Úplné zkrácení (geometrie)

V euklidovské geometrii je narovnání nebo úplné zkrácení proces zkrácení mnohostěnu označením středu všech jeho hran a odříznutím všech vrcholů až k těmto bodům [1] . Výsledný mnohostěn bude ohraničen fasetami (fasetami dimenze n-1, v trojrozměrném prostoru se jedná o polygony) vrcholových tvarů a zkrácenými fasetami původního mnohostěnu. Operace rovnání je označena jednopísmenným symbolem r . Takže například r {4,3} je rektifikovaná krychle, tzn. kuboktaedru.

Conway používá pro tuto operaci notaci ambo . V teorii grafů tato operace vytváří střední graf .

Příklad rovnání jako poslední fáze ořezávání hran

Úplné zkrácení je poslední fází procesu zkrácení. Obrázek ukazuje čtyři fáze kontinuálního procesu zkracování z běžné krychle do plně zkráceného stavu:

Vyšší stupně úplného zkrácení

Vyšší stupně celkového zkrácení lze implementovat na pravidelné mnohostěny vyšších rozměrů. Nejvyšší stupeň úplného zkrácení vytváří duální mnohostěn . Narovnáním se zkrátí hrany na body. Dvojité narovnání zkrátí (2D) plochy na body. Ve vyšších dimenzích trojitá rektifikace zkrátí buňky (3D plochy) na body a tak dále.

Příklad dvojitého narovnání jako poslední fáze zkrácení obličeje

Sekvence na obrázku ukazuje dvojité zkrácení krychle jako poslední fázi procesu od krychle k duálnímu osmistěnu, ve kterém je původní plocha zkrácena do bodu:

Pro mnohoúhelníky

Dvojitý mnohoúhelník je stejný jako jeho plně zkrácená forma. Nové vrcholy jsou umístěny ve středních bodech stran původního mnohoúhelníku.

Pro mnohostěny a plošné obklady

Jakýkoli pravidelný polytop a jeho duál mají stejný zcela zkrácený polytop. (To neplatí pro polytopy v prostorech dimenze 4 nebo více.)

Plně zkrácený polytop lze získat jako průsečík původního pravidelného polytopu s vhodně zmenšenou soustřednou verzí duálu. Z tohoto důvodu jsou jejich názvy konstruovány jako kombinace názvu původního mnohostěnu a jeho duálu:

Plně zkrácený čtyřstěn , jehož dvojí je čtyřstěn, se nazývá čtyřstěn , lépe známý jako osmistěn .
Plně zkrácený osmistěn , jehož dvojí je krychle , se nazývá kuboktaedr .
Plně zkrácený dvacetistěn , jehož dvojí je dvanáctistěn , se nazývá dvacetistěn .
Plně komolé čtvercové parkety jsou čtvercové parkety .
Kompletně komolé trojúhelníkové parkety , jejichž duálem jsou šestihranné parkety , se nazývají tříhranné parkety .

Příklady

Rodina	Rodič	úplné zkrácení	Dvojí
[p,q]
[3,3]	Čtyřstěn	Osmistěn	Čtyřstěn
[4,3]	Krychle	Kuboktaedr	Osmistěn
[5,3]	dvanáctistěn	ikosidodekaedru	dvacetistěn
[6,3]	Šestihranná mozaika	Trojúhelníková mozaika	trojúhelníková mozaika
[7,3]	Sedmiboká dlažba třetího řádu	Trojúhelníková mozaika	Trojúhelníkový obklad sedmého řádu
[4,4]	čtvercová mozaika	čtvercová mozaika	čtvercová mozaika
[5,4]	Pětiúhelníkové obklady čtvrtého řádu	Čtvercová pětiúhelníková mozaika	Čtvercové dlaždice pátého řádu

Pro nepravidelné mnohostěny

Pokud mnohostěn není pravidelný, středy hran obklopujících vrchol nemusí ležet ve stejné rovině. Určitá forma úplného zkrácení však zůstává možná i v tomto případě - každý polytop má polyhedrální graf , jako 1-skelet (polytope), a z tohoto grafu lze vytvořit střední graf umístěním vrcholů doprostřed hran původního grafu a spojující dva nové vrcholy, pokud patří k postupným hranám podél společné plochy. Výsledný střední graf zůstává polyedrický, takže podle Steinitzovy věty jej lze reprezentovat jako mnohostěn.

Ekvivalentem Conwayovy notace pro úplné zkrácení je ambo , značené . Při aplikaci dvakrát aa , (rektifikaci po rektifikaci) je Conwayova expanzní operace e , což je stejná operace jako Johnsonova operace zkosení t 0,2 pro běžné polytopy a obklady.

Pro 4-rozměrné mnohostěny a 3-rozměrné teselace

Jakýkoli konvexní pravidelný 4-polytop má formu plného zkrácení, jako jednotný 4-polytop .

Pravidelný 4-rozměrný polytop {p,q,r} má buňky {p,q}. Úplným zkrácením vzniknou dva typy buněk – zcela zkrácené {p,q} mnohostěny zbylé z původních buněk a {q,r} mnohostěny jako nové buňky vytvořené v místech zkrácených vrcholů.

Zkrácení {p,q,r} však není stejné jako zkrácení {r,q,p}. Další zkrácení, nazývané double total truncation , je symetrické vzhledem k 4-polytopu a jeho duálu. Viz Uniform 4-polytope .

Příklady

Rodina	Rodič	úplné zkrácení	Dvojité úplné zkrácení (Dvojité zkrácení)	Trojité úplné zkrácení (duální)
[p,q,r]
[3,3,3]	Pětibuňkový	Plně zkrácený pětičlánkový	Plně zkrácený pětičlánkový	Pětibuňkový
[4,3,3]	tesseract	Plně zkrácený tesseract	Plně zkrácený šestnáctibuňkový ( 24buňkový )	Hexadecimální buňka
[3,4,3]	dvacet čtyři buňky	Plně zkrácený 24článkový	Plně zkrácený 24článkový	dvacet čtyři buňky
[5,3,3]	120 buněk	Plně zkrácený 120-článkový	Plně zkrácený 600-buňkový	Šest set buněk
[4,3,4]	krychlový plást	Plně zkrácený krychlový plást	Plně zkrácený krychlový plást	krychlový plást
[5,3,4]	Dodekaedrické plástve 4. řádu	Plně zkrácená dvanáctistěnná voština 4. řádu	Plně zkrácený krychlový plást 5. řádu	Krychlové plástve 5. řádu

Stupně narovnání

První úplné zkrácení ořízne hrany na body. Pokud je mnohostěn pravidelný , je tento tvar reprezentován rozšířeným Schläfliho symbolem t 1 {p,q,...} nebo r {p,q,...}.

Druhé úplné zkrácení nebo dvojité narovnání zkrátí plochy na body. Pokud je mnohostěn pravidelný, dvojité zkrácení se značí t 2 {p,q,...} nebo 2 r {p,q,...}. U trojrozměrných polytopů poskytuje dvojité úplné zkrácení duální polytop .

Vyšší stupně úplného zkrácení lze konstruovat pro mnohostěny v prostorech dimenze 4 a vyšších. Obecně platí, že úroveň úplného zkrácení n ořezává n-rozměrné plochy na body.

Je-li mnohostěn v n-rozměrném prostoru zcela oříznut na stupeň (n-1), jeho fasety (fasety dimenze n-1) jsou zkráceny do bodu a stane se duální vůči původnímu.

Notace a fasety

Pro každý stupeň úplného zkrácení existují tři různé ekvivalentní zápisy. Níže uvedené tabulky ukazují názvy podle rozměrů a dvou typů faset pro každou z nich.

Pravidelné mnohoúhelníky

Fazety jsou hrany reprezentované jako {2}.

jméno {p}	Coxeterův graf	t-record symbol Schläfli	Vertikální symbol Schläfli
jméno {p}	Coxeterův graf	t-record symbol Schläfli	název	Fazeta-1	Fazeta-2
Rodič		t 0 {p}	{p}	{2}
Plně zkrácený		t 1 {p}	{p}		{2}

Pravidelné 3-rozměrné uniformní polytopy a obklady

Fazety jsou pravidelné mnohoúhelníky.

Název {p,q}	Coxeterův graf	t-record symbol Schläfli	Vertikální symbol Schläfli
Název {p,q}	Coxeterův graf	t-record symbol Schläfli	název	Fazeta-1	Fazeta-2
Rodič		t 0 {p,q}	{p,q}	{p}
Plně zkrácený		t 1 {p,q}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix))$ = r{p,q}	{p}	{q}
dvakrát zkrácený		t 2 {p,q}	{q,p}		{q}

Pravidelné jednotné 4-rozměrné polytopy a plástve

Fazety jsou pravidelné nebo zcela zkrácené mnohostěny.

jméno {p,q,r}	Coxeterův graf	t-record symbol Schläfli	Rozšířený symbol Schläfli
jméno {p,q,r}	Coxeterův graf	t-record symbol Schläfli	název	Fazeta-1	Fazeta -2
Rodič		t 0 {p, q, r}	{p,q,r}	{p,q}
Opraveno		t 1 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ = r{p,q}	{q,r}
Dvojité plně zkrácené (zcela zkrácené duální)		t 2 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix))$ = r{q,r}
Trix zcela zkrácen (Dual)		t 3 {p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Pravidelné polytopy v 5-rozměrném prostoru a 4-rozměrné plástve

Fazety jsou pravidelné nebo zcela zkrácené čtyřrozměrné mnohostěny.

Název {p,q,r,s}	Coxeterův graf	t-záznam symbolu Schläfli	Rozšířený symbol Schläfli
Název {p,q,r,s}	Coxeterův graf	t-záznam symbolu Schläfli	název	Fazeta-1	Fazeta -2
Rodič		t 0 {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Plně zkrácený		t 1 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Dvojité plně zkrácené (dvakrát plně zkrácené duální)		t 2 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix))$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix))$ = r{q,r,s}
Trojnásobně zkrácený (zcela zkrácený duální)		t 3 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q}
Čtyřnásobně plně zkrácený (duální)		t 4 {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

Viz také

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Rectification na webu Wolfram MathWorld .

Literatura

HSM Coxeter . Pravidelné polytopy . — 3. vydání. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (str. 145–154 Kapitola 8: Zkrácení)
NW Johnson . Jednotné polytopy. — Rukopis, 1991.
- NW Johnson . Teorie jednotných polytopů a voštin. — University of Toronto: Ph.D. disertační práce, 1966.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Symetrie věcí. - New York: A. K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (kapitola 26)

Odkazy

George Olszewski Rectification at Glosary for Hyperspace.

Operace na mnohostěnech

Nadace	zkrácení	úplné zkrácení	Hluboké zkrácení	Dualita _	protahování	Zkrácení	Alternace


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}