a pokud tyto dva podřetězce postupně nahradíme kratšími řetězci "0" a "1", dostaneme další řetězec se stejnou strukturou [11] .

Související výsledky

Podle Kellerova dohadu musí jakékoli obkládání roviny identickými čtverci obsahovat dva čtverce, které se dotýkají od okraje k okraji [12] . Žádné dva čtverce v pythagorejské dlaždici se nedotýkají od okraje k okraji [4] , ale tato skutečnost neporušuje Kellerovu domněnku, protože ne všechny čtverce jsou stejné.

Pythagorejský obklad lze zobecnit na trojrozměrný euklidovský prostor jako obklad kostek dvou různých velikostí, které se dotýkají podobným způsobem. Attila Bölcskey nazývá takové trojrozměrné teselace Rogersovy obklady . Navrhl, že v jakékoli dimenzi větší než tři existuje jedinečný způsob, jak mozaikovat prostor hyperkrychle dvou různých velikostí s vlastnostmi podobnými těm, které jsou popsány výše (žádné dvě hyperkrychle nemají společnou stranu a jakékoli dvě hyperkrychle stejné velikosti lze zmapovat. k sobě obkladovou symetrií) [13] [14] .

Burns a Rigby našli některé prototily , včetně sněhové vločky Koch , které lze použít k mozaikování letadla se dvěma nebo více kopiemi různých velikostí [15] [16] . Dřívější práce Danzera, Grünbauma a Sheparda uvádí další příklad, konvexní pětiúhelník, který rovinu pouze mozaikuje v kombinaci dvou rozměrů [17] . Přestože pythagorejský obklad používá dvě různé velikosti čtverců, čtverce nemají stejné vlastnosti jako uvedené prototily, které lze obkládat pouze dvěma (nebo více) dlaždicemi různých velikostí, protože rovinu lze obkládat čtverci stejná velikost.

Poznámky

1. ↑ 1 2 3 Nelsen, 2003 , str. 5–8.
2. ↑ Wells, 1991 , str. 260–261.
3. ↑ Hopscotch: Je to víc než jen dětská hra. — Tile Inc., srpen 2008. .
4. ↑ 1 2 Martini, Makai, Soltan, 1998 , str. 481–495.
5. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. 171.
6. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. 42.
7. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. 73–74.
8. ↑ 1 2 Aguilo, Fiol, Fiol, 2000 , str. 341–352.
9. ↑ Grünbaum a Shephard 1987 , s. 94.
10. ↑ Frederickson, 1997 , s. 30–31.
11. ↑ 1 2 3 Steurer, Deloudi, 2009 , str. 91–92.
12. ↑ Správnost této domněnky pro dvourozměrné obklady znal již Keller, později se však prokázalo, že domněnka neplatí pro rozměry osm a vyšší. Přehledy výsledků souvisejících s hypotézou viz ( Zong 2005 ).
13. ↑ Bölcskei, 2001 , str. 317–326.
14. ↑ Dawson ( 1984 ) poskytl kresbu trojrozměrné mozaiky, kterou připisuje Rogersovi, ale citoval článek Richarda Guye z roku 1960 .
15. ↑ Burns, 1994 , str. 193–196.
16. ↑ Rigby, 1995 , str. 560–561.
17. ↑ Danzer, Grünbaum, Shephard 1982 , str. 568–570+583–585, Obrázek 3.

Literatura

• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Krystalografie kvazikrystalů: koncepty, metody a struktury. - Springer, 2009. - T. 126. - S. 91–92. - (Springer Series in Materials Science). - ISBN 978-3-642-01898-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 .
• David Wells. Tučňákův slovník kuriózní a zajímavé geometrie . - New York: Penguin Books, 1991. - s  . 260-261 . — ISBN 0-14-011813-6 .
• Horst Martini, Endre Makai, Valeriu Soltan. Jednostranné obklady roviny se čtverci o třech velikostech // Beiträge zur Algebra und Geometrie. - 1998. - T. 39 , no. 2 . — S. 481–495 . .
• Branko Grünbaum, GC Shephard. Obklady a vzory. - W. H. Freeman, 1987. - S. 171.
• Francesc Aguilo, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Periodické obklady jako pitevní metoda  // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , no. 4 . — S. 341–352 . - doi : 10.2307/2589179 .
• Greg N. Frederickson. Pitvy: Plane & Fancy . - Cambridge University Press, 1997. - S.  30-31 .
• Chuanming Zong. Co je známo o jednotkových kostkách // Bulletin American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , no. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Attila Bolcskei. Vyplnění prostoru kostkami dvou velikostí // Publicationes Mathematicae Debrecen. - 2001. - T. 59 , vydání. 3-4 . — S. 317–326 .
• RJM Dawson. O vyplnění prostoru různými celočíselnými kostkami // Journal of Combinatorial Theory. Řada A. - 1984. - T. 36 , no. 2 . — S. 221–229 . - doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 .
• Chuanming Zong. Co je známo o jednotkových kostkách // Bulletin American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , no. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Roger B. Nelsen. Obrazy, rovinné obklady a nátisky // Matematické horizonty. - 2003. - Vydání. listopadu . — S. 5–8 .
  • Přetištěno v Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. The Edge of the Universe: Oslava deseti let matematických obzorů. - Mathematical Association of America, 2007. - S. 295-298. - ISBN 978-0-88385-555-3 .
  • Viz také Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Okouzlující důkazy: cesta do elegantní matematiky. - Mathematical Association of America, 2010. - V. 42. - S. 168-169. — (Dolciani matematické výklady). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• Aidan Burns. 78.13 Fraktální obklady  // Mathematical Gazette. - 1994. - T. 78 , no. 482 . — S. 193–196 . — .
• John Rigby. 79.51 Obkládání roviny podobnými polygony dvou velikostí  // Mathematical Gazette. - 1995. - T. 79 , no. 486 . — S. 560–561 . — .
• Danzer L., Grünbaum B., Shephard GC Nevyřešené problémy: Mohou mít všechny dlaždice dlaždice pětinásobnou symetrii? // The American Mathematical Monthly. - 1982. - T. 89 , čís. 8 . - doi : 10.2307/2320829 .
• Aguilo F., Fiol MA, Fiol ML Periodické obklady jako pitevní metoda // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , no. 4 . - doi : 10.2307/2589179 .