V euklidovské geometrii je narovnání nebo úplné zkrácení proces zkrácení mnohostěnu označením středu všech jeho hran a odříznutím všech vrcholů až k těmto bodům [1] . Výsledný mnohostěn bude ohraničen fasetami (fasetami dimenze n-1, v trojrozměrném prostoru se jedná o polygony) vrcholových tvarů a zkrácenými fasetami původního mnohostěnu. Operace rovnání je označena jednopísmenným symbolem r . Takže například r {4,3} je rektifikovaná krychle, tzn. kuboktaedru.
Conway používá pro tuto operaci notaci ambo . V teorii grafů tato operace vytváří střední graf .
Úplné zkrácení je poslední fází procesu zkrácení. Obrázek ukazuje čtyři fáze kontinuálního procesu zkracování z běžné krychle do plně zkráceného stavu:
Vyšší stupně celkového zkrácení lze implementovat na pravidelné mnohostěny vyšších rozměrů. Nejvyšší stupeň úplného zkrácení vytváří duální mnohostěn . Narovnáním se zkrátí hrany na body. Dvojité narovnání zkrátí (2D) plochy na body. Ve vyšších dimenzích trojitá rektifikace zkrátí buňky (3D plochy) na body a tak dále.
Sekvence na obrázku ukazuje dvojité zkrácení krychle jako poslední fázi procesu od krychle k duálnímu osmistěnu, ve kterém je původní plocha zkrácena do bodu:
Dvojitý mnohoúhelník je stejný jako jeho plně zkrácená forma. Nové vrcholy jsou umístěny ve středních bodech stran původního mnohoúhelníku.
Jakýkoli pravidelný polytop a jeho duál mají stejný zcela zkrácený polytop. (To neplatí pro polytopy v prostorech dimenze 4 nebo více.)
Plně zkrácený polytop lze získat jako průsečík původního pravidelného polytopu s vhodně zmenšenou soustřednou verzí duálu. Z tohoto důvodu jsou jejich názvy konstruovány jako kombinace názvu původního mnohostěnu a jeho duálu:
Příklady
Rodina | Rodič | úplné zkrácení | Dvojí |
---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() [p,q] |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[3,3] | Čtyřstěn |
Osmistěn |
Čtyřstěn |
[4,3] | Krychle |
Kuboktaedr |
Osmistěn |
[5,3] | dvanáctistěn |
ikosidodekaedru |
dvacetistěn |
[6,3] | Šestihranná mozaika |
Trojúhelníková mozaika |
trojúhelníková mozaika |
[7,3] | Sedmiboká dlažba třetího řádu |
Trojúhelníková mozaika |
Trojúhelníkový obklad sedmého řádu |
[4,4] | čtvercová mozaika |
čtvercová mozaika |
čtvercová mozaika |
[5,4] | Pětiúhelníkové obklady čtvrtého řádu |
Čtvercová pětiúhelníková mozaika |
Čtvercové dlaždice pátého řádu |
Pokud mnohostěn není pravidelný, středy hran obklopujících vrchol nemusí ležet ve stejné rovině. Určitá forma úplného zkrácení však zůstává možná i v tomto případě - každý polytop má polyhedrální graf , jako 1-skelet (polytope), a z tohoto grafu lze vytvořit střední graf umístěním vrcholů doprostřed hran původního grafu a spojující dva nové vrcholy, pokud patří k postupným hranám podél společné plochy. Výsledný střední graf zůstává polyedrický, takže podle Steinitzovy věty jej lze reprezentovat jako mnohostěn.
Ekvivalentem Conwayovy notace pro úplné zkrácení je ambo , značené . Při aplikaci dvakrát aa , (rektifikaci po rektifikaci) je Conwayova expanzní operace e , což je stejná operace jako Johnsonova operace zkosení t 0,2 pro běžné polytopy a obklady.
Jakýkoli konvexní pravidelný 4-polytop má formu plného zkrácení, jako jednotný 4-polytop .
Pravidelný 4-rozměrný polytop {p,q,r} má buňky {p,q}. Úplným zkrácením vzniknou dva typy buněk – zcela zkrácené {p,q} mnohostěny zbylé z původních buněk a {q,r} mnohostěny jako nové buňky vytvořené v místech zkrácených vrcholů.
Zkrácení {p,q,r} však není stejné jako zkrácení {r,q,p}. Další zkrácení, nazývané double total truncation , je symetrické vzhledem k 4-polytopu a jeho duálu. Viz Uniform 4-polytope .
Příklady
Rodina | Rodič | úplné zkrácení | Dvojité úplné zkrácení (Dvojité zkrácení) |
Trojité úplné zkrácení (duální) |
---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() [p,q,r] |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[3,3,3] | Pětibuňkový |
Plně zkrácený pětičlánkový |
Plně zkrácený pětičlánkový |
Pětibuňkový |
[4,3,3] | tesseract |
Plně zkrácený tesseract |
Plně zkrácený šestnáctibuňkový ( 24buňkový ) |
Hexadecimální buňka |
[3,4,3] | dvacet čtyři buňky |
Plně zkrácený 24článkový |
Plně zkrácený 24článkový |
dvacet čtyři buňky |
[5,3,3] | 120 buněk |
Plně zkrácený 120-článkový |
Plně zkrácený 600-buňkový |
Šest set buněk |
[4,3,4] | krychlový plást |
Plně zkrácený krychlový plást |
Plně zkrácený krychlový plást |
krychlový plást |
[5,3,4] | Dodekaedrické plástve 4. řádu |
Plně zkrácená dvanáctistěnná voština 4. řádu |
Plně zkrácený krychlový plást 5. řádu |
Krychlové plástve 5. řádu |
První úplné zkrácení ořízne hrany na body. Pokud je mnohostěn pravidelný , je tento tvar reprezentován rozšířeným Schläfliho symbolem t 1 {p,q,...} nebo r {p,q,...}.
Druhé úplné zkrácení nebo dvojité narovnání zkrátí plochy na body. Pokud je mnohostěn pravidelný, dvojité zkrácení se značí t 2 {p,q,...} nebo 2 r {p,q,...}. U trojrozměrných polytopů poskytuje dvojité úplné zkrácení duální polytop .
Vyšší stupně úplného zkrácení lze konstruovat pro mnohostěny v prostorech dimenze 4 a vyšších. Obecně platí, že úroveň úplného zkrácení n ořezává n-rozměrné plochy na body.
Je-li mnohostěn v n-rozměrném prostoru zcela oříznut na stupeň (n-1), jeho fasety (fasety dimenze n-1) jsou zkráceny do bodu a stane se duální vůči původnímu.
Pro každý stupeň úplného zkrácení existují tři různé ekvivalentní zápisy. Níže uvedené tabulky ukazují názvy podle rozměrů a dvou typů faset pro každou z nich.
Pravidelné mnohoúhelníkyFazety jsou hrany reprezentované jako {2}.
jméno {p} |
Coxeterův graf | t-record symbol Schläfli |
Vertikální symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
název | Fazeta-1 | Fazeta-2 | |||
Rodič | ![]() ![]() ![]() |
t 0 {p} | {p} | {2} | |
Plně zkrácený | ![]() ![]() ![]() |
t 1 {p} | {p} | {2} |
Fazety jsou pravidelné mnohoúhelníky.
Název {p,q} |
Coxeterův graf | t-record symbol Schläfli |
Vertikální symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
název | Fazeta-1 | Fazeta-2 | |||
Rodič | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 0 {p,q} | {p,q} | {p} | |
Plně zkrácený | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 1 {p,q} | = r{p,q} | {p} | {q} |
dvakrát zkrácený | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 2 {p,q} | {q,p} | {q} |
Fazety jsou pravidelné nebo zcela zkrácené mnohostěny.
jméno {p,q,r} |
Coxeterův graf | t-record symbol Schläfli |
Rozšířený symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
název | Fazeta-1 | Fazeta -2 | |||
Rodič | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 0 {p, q, r} | {p,q,r} | {p,q} | |
Opraveno | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 1 {p, q, r} | = r{p,q,r} | = r{p,q} | {q,r} |
Dvojité plně zkrácené (zcela zkrácené duální) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 2 {p, q, r} | = r{r,q,p} | {q,r} | = r{q,r} |
Trix zcela zkrácen (Dual) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 3 {p,q,r} | {r,q,p} | {r,q} |
Fazety jsou pravidelné nebo zcela zkrácené čtyřrozměrné mnohostěny.
Název {p,q,r,s} |
Coxeterův graf | t-záznam symbolu Schläfli |
Rozšířený symbol Schläfli | ||
---|---|---|---|---|---|
název | Fazeta-1 | Fazeta -2 | |||
Rodič | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 0 {p,q,r,s} | {p,q,r,s} | {p,q,r} | |
Plně zkrácený | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 1 {p,q,r,s} | = r{p,q,r,s} | = r{p,q,r} | {q,r,s} |
Dvojité plně zkrácené (dvakrát plně zkrácené duální) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 2 {p,q,r,s} | = 2r{p,q,r,s} | = r{r,q,p} | = r{q,r,s} |
Trojnásobně zkrácený (zcela zkrácený duální) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 3 {p,q,r,s} | = r{s,r,q,p} | {r,q,p} | = r{s,r,q} |
Čtyřnásobně plně zkrácený (duální) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
t 4 {p,q,r,s} | {s,r,q,p} | {s,r,q} |
Nadace | zkrácení | úplné zkrácení | Hluboké zkrácení | Dualita _ |
protahování | Zkrácení | Alternace | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
t 0 {p, q} {p, q} |
t 01 {p,q} t{p, q} |
t 1 {p, q} r{p, q} |
t 12 {p,q} 2t{p, q} |
t 2 {p, q} 2r{p, q} |
t 02 {p,q} rr{p, q} |
t 012 {p,q} tr{p, q} |
ht 0 {p,q} h{q, p} |
ht 12 {p,q} s{q, p} |
ht 012 {p,q} sr{p, q} |