Mnohostěn , mnohoúhelník nebo dlaždice je izotoxální nebo přechodně k hraně, pokud jeho symetrie působí na jeho okraje přechodně . Neformálně to znamená, že pro objekt existuje pouze jeden druh hran – vzhledem ke dvěma hranám dochází k posunu, rotaci a/nebo zrcadlení, které převádí jednu hranu do druhé, aniž by se změnila plocha, kterou objekt zabírá.
Termín isotoxal pochází z řeckého τοξον , což znamená oblouk .
Izotoxální mnohoúhelník je vždy rovnostranný , ale ne všechny rovnostranné mnohoúhelníky jsou izotoxální. Duály izotoxálních polygonů jsou izogonální polygony .
Obecně platí, že izotoxální 2n - gon bude mít Dn (*nn) dihedrální symetrii . Kosočtverec je hraně tranzitivní polygon se symetrií D 2 (*22).
Všechny pravidelné mnohoúhelníky ( pravidelný trojúhelník , čtverec atd.) jsou izotoxální a mají dvojnásobek minimálního řádu symetrie – pravidelný n - úhelník má D n (*nn) dihedrální symetrii. Pravidelný 2n -úhelník je vertex-tranzitivní polygon a jeho vrcholy mohou být označeny střídavě dvěma barvami, což odstraňuje osovou symetrii středem hran.
| D2 ( * 22) | D3 ( *33) | D4 ( *44) | D5 ( *55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kosočtverec | Rovnostranný trojúhelník | konkávní šestiúhelník | Samoprotínající se šestiúhelník | Konvexní osmiúhelník | pravidelný pětiúhelník | Samoprotínající se (pravidelný) pentagram | Sebeprotínající dekagram | |
Pravidelné mnohostěny jsou isohedrické (přechodné tváře), isogonální (přechodné vertexy) a isotoxální (přechodné hrany). Kvazi -pravidelné polytopy jsou izogonální a izotoxální, ale ne izoedrické. Jejich duální polyedry jsou isohedrické a isotoxální, ale ne isogonální.
| Kvazipravidelný mnohostěn |
Kvazipravidelný dvojitý mnohostěn |
Kvazi -pravidelný hvězdicový mnohostěn |
Kvazipravidelný dvouhvězdný mnohostěn |
Kvazi-pravidelný obklad |
Kvazipravidelný dvojitý obklad |
|---|---|---|---|---|---|
Kuboktaedr je izogonální a izotoxální mnohostěn |
Kosočtverečný dvanáctistěn je izoedrický a izotoxální mnohostěn |
Velký ikosidodekaedr je izogonální a izotoxální hvězdicový mnohostěn. |
Velký kosočtverec třicetistranný |
Trihexagonální obklad je izogonální a izotoxální obklad |
Kosočtvercový obklad je izoedrický a izotoxální obklad se symetrií p6m (*632). |
Ne každý mnohostěn nebo dvourozměrný obklad , který se skládá z pravidelných mnohoúhelníků , je izotoxální. Například zkrácený dvacetistěn (známý z fotbalového míče) má dva typy hran - šestiúhelník-šestiúhelník a šestiúhelník-pětiúhelník a neexistuje způsob, jak převést hranu šestiúhelník-šestiúhelník na šestiúhelník-pentagon symetrií. .
Izotoxální mnohoúhelník má stejné dihedrální úhly pro všechny hrany.
Existuje devět konvexních hraně přechodných mnohostěnů vytvořených z pravidelných mnohostěnů , 8 vytvořených z mnohostěnů Kepler-Poinsot a šest dalších jsou kvazipravidelné hvězdné mnohostěny (3 | pq) a jejich duály.
V euklidovské rovině je 5 polygonálních okrajově přechodných obkladů a nekonečně mnoho v hyperbolické rovině, včetně Wythoffových konstrukcí pravidelných hyperbolických obkladů {p, q} a nepravidelných (pqr) grup.