Ornament skupina

Skupina ozdoby (nebo skupina symetrie letadla nebo plochá krystalografická skupina ) je matematická klasifikace dvourozměrných opakujících se vzorů založených na symetriích . Takové vzory se často vyskytují v architektuře a dekorativním umění . Existuje 17 možných různých skupin .

Skupiny ozdob jsou dvourozměrné skupiny symetrie , přechodné ve složitosti mezi okrajovými skupinami a trojrozměrnými krystalografickými skupinami (také nazývanými prostorovými skupinami ).

Úvod

Skupiny vzorů kategorizují vzory podle jejich symetrie. Drobné rozdíly v podobných vzorech mohou mít za následek přiřazení vzorů do různých skupin, zatímco vzory, které se podstatně liší stylem, barvou, měřítkem nebo orientací, mohou patřit do stejné skupiny.

Zvažte následující příklady:

Příklady A a B mají stejnou skupinu vzorů, která se nazývá p 4 m v notaci IUC a *442 v hodnotách [ orbi . Příklad C má další skupinu vzorů nazvanou p4g nebo 4 *2 . Skutečnost, že A a B mají stejnou skupinu, znamená, že tyto ozdoby mají stejnou symetrii bez ohledu na detaily vzorů, zatímco C má jinou sadu symetrií navzdory vnější podobnosti.

Kompletní seznam všech sedmnácti možných skupin ozdob naleznete níže.

Symetrie vzoru

Symetrie vzoru je, zhruba řečeno, způsob transformace vzoru tak, aby po transformaci vypadal úplně stejně jako před transformací. Například symetrie paralelního posuvu je přítomna, pokud je vzor s určitým posunem ( paralelní překlad ) zarovnán sám se sebou. Představte si posunutí svislých (stejně širokých) pruhů vodorovně o jeden pruh, vzor zůstane stejný. Přísně vzato, skutečná symetrie existuje pouze pro vzory, které se přesně a donekonečna opakují. Sada řekněme pouze pěti pruhů nemá paralelní přenosovou symetrii – při posunutí pruh na jedné straně „zmizí“ a na druhé straně se „přidá“ nový pruh.

Někdy jsou možné dva způsoby kategorizace vzoru, jeden založený čistě na tvaru a druhý pomocí barvení. Pokud jsou barvy ignorovány, vzor může mít větší symetrii. Mezi černobílými mozaikami je i 17 skupin ornamentů. Například barevná dlaždice je ekvivalentní černobílé dlaždici s barevně označeným, radiálně symetrickým „čárovým kódem“ ve středu hmoty každé dlaždice.

Zde uvažované typy transformací se nazývají pohyby . Například:

Příklad C je však jiný . Má odrazy pouze o vodorovném a svislém směru, ale ne o diagonálních osách. Pokud vzor otočíme kolem diagonální osy, nezískáme stejný vzor. Dostaneme původní vzor posunutý o určitou vzdálenost. To je jeden z důvodů, proč se skupina vzorů A a B liší od skupiny vzorů vzoru C.

Další transformací je pohledová symetrie , kombinace odrazu a translace podél osy odrazu.

Historie

Důkaz , že existuje pouze 17 možných vzorů, poprvé provedl Evgraf Stepanovich Fedorov v roce 1891 [1] a poté nezávisle Gyorgy Poya v roce 1924 [2] . Důkaz, že seznam okrasných skupin je kompletní, přišel až poté, co bylo provedeno toto pro mnohem složitější případ krystalografických skupin.

Definice

Skupina ornamentu nebo plochá krystalografická grupa je izometrické zcela nespojité kokompaktní působení grupy na euklidovské rovině (kokompaktnost je ekvivalentní skutečnosti, že děj obsahuje dva lineárně nezávislé paralelní překlady ).

Dvě takové skupiny izometrií mají stejný typ (stejnou skupinu ornamentů), pokud jsou vzájemně transformovány afinní transformací roviny.

Takže např. posun celého vzoru (a tedy přenos os odrazu a středů otáčení) neovlivňuje skupinu ornamentů. Totéž platí pro změnu úhlu mezi vektory paralelní translace za předpokladu, že to nevede k přidání nebo zániku jakékoli symetrie (toto je možné pouze v případě, že neexistuje žádná zrcadlová symetrie a posuvné symetrie a rotační symetrie má objednávka maximálně 2).

Poznámky

Definice diskuse

Izometrie euklidovské roviny

Izometrie euklidovské roviny spadají do čtyř kategorií (více informací viz článek Izometrie euklidovské roviny ).

Podmínka nezávislosti paralelních překladů

Podmínka lineární nezávislosti paralelních translací znamená, že existují lineárně nezávislé vektory v a w (v R 2 ) takové, že skupina obsahuje Tv i Tw .

Účelem této podmínky je oddělit skupiny ozdob od skupin vlysů , které mají paralelní posun, ale ne dva lineárně nezávislé, a od dvourozměrných skupin diskrétních bodů , které nemají vůbec žádné paralelní posuny. Jinými slovy, okrasné skupiny představují vzor, ​​který se opakuje ve dvou různých směrech, na rozdíl od okrajových skupin, které se opakují pouze podél jedné osy.

(Můžeme tuto situaci zobecnit. Mohli bychom například studovat diskrétní izometrické grupy R n s m lineárně nezávislými paralelními translacemi, kde m je libovolné celé číslo v intervalu 0 ≤  m  ≤  n .)

Podmínka úplné diskontinuity

Podmínka být zcela nespojitý (někdy nazývaný diskrétní) znamená, že existuje nějaké kladné reálné číslo ε takové, že pro jakýkoli paralelní překlad T v ve skupině má vektor v délku alespoň ε (samozřejmě kromě případu nulový vektor v ).

Účelem této podmínky je zajistit, aby skupina měla kompaktní základní plochu nebo jinými slovy "buňku" nenulové konečné plochy, která se opakuje v rovině (jako vzor). Bez této podmínky můžeme dostat např. grupu obsahující paralelní překlad T x pro libovolné racionální číslo x , které neodpovídá žádnému přijatelnému ornamentálnímu vzoru.

Důležitým a netriviálním důsledkem podmínky diskrétnosti v kombinaci s podmínkou nezávislosti paralelních posunů je, že skupina může obsahovat pouze rotace řádu 2, 3, 4 nebo 6. To znamená, že jakákoli rotace ve skupině musí být otočení o 180°, 120°, 90° nebo 60°. Tato skutečnost je známá jako krystalografický teorém o omezení a tento teorém lze zobecnit na případy vyšších rozměrů.

Notace

Krystalografická notace

V krystalografii existuje 230 různých krystalografických skupin , mnohem více než 17 okrasných skupin, ale mnohé ze symetrií ve skupinách jsou stejné. Je tedy možné použít podobnou notaci pro oba druhy skupin, notaci Carla Hermanna a Charles-Victor Maugin . Příklad celého názvu ozdoby ve stylu Hermann-Mogen (označení se také nazývají "Denotace Mezinárodní unie krystalografů", IUC ) - p 31 m se čtyřmi písmeny a číslicemi. Obvykle se používá zkrácený název, například cmm nebo pg .

U skupin ozdob začíná plné označení p (z primitivní buňky - elementární buňka ) nebo c (z buňky centrované na obličej - buňka centrovaná na obličej). Budou vysvětleny níže. Za písmenem následuje číslo n , označující nejvyšší řád rotační symetrie - 1násobek (žádný), 2násobný, 3násobný, 4násobný nebo 6násobný. Následující dva znaky označují symetrie vzhledem k jedné z paralelních translačních os, která je považována za "hlavní". Pokud existuje zrcadlová symetrie kolmá k ose paralelního posuvu, zvolte tuto osu jako hlavní (pokud jsou dvě, vyberte kteroukoli z nich). Znaky jsou m , g nebo 1 pro zrcadlovou symetrii, klouzavou symetrii nebo žádnou symetrii. Osa zrcadlové symetrie nebo posuvné symetrie je pro první písmeno kolmá k hlavní ose a pro druhé písmeno je buď rovnoběžná, nebo nakloněná o 180°/ n (pokud n  > 2). Mnoho skupin zahrnuje jiné symetrie. Krátký zápis zahazuje číslice nebo m , pokud je logicky definován, pokud nezpůsobuje záměnu s jinými skupinami.

Primitivní buňka je minimální plocha opakovaná paralelním posunem podél mřížky. Všechny skupiny okrasné symetrie kromě dvou jsou popsány primitivními buněčnými osami, souřadnicovým základem využívajícím paralelní translační vektory mřížky. Ve zbývajících dvou případech je symetrie popsána centrovanými buňkami, které jsou větší než primitivní buňky, a proto mají vnitřní opakování. Směry jejich stran jsou odlišné od směrů vektorů paralelní translace. Hermann-Mogenův zápis pro krystaly krystalografických skupin používá další typy buněk.

Příklady

Jména, jejichž krátká a úplná forma se liší.

Krystalografická krátká a celá jména
Krátký p2 _ odpoledne str cm pmm pmg pgg cmm p 4 m p 4 g p 6 m
Kompletní str . 211 p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg c 2 mm p 4 mm p4gm _ _ p 6 mm

Zbývající jména jsou p 1 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 a p 6 .

Orbio notace

Označení orbi pro okrasné skupiny, které zpopularizoval John Conway , není založeno na krystalografii, ale na topologii. Kvocient orbifold roviny uvažujeme působením skupiny ornamentů a popisujeme jej pomocí několika symbolů.

Uvažujme skupinu s krystalografickým zápisem cmm . V Conwayově zápisu by to bylo 2*22 . Dvojka před * říká, že máme střed 2x rotace, přes který neprocházejí žádná zrcadla. * Sám * říká, že máme zrcadlo. První 2 za * značí, že na zrcadle máme 2x střed otáčení. Poslední 2 říká, že máme na zrcadle nezávislý druhý střed 2-násobné rotace, který neduplikuje první střed v symetriích.

Skupina označená pgg bude mít Conwayův 22× zápis . Máme dva jednoduché středy 2-násobné rotace a osu posuvné symetrie. V kontrastu s touto skupinou je skupina pmg s Conwayovým symbolem 22* , kde krystalografická notace zmiňuje pohledovou symetrii, ale takovou, která je implikována jinými symetriemi orbifoldu.

Zahrnuje také zápis závorky Coxeter . Je založen na skupině Coxeter a je modifikován plusem (v horním indexu) pro rotace, nesprávné rotace a paralelní posuvy.

Korespondence Conwayovy, Coxeterovy notace a krystalografické notace
Conway Ó ×× *× ** 632 *632
coxeter [∞ + ,2,∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
Krystalografický p1 _ str cm odpoledne p6 _ p 6 m
Conway 333 *333 3 * 3 442 *442 4 * 2
coxeter [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
Krystalografický p 3 p 3 m 1 p 31 m p 4]] p 4 m p 4 g
Conway 2222 22 × 22 * *2222 2 * 22
coxeter [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
Krystalografický p2 _ pgg pmg pmm cmm

Proč existuje právě sedmnáct skupin

Orbifold lze chápat jako mnohoúhelník s tváří, hranami a vrcholy, které lze rozšířit tak, aby vytvořily možná nekonečnou sadu mnohoúhelníků, které tvoří dlaždici celé koule , roviny nebo hyperbolické roviny . Jestliže mnohoúhelník dlaždice rovinu, to dává skupinu ozdob, a jestliže koule nebo hyperbolická rovina, pak skupina sférické symetrie nebo skupina hyperbolické symetrie . Typ prostoru polygonu lze zjistit výpočtem Eulerovy charakteristiky χ =  V  −  E  +  F  , kde V je počet rohů (vrcholů), E je počet hran a F je počet ploch. Pokud je Eulerova charakteristika kladná, pak má orbifold eliptickou (kulovitou) strukturu. Pokud je Eulerova charakteristika rovna nule, má parabolickou strukturu, to znamená, že jde o skupinu ornamentů. Pokud je Eulerova charakteristika záporná, pak má orbifold hyperbolickou strukturu. Když byly uvedeny všechny možné orbifoldy, bylo zjištěno, že pouze 17 mělo Eulerovu charakteristiku 0.

Když je orbifold zkopírován, aby vyplnil rovinu, jeho prvky vytvoří strukturu vrcholů, hran a ploch, které musí splňovat Eulerovu charakteristiku. Obrácením procesu můžeme prvkům orbifoldu přiřadit čísla, ale spíše zlomková než celá. Protože orbifold sám je grupou kvocientu úplného povrchu s ohledem na grupu symetrie, Eulerova charakteristika orbifoldu je kvocientem dělení Eulerovy charakteristiky povrchu řádem grupy symetrie.

Eulerova charakteristika orbifoldu je 2 mínus součet hodnot prvků přiřazených takto:

Pro skupinu ozdob musí být součet Eulerovy charakteristiky nula, takže součet hodnot prvků musí být 2.

Příklady

Nyní je výčet všech skupin ozdob redukován na aritmetiku, seznam sad prvků, které se sčítají do 2.

Množiny prvků s jiným součtem nejsou nesmyslné. Obsahují neplanární teselace, které zde nebudeme diskutovat. (Pokud je Eulerova charakteristika orbifoldu záporná, dlaždice je hyperbolická ; je-li kladná, je dlaždice buď kulovitá nebo špatná ).

Průvodce rozpoznáváním skupin ozdob

Abyste pochopili, která skupina ornamentů odpovídá konkrétní mozaice, můžete použít následující tabulku [3] .

Minimální velikost
zatáčky		 Má odrazy?
Ano Ne
360° / 6 p6m ( *632 ) p6 (632)
360° / 4 Má zrcátka v úhlu 45°? p 4 (442)
Ano: p 4 m (*442) Ne: p 4 g (4*2)
360° / 3 Má střed otáčení mimo zrcátka? p 3 (333)
Ano: p 31 m (3*3) Ne: p 3 m 1 (*333)
360° / 2 Má kolmé odrazy? Má posuvnou symetrii?
Ano Ne
Má střed otáčení mimo zrcátka? pmg (22*) Ano: pgg (22×) Ne: p 2 (2222)
Ano: cmm (2*22) Ne: pmm (*2222)
Žádné zatáčky Má posuvné osy mimo zrcátka? Má posuvnou symetrii?
Ano: cm (*×) Ne: odpoledne (**) Ano: pg (××) Ne: p 1 (o)

Viz také Tento přehled s diagramy .

Sedmnáct plochých krystalografických skupin

Každá ze skupin v této části má dva diagramy buněčné struktury, z nichž každý je interpretován následovně (zde je důležitý tvar, ne barva):

střed otáčení řádu dva (180°).
střed otáčení řádu tři (120°).
střed otáčení řádu čtyři (90°).
střed otáčení řádu šest (60°).
osa odrazu.
osa posuvné symetrie.

Na pravé straně diagramu jsou různé třídy ekvivalence prvků symetrie obarveny (a otočeny) odlišně.

Hnědé nebo žluté oblasti označují základní oblast , tj. nejmenší opakující se část vzoru.

Diagramy vpravo ukazují buňku mřížky odpovídající nejmenšímu paralelnímu posunu. Vlevo někdy ukazuje velkou plochu.

Skupina p 1 (o)

Buněčné struktury pro p 1 podle typu mřížky

šikmý
Šestihranný

Obdélníkový
kosočtverečné
Náměstí
Skupina p 1 příklady

Dva paralelní přenosy (strany buněk) mohou mít různé délky a mohou svírat libovolný úhel.

Skupina p 2 (2222)

Buněčné struktury pro p 2 podle typů mřížek

šikmý
Šestihranný

Obdélníkový
kosočtverečné
Náměstí
Skupina p 2 příklady

Skupina pm (**)

Struktura buňky pro pm

Horizontální odraz
Vertikální odraz
pm skupinové příklady

(První tři mají vertikální osy symetrie a poslední dvě mají diagonální osy.)

Skupina str (××)

Buněčné struktury pro str

Horizontální posuny
Vertikální posuny
Obdélníkový
pg příklady skupiny

Bez ohledu na detaily uvnitř cikcaku je rohož pmg . Pokud vezmeme v úvahu detaily uvnitř klikatě, ale nerozlišujeme hnědé a černé pruhy, dostaneme pgg .

Pokud jsou zvlněné okraje dlaždic ignorovány, je dlažba pgg .

Skupina cm (*×)

Struktura buňky pro cm

Horizontální odraz
Vertikální odraz
kosočtverečné
příklady skupin cm

Skupina pmm (*2222)

Struktura buněk pro pmm

obdélníkový
náměstí
příklady skupiny pmm

pmg group (22*)

Buněčné struktury pro pmg

Horizontální odrazy
Vertikální odrazy
příklady skupiny pmg

Skupina pgg (22×)

Struktura buněk pro pgg podle typu mřížky

Obdélníkový
Náměstí
příklady skupiny pgg

Skupina cmm (2*22)

Buněčné struktury pro cmm podle typu mřížky

kosočtverečné
Náměstí

Rotační symetrie řádu 2 se středy rotace ve středech stran kosočtverce jsou důsledkem jiných vlastností.

Shody vzoru:

příklady skupin cmm

Skupina p 4 (442)

Skupina p 4 příklady

Vzor p 4 lze vidět jako opakování v řadách a sloupcích čtvercové dlaždice se 4násobnou rotační symetrií. Lze na ni také pohlížet jako na šachovnici se dvěma takovými destičkami menšími o faktor 4 a otočenými o 45°.

Skupina p 4 m (*442)

To odpovídá pravoúhlé síti řádků a sloupců identických čtverců se čtyřmi osami symetrie. Tomu také odpovídá šachovnicový vzor dvou takových čtverců.

Skupinové příklady p 4m

Příklady jsou zobrazeny s nejmenším horizontálním a vertikálním paralelním posunem (jako na obrázku):

Příklady s nejmenším paralelním diagonálním posunem:

Skupina p 4 g (4*2)

Vzor p 4 g lze vidět jako šachovnicové uspořádání kopií čtvercových dlaždic se 4násobnou rotační symetrií a jejich zrcadlové obrazy. Alternativně lze vzor zobrazit (při posunutí o polovinu dlaždice) jako šachovnicové uspořádání kopií vodorovně nebo svisle symetrických dlaždic a jejich verzí otočených o 90°. Všimněte si, že oba způsoby pohledu na to nejsou použitelné pro jednoduchý šachovnicový vzor černobílých dlaždic, v tomto případě se jedná o skupinu p 4 m (s diagonálním paralelním posunem buněk).

Skupinové příklady p 4 g

Skupina p 3 (333)

Představte si obklad roviny rovnostrannými trojúhelníky stejné velikosti se stranou odpovídající nejmenšímu rovnoběžnému posunu. Pak má polovina trojúhelníků stejnou orientaci a druhá polovina je symetrická. Skupina vzorů odpovídá případu, kdy jsou všechny trojúhelníky stejné orientace stejné, přičemž oba typy mají rotační symetrii řádu tři, ale nejsou stejné, nejsou navzájem zrcadlovými obrazy a oba nejsou symetrické (pokud oba typy se rovnají, máme p 6 , jsou-li si navzájem zrcadlové, máme p 31 m , jsou-li oba typy symetrické, máme p 3 m 1 , platí-li dvě z těchto tří vlastností, platí i třetí , a dostaneme p 6 m ). Pro daný vzor jsou možné tři tyto obklady, každý se středy rotace ve vrcholech, to znamená, že u libovolného obkladu jsou možné dva posuny. Z hlediska kreslení: vrcholy mohou být červené, modré nebo zelené trojúhelníky.

Ekvivalentně si představte obklad roviny pravidelnými šestiúhelníky se stranou rovnou nejmenšímu rovnoběžnému posunutí děleno √3. Pak tato skupina tapet odpovídá případu, kdy jsou všechny šestiúhelníky stejné (a mají stejnou orientaci) a mají rotační symetrii řádu tři, ale nedochází k zrcadlovému odrazu (pokud mají rotační symetrii řádu šest, dostaneme p 6 je-li symetrie vzhledem k hlavní úhlopříčce, máme p 31 m , existuje-li symetrie vzhledem k přímkám kolmým ke stranám, máme p 3 m 1 , platí-li dvě z těchto tří vlastností, pak třetí také platí a máme p 6 m ). Pro daný obrázek existují tři obklady, každý získaný umístěním středů šestiúhelníků do středů rotace vzoru. Z hlediska kresby mohou být středy šestiúhelníku červený, modrý a zelený trojúhelník.

Skupina p 3 příklady

Skupina p 3 m 1 (*333)

Stejně jako grupu p 3 si představte rovinu se stejně velkými rovnostrannými trojúhelníky, jejichž strana se rovná nejmenšímu rovnoběžnému posunu. Pak má polovina trojúhelníků jednu orientaci a druhá polovina opačnou orientaci. Tato skupina tapet odpovídá případu, kdy jsou všechny trojúhelníky stejné orientace stejné. Oba typy mají rotační symetrii řádu tři, oba typy jsou symetrické, ale nejsou si rovny a nejsou navzájem zrcadlovými obrazy. Pro daný obraz jsou možné tři teselace, z nichž každá má vrcholy ve středech rotace. Z hlediska kreslení mohou být vrcholy červené, tmavě modré nebo zelené trojúhelníky.

Skupinové příklady p 3 m 1

Skupina p 31 m (3*3)

Pokud jde o p 3 a p 3 m 1 , představte si obklad roviny rovnostrannými trojúhelníky stejné velikosti se stranou rovnou nejmenšímu rovnoběžnému posunu. Pak má polovina trojúhelníků jednu orientaci a druhá polovina opačnou orientaci. Skupina tapet odpovídá případu, kdy jsou všechny trojúhelníky stejné orientace stejné, přičemž oba typy mají rotační symetrii řádu tři a každý je zrcadlovým obrazem druhého, ale trojúhelníky nejsou ani symetrické, ani samy sobě rovné. Pro daný obrázek je možný pouze jeden obklad. Z hlediska kreslení nemohou být tmavě modré trojúhelníky vrcholy.

Skupinové příklady p 31 m

Skupina p 6 (632)

Vzor s touto symetrií lze považovat za obklad roviny stejnými trojúhelníkovými dlaždicemi se symetrií C3 nebo ekvivalentně za obklad roviny stejnými šestihrannými dlaždicemi se symetrií C6 (přičemž okraje dlaždic nemusí být nutně součástí vzor).

Skupina p 6 příklady

Skupina p 6 m (*632)

Vzor s touto symetrií si lze představit jako obklad v rovině se stejnými trojúhelníkovými dlaždicemi se symetrií D 3 nebo ekvivalentně jako obklad roviny se stejnými šestihrannými dlaždicemi se symetrií D 6 (okraje dlaždic nemusí být nutně součástí ze vzoru). Nejjednoduššími příklady jsou šestiúhelníková mřížka se spojovacími čarami nebo bez nich a šestiúhelníkový obklad s jednou barvou pro obrysy šestiúhelníků a jinou pro pozadí.

Skupinové příklady p 6m

Typy mříží

Existuje pět typů mřížek ( Brave lattices ), odpovídajících pěti skupinám ozdob samotných mříží. Skupina vzorových ozdob s touto mřížkou paralelní translační symetrie nemůže mít větší, ale může mít menší symetrie než mřížka samotná.

Skupiny symetrie

Vlastní skupina symetrie musí být odlišena od skupiny ornamentů. Skupiny ozdob jsou souborem skupin symetrie. Existuje 17 takových množin, ale pro každou množinu existuje nekonečně mnoho grup symetrie ve smyslu skutečných izometrických grup. Jsou závislé, odděleně od skupiny ornamentů, počtem parametrů vektorů paralelního přenosu, orientací a polohou os zrcadlové symetrie a středů rotace.

Počet stupňů volnosti je:

V rámci každé skupiny ozdob jsou však všechny skupiny symetrie algebraicky izomorfní.

Některé izomorfismy grup symetrie:

Závislost skupin ornamentů při transformacích

Všimněte si, že pokud transformace snižuje symetrii, transformace stejného druhu (inverzní) zjevně zvyšuje symetrii pro stejný vzor. Tato vlastnost vzoru (například roztažení v jednom směru dává vzor se čtyřnásobnou symetrií) se nepovažuje za typ dodatečné symetrie.

Záměna barev neovlivní skupinu ozdob, pokud jakékoli dvě tečky, které mají stejnou barvu před změnou, budou mít stejnou barvu i po záměně, a pokud jakékoli dvě tečky, které mají před záměnou různé barvy, budou mít po záměně různé barvy.

Pokud první drží a druhé ne, jako v případě černobílého odlitku, symetrie zůstanou zachovány, ale mohou být zvětšeny, takže se skupina tapet může změnit.

Webové stránky a software

Některé softwarové produkty umožňují vytvářet dvourozměrné vzory pomocí skupin symetrie ornamentů. Obvykle můžete upravit původní dlaždici a všechny kopie dlaždice ve vzoru se automaticky aktualizují.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Fedorov, 1891 , str. 245-291.
  2. ↑ Polsko, 1924 , str. 278–282.
  3. ↑ Radaelli, 2011 .
  4. ↑ To pomáhá zacházet se čtverci jako s pozadím, pak vidíme jednoduché vzory řad diamantů.

Literatura

Odkazy

 geometrické mozaiky
Pravidelné
Aperiodický
jiný
Podle konfigurace vrcholu
Sférický
Opravit
polosprávné
_
hyperbolický
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 38 _
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3,8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 45 _
  • 4 6
  • 4 7
  • 48 _
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4,8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6,8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7,14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8,16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞, 6 2
  • ∞, 8 2