Srovnatelné množství

Souměřitelné veličiny je historický termín označující veličiny, pro které existuje společná míra . Běžnou mírou veličin je veličina, která je v každé z nich obsažena jako celé číslo [1] . Pokud taková míra neexistuje, pak se takové veličiny nazývají nesouměřitelné .

Předpokládejme, že společná míra je obsažena ve veličinách a a b ma n krát, v tomto pořadí . Číslo m / n se nazývá poměr těchto srovnatelných veličin. Poměr dvou souměřitelných veličin je vyjádřen racionálním číslem a nesouměřitelný- iracionální . Proto také říkáme, že číslo a je racionálním násobkem čísla b .

Příkladem nesouměřitelných veličin je úhlopříčka čtverce a jeho strany, protože jejich poměr ( ) nelze přesně vyjádřit žádným racionálním číslem.

Jakýkoli pár (a jakákoli konečná množina) racionálních čísel je souměřitelný. Iracionální čísla mohou být souměřitelná (například a , jejichž poměr je 3), ale mohou být také nesouměřitelná.

Historie

Pythagorejci (6. století př. n. l.) si byli jisti, že „ prvky čísel jsou prvky všech věcí… a že celý svět jako celek je harmonie a číslo “ [2] . Přitom uznávali pouze přirozená čísla jako čísla ; a oni považovali zlomková čísla za poměry přirozených čísel ( proporce ) a nezvažovali čísla, protože jednotka byla považována za nedělitelnou.

První trhlinou v pythagorejském modelu světa byl jejich vlastní důkaz iracionality , formulovaný geometricky jako nesouměřitelnost úhlopříčky čtverce s jeho stranou (5. století př. n. l.). Nemožnost vyjádřit délku úsečky buď přirozeným číslem nebo poměrem přirozených čísel zpochybnila hlavní princip pythagorejství. Dokonce i Aristoteles, který jejich názory nesdílel, vyjádřil svůj úžas nad tím, že existují věci, které „nelze měřit nejmenší mírou“ [3] .

Situaci se snažil zachránit talentovaný Pythagorejec Theaetetus . On (a později Eudoxus ) navrhl nový koncept „geometrické veličiny“, který byl nyní formulován v geometrickém jazyce, a nebyly zde žádné problémy se souměřitelností. Teorie Eudoxu je uvedena v knize V. Euklidových prvků . Kromě nesouměřitelnosti úhlopříčky čtverce s jeho stranou Euklides prokázal nesouměřitelnost mnoha dalších dvojic veličin:

• strany pravidelného pětiúhelníku a poloměr opsané kružnice kolem něj;
• strany pravidelného desetiúhelníku a poloměr opsané kružnice kolem něj;
• hrany pravidelného mnohostěnu ( čtyřstěn , krychle , osmistěn , dvacetistěn , dvanáctistěn ) a poloměr koule popsaný kolem tohoto mnohostěnu [4] .

Stoupenci starověkých vědců – indičtí a islámští matematici – odhodili pythagorejské předsudky a jakoukoli měřitelnou veličinu považovali za číslo. V Evropě byl tento přístup vyhlášen Newtonem v „ Univerzální aritmetice “ (1707):

Pod číslem nerozumíme ani tak množinu jednotek, jako abstraktní vztah nějaké veličiny k jiné veličině stejného druhu, brané jako jednotka.

Tento přístup zcela vyrovnává práva souměřitelných a nesouměřitelných veličin (tedy racionálních a iracionálních čísel ).

Viz také

• Archimédův axiom
• Euklidův algoritmus
• Bezrozměrné číslo
• Geometrické konstrukce

Poznámky

1. ↑ Souměřitelné a nesouměřitelné veličiny // Matematická encyklopedie (v 5 dílech). - M .: Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5. - S. 73.
2. ↑ Aristoteles . Metafyzika. Překlad a poznámky A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, str. 26-27.
3. ↑ Aristoteles . Metafyzika. Překlad a poznámky A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, s. 22.
4. ↑ Andronov I. K. Matematika reálných a komplexních čísel. - Osvěta, 1975. - S. 9-10. — 158 str.