Čtvercová kvadratura

Umocnění čtverce  je problém rozdělení čtverce na konečný počet menších čtverců. V užším slova smyslu je to problém rozdělení čtverce na konečný počet párově nerovných čtverců.

V letech 1936-1938 jej řešili čtyři studenti Trinity College, Cambridge University [1] .

Všechny čtverce v jakémkoli řešení tohoto problému mají strany srovnatelné délky. [2]

Terminologie

• Čtverec rozdělený na párově nestejné čtverce se nazývá dokonalý [1] .
• Pořadí čtverce rozděleného na složené čtverce je počet čtverců, z nichž se skládá.
• Rozdělení čtverce, jehož žádná podmnožina čtverců netvoří obdélník (nepočítaje jednotlivé čtverce), se nazývá jednoduchý .

Historie

• Otázku možnosti rozdělení čtverce na nestejné čtverce zapsal do Skotské knihy Stanislav Ruzevich pod číslem 59 [3] v roce 1935.
• Úplně první dokonalé čtverce nalezené Brooksem, Smithem, Stonem a Tuttem byly řádu 69.
• V roce 1939 našel R. Sprague dokonalý čtverec řádu 55, bylo to první publikované řešení dokonalého čtverce [4] .
• Později T. H. Willcocks našel dokonalý čtverec řádu 24, který dlouhou dobu držel rekord v řádu malosti.
• V roce 1978 holandský matematik A. J. W. Duijvestijn ( A. J. W. Duijvestijn ) pomocí počítače našel rozdělení čtverce na 21 čtverců, mezi nimiž se rovnají (viz obr.). Dokázal také následující tvrzení:
  • Neexistuje žádný dokonalý čtverec nižšího řádu.
  • Přepážka, kterou našel, je jediná možná pro přepážku 21. řádu.

Smithův diagram

Klíčovou roli při řešení problému kvadratury sehrál návrh Brookse, Smithe, Stonea a Tata v letech 1936-1938 [ 1] na analýzu diagramu zvaného Smithův diagram , který přiřazuje elektrický obvod libovolnému oddílu čtverec (nebo obdélník) . To umožnilo aplikovat dobře rozvinutou teorii elektrických obvodů k řešení problému kvadratury.

Můžeme uvažovat, že obdélník je vodič vyrobený z fólie s konstantním odporem. Pokud je podél základen připojen proud, pak je odpor obdélníku přímo úměrný výšce a nepřímo úměrný šířce obdélníku. Proto můžeme předpokládat, že odpor jakéhokoli čtverce je jednotný.

Každý vodorovný segment ve schématu rozdělení čtverce odpovídá "svorce" tohoto obvodu a každý čtverec rozdělení odpovídá vodiči spojujícímu dvě "svorky". Síla proudu procházejícího vodičem se rovná délce strany odpovídajícího čtverce. Protože můžeme předpokládat, že odpor každého čtverce je roven jedné, chová se takový elektrický obvod jako „skutečný“; zejména dodržuje Kirchhoffova pravidla pro proudy v obvodu.

Počet čtverců na druhou

	Počet prvočíselných čtverců řádu		Počet prvočíselných čtverců řádu
21	jeden	28	3001
22	osm	29	7901
23	12	třicet	20 566
24	26	31	54 541
25	160	32	144 161
26	441	33	378 197 [5]
27	1152

Počet jednoduchých dokonalých čtverců řádu n až symetrií je uveden v posloupnosti A006983 v OEIS [6] .

V roce 2013 byl zjištěn počet čtverců řádově 32 ( 144 161 ) [6] [5] .

V červnu 2014 získal Jim Williams všech 378 197 prvotřídních dokonalých čtverců řádu 33 [5] .

Cube cubing

„Krychlení krychle“, tedy rozdělení krychle na konečný počet párově nestejných krychlí, je nemožné. Důkaz o této skutečnosti podali Brooks, Smith, Stone a Tutt.

Předpokládejme, že požadovaný oddíl krychle existuje.

Uvažujme jednu z ploch krychle, samozřejmě, aniž bychom ztratili obecnost, můžeme zvolit spodní plochu.

Na spodní ploše jsou nerovné kostky, jejichž spodní hrany rozdělují líc na nerovné čtverce.

Najdeme nejmenší čtverec přepážky spodního obličeje. Je zřejmé, že tento čtverec nemůže přiléhat k okraji krychle, protože je omezen stranami větších čtverců, proto musí být umístěn někde uvnitř plochy.

Nyní zvažte horní stranu této malé krychle. Vzhledem k tomu, že se má jednat o nejmenší kostku na spodní straně kostky, je obklopena vyššími kostkami. Na jeho horní ploše tedy nezasahuje ani jedna sousední krychle. V důsledku toho menší krychle stojící na této ploše opět rozdělují horní stranu této krychle na nerovné čtverce a nejmenší čtverec přepážky horní strany uvažované krychle opět nemůže patřit k hraně krychle a nachází se uvnitř tvář.

Pokračujeme-li v tomto procesu uvažování, docházíme k rozporu, který dokazuje Věta [1] .

Hyperkubace hyperkrychle

Je také snadné dokázat větu o nemožnosti „hyperkrychle hyperkrychle“ pro hyperkrychle jakékoli dimenze větší než 3. Pro jakoukoli dimenzi n musí rozdělovací hyperkrychle sousedící s nějakou ( n  − 1)-rozměrnou fasetou původní hyperkrychle tuto fasetu rozdělit na konečný počet párově nestejných ( n  − 1)-rozměrných hyperkrychlí. Pro n  = 4 je "hypercubing" nemožný, protože musí generovat "cubing" 3-rozměrných hyperploch původní 4-rozměrné hyperkrychle. Indukcí na n lze usoudit, že „hyperkubace“ je nemožná pro všechna n  > 3.

Odkazy

• Video na anglicky psaném populárně vědeckém matematickém kanálu YouTube Numberphile Archivovaná kopie z 12. srpna 2020 na Wayback Machine

Literatura

• Gardner M. , Matematické hádanky a zábava . Za. z angličtiny Yu.Danilova. Ed. "Onyx", Moskva, 1994, s. 305-326.
• Yaglom I. M. How to cut a square Archivní kopie z 27. ledna 2021 na sérii Wayback Machine Mathematical Library M., Nauka, 1968—112 ​​​​s.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Katalog jednoduchých dokonalých čtvercových čtverců řádů 21 až 25 , Eindhoven Univ. Technologie, odd. of Math., Report 92-WSK-03, Nov. 1992.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26 , Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, prosinec 1994.
• Brooks, R. L., Smith CAB, Stone, A. H., Tutte, W. T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
• Gardner Martin , Squaring the square , v The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Meschkowski H. Nevyřešené a neřešitelné problémy v geometrii, Oliver a Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9-102.
• Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2. ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92-124.
• Tutte W. Squaring the Square, Canadian Journal of Mathematics, 1950, s. 197-209.
• Tutte W. The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly , 1965, sv. 72, č.p. 2, str. 29-35.

Poznámky

1. ↑ 1 2 3 4 Brooks, R. L.; Smith, CAB; Stone, A.H.; a Tutte, W. T. The Dissection of Rectangles to Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940.
2. ↑ Gardner, M. , Matematické hádanky a zábava . Za. z angličtiny Yu.Danilova. Ed. "Onyx", Moskva, 1994, s. 305-326. . Získáno 12. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 17. ledna 2021. (neurčitý)
3. ↑ Skotská kniha  (neurčeno) / Stan Ulam. — 1958.
4. ↑ 5. K teorii pro kombinatorické hry . Americká matematická společnost . Získáno 30. června 2017. Archivováno z originálu 29. srpna 2017.  (neurčitý) .
5. ↑ 1 2 3 Stuart Anderson. Jednoduché dokonalé čtvercové čtverce (SPSS); Objednávky 21 až 33 a vyšší objednávky . Získáno 30. listopadu 2015. Archivováno z originálu 8. prosince 2015.  (neurčitý) .
6. ↑ 1 2 OEIS sekvence A006983 = Počet jednoduchých dokonalých čtverců řádu n až po symetrii .

Odkazy

• Ross Honsberger. Náměstí náměstí . Matematická fakulta, University of Waterloo. Archivováno z originálu 16. října 2015. (neurčitý)
• Re: Rozřezání čtverce (nebo obdélníku) na nestejné čtverce . sci.math, rec.puzzles (11. dubna 1998). Archivováno z originálu 19. dubna 2003. (neurčitý)
• Náměstí náměstí . Byron Schmuland. Získáno 26. února 2005. Archivováno z originálu 24. září 2015. (neurčitý)
• Karlem Schererem. Square The Rectangle (nedostupný odkaz) . Archivováno z originálu 21. srpna 2014. (neurčitý) 
• Karlem Schererem. Square The Square (nedostupný odkaz) . Archivováno z originálu 19. srpna 2014. (neurčitý) 

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)