4D mnohostěn

Čtyřrozměrný mnohostěn  je mnohostěn ve čtyřrozměrném prostoru [1] [2] . Mnohostěn je spojený uzavřený obrazec, skládající se z mnohostěnných prvků menšího rozměru - vrcholů , hran , ploch ( polygonů ) a buněk ( trojrozměrné mnohostěny ). Každá tvář patří přesně dvěma buňkám.

Dvourozměrným analogem čtyřrozměrného mnohostěnu je mnohoúhelník a trojrozměrným analogem je trojrozměrný mnohostěn .

Topologicky jsou 4D mnohostěny úzce spjaty s jednotnými plástvemi , jako jsou kubické plástve , které mozaikují 3D prostor. Podobným způsobem je trojrozměrná krychle příbuzná nekonečným dvojrozměrným čtvercovým plástům . Konvexní 4D mnohostěny lze řezat a rozbalovat ve 3D prostoru.

Definice

Čtyřrozměrný mnohostěn je uzavřený čtyřrozměrný obrazec . Skládá se z vrcholů (rohových bodů), hran , ploch a buněk . Buňka je trojrozměrný analog obličeje a je trojrozměrným mnohostěnem . Každá 2D plocha musí spojovat přesně dvě buňky, stejně jako hrany 3D mnohostěnu spojují přesně dvě plochy. Stejně jako jiné polytopy nelze prvky 4-polytopu rozdělit do dvou nebo více sad, které jsou rovněž 4-polytopy, tj. nejsou složené.

Nejznámějším čtyřrozměrným mnohostěnem je tesseract (hypercube), čtyřrozměrná obdoba krychle.

Vizualizace

Čtyřrozměrné mnohostěny nemohou být reprezentovány v trojrozměrném prostoru kvůli extra dimenzi. Pro vizualizaci se používá řada technik.

K zobrazení různých symetrií 4D mnohostěnu lze použít ortografické projekce . Projekce mohou být reprezentovány jako dvourozměrné grafy, nebo mohou být reprezentovány jako trojrozměrná tělesa jako projektivní skořepiny .

Stejně jako lze 3D tvary promítat na plochý list, lze 4D tvary promítat do 3D prostoru nebo dokonce do roviny. Běžným typem projekce je Schlegelův diagram , který využívá stereografickou projekci bodů na povrch 3-koule v trojrozměrném prostoru, spojených v trojrozměrném prostoru rovnými hranami, plochami a buňkami.

Stejně jako řezání mnohostěnu odhaluje řezaný povrch, řezání 4D mnohostěnu odhaluje "hyperplochu" ve 3D prostoru. Posloupnost takových řezů může být použita k pochopení celého obrázku. Další rozměr lze přirovnat k času potřebnému k animaci těchto sekcí.

Vývoj čtyřrozměrného mnohostěnu se skládá z mnohostěnných buněk spojených plochami a umístěných v trojrozměrném prostoru, stejně jako mnohoúhelníkové plochy zástavby trojrozměrného mnohostěnu jsou spojeny hranami a všechny jsou umístěny v stejné letadlo.

Topologické charakteristiky

Topologie jakéhokoli daného 4D mnohostěnu je určena jeho Betti čísly a torzními koeficienty [3] .

Hodnota Eulerovy charakteristiky používané k charakterizaci mnohostěnů nezobecňuje správně na vyšší dimenze a je nulová pro všechny čtyřrozměrné mnohostěny, ať je jejich topologie jakákoli. Tato nekonzistence v Eulerově charakteristice pro spolehlivé rozlišování mezi různými topologiemi ve vysokých dimenzích vede ke vzniku jemnějších Betti čísel [3] .

Podobně pojem orientovatelnosti mnohostěnu je nedostatečný pro charakterizaci kroucení povrchů toroidních mnohostěnů, což vede k použití torzních koeficientů [3] .

Klasifikace

Kritéria

Čtyřrozměrné polyhedra mohou být klasifikovány vlastnostmi, jako je " konvexnost " a " symetrie " [3] .

• 4-polytop je konvexní , pokud se jeho hranice (včetně buněk, (3-rozměrných) ploch a hran) neprotínají samy sebe (v principu mohou plochy polytopu procházet vnitřkem pláště) a segmenty spojující libovolné dva body skořepiny. 4-polytopy jsou obsaženy zcela uvnitř. jinak je mnohostěn považován za nekonvexní . Samoprotínající se čtyřrozměrné mnohostěny jsou také známé jako hvězdné mnohostěny , analogicky s hvězdicovými tvary nekonvexních mnohostěnů Kepler-Poinsot .
• Čtyřrozměrný polytop je pravidelný , pokud je tranzitivní vzhledem ke svým vlajkám . To znamená, že všechny jeho buňky jsou shodné pravidelné mnohostěny a také všechny jeho vrcholy jsou shodné s jiným druhem pravidelných mnohostěnů.
• Konvexní čtyřrozměrný polytop je polopravidelný, pokud má skupinu symetrie takovou, že všechny vrcholy jsou ekvivalentní ( vertex-tranzitivní ) a buňky jsou pravidelné polytopy . Buňky mohou být dvou nebo více typů za předpokladu, že mají stejný typ obličeje. Thorold Gosset v roce 1900 nalezl pouze 3 takové postavy: plně zkrácený pětičlánkový [cs] , plně zkrácený šestisetbuňkový a čumák s dvaceti čtyřmi články .
• Čtyřrozměrný mnohostěn je homogenní , pokud má skupinu symetrie takovou, že všechny vrcholy jsou ekvivalentní a buňky jsou jednotné mnohostěny . Plochy (2-rozměrné) jednotného 4-polytopu musí být pravidelné polygony .
• Čtyřrozměrný polytop je izotop [4] , pokud je vertex-tranzitivní a má hrany stejné délky. To znamená, že jsou povoleny nejednotné buňky, jako je Johnsonův konvexní mnohostěn .
• Pravidelný čtyřrozměrný polytop, který je také konvexní , je považován za pravidelný konvexní čtyřrozměrný polytop .
• Čtyřrozměrný mnohostěn je prizmatický , je-li přímým součinem dvou nebo více nízkorozměrných mnohostěnů. Prizmatický čtyřrozměrný mnohostěn je homogenní, pokud jsou jeho faktory v přímém produktu homogenní. Hyperkrychle je prizmatická (součin dvou čtverců nebo krychle a úsečky ), ale je zpracována samostatně, protože má vyšší symetrii než symetrie zděděné z faktorů.
• Mozaika nebo plástev v trojrozměrném prostoru  je rozklad trojrozměrného euklidovského prostoru na opakující se mřížku polyedrických buněk. Takové obklady nebo mozaiky jsou nekonečné a nejsou omezeny "4D" objemem, takže jsou příklady nekonečných 4D mnohostěnů. Jednotný obklad trojrozměrného prostoru  je obklad, ve kterém jsou vrcholy shodné a spojené krystalografickou skupinou a buňky jsou jednotné mnohostěny .

Třídy

Následující seznam různých kategorií čtyřrozměrných mnohostěnů je klasifikován podle výše uvedených kritérií:

Homogenní čtyřrozměrný mnohostěn (vertex-tranitive).

• Konvexní jednotné 4 mnohostěny (64 plus dvě nekonečné rodiny)
  • 47 neprizmatických konvexních uniformních 4-polytopů zahrnuje:
    • 6 pravidelných čtyřrozměrných mnohostěnů .
  • Prizmatické uniformní mnohostěny :
    • {} × {p, q} : 18 mnohostěnných hranolů (včetně krychlových hyperhranolů, pravidelných hyperkrychlí );
    • Hranoly postavené na antihranolech (nekonečná rodina);
    • {p} × {q} : Duoprismy (nekonečná rodina).
• Nekonvexní homogenní čtyřrozměrné mnohostěny (10 + neznámé):
  • 10 (běžných) Schläfli-Hessových polytopů ;
  • 57 hyperhranolů postavených na nekonvexních jednotných mnohostěnech ;
  • Neznámý počet nekonvexních homogenních čtyřrozměrných mnohostěnů - Norman Johnson a další spoluautoři našli 1849 mnohostěnů (konvexních a hvězdicových); všechny jsou postaveny na vrcholech pomocí programu Stella4D [5] .

Další konvexní 4D mnohostěny:

• Polyedrická pyramida ;
• Polyedrický hranol .

Nekonečné homogenní 4-rozměrné mnohostěny v euklidovském trojrozměrném prostoru (homogenní teselace konvexními homogenními buňkami):

• 28 konvexních jednotných plástů (jednotné konvexní obklady), včetně:
  • 1 pravidelný obklad, krychlový plást : {4,3,4}.

Nekonečné homogenní čtyřrozměrné mnohostěny hyperbolického trojrozměrného prostoru (homogenní teselace konvexními homogenními buňkami):

• 76 Wythoffových konvexních jednotných plástů v hyperbolickém prostoru včetně:
  • 4 pravidelné dlaždice kompaktního hyperbolického 3D prostoru : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.

Duální homogenní čtyřrozměrné mnohostěny ( cell-transitive ):

• 41 unikátních duálních homogenních čtyřrozměrných mnohostěnů;
• 17 unikátních duálních homogenních polyedrických hranolů;
• nekonečná rodina duálních konvexních homogenních duoprismů (s nepravidelnými tetraedrickými buňkami);
• 27 unikátních duálních homogenních buněk, včetně:
  • Kosočtverečný dvanáctistěnný plástev ;
  • Izoedrické čtyřstěnné plástve .

Jiný:

• Weir-Phelanova struktura periodických plástů vyplňujících prostor s nepravidelnými buňkami.

Abstraktní pravidelné čtyřrozměrné mnohostěny :

• Jedenáct buněk ;
• Padesát sedm buněk .

Tyto kategorie zahrnují pouze čtyřrozměrné mnohostěny s vysokým stupněm symetrie. Může existovat mnoho dalších čtyřrozměrných mnohostěnů, ale nebyly studovány tak intenzivně jako ty, které jsou uvedeny výše.

Viz také

• Pravidelný čtyřrozměrný mnohostěn
• 3-koule je další široce diskutovanou postavou umístěnou ve čtyřrozměrném prostoru. Nejde však o čtyřrozměrný mnohostěn, protože není omezen na mnohostěnné buňky.
• Duocylinder je postava ve čtyřrozměrném prostoru spojená s duoprismy , i když to také není mnohostěn.

Poznámky

1. ↑ Vialar, 2009 , s. 674.
2. ↑ Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010 , str. 598.
3. ↑ 1 2 3 4 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton, 2008.
4. ↑ V angličtině se používá slovo scaliform , vytvořené ze dvou slov - scale (polysémantické slovo, zde - size, scale) a uniform (homogenní). Jméno navrhl Jonathan Bowers
5. ↑ Uniform Polychora , Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 případů v roce 2005

Literatura

• T. Vialar. Komplexní a chaotická nelineární dynamika: Pokroky v ekonomii a financích. - Springer, 2009. - S. 674. - ISBN 978-3-540-85977-2 .
• V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Aplikace matematiky v modelech, umělých neuronových sítích a umění. - Springer, 2010. - S. 598. - ISBN 978-90-481-8580-1 . - doi : 10.1007/978-90-481-8581-8 .
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter . Pravidelné polytopy . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Příspěvek 22) HSM Coxeter, pravidelné a polopravidelné polytopy I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (Příspěvek 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Příspěvek 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway , chlap MJT. Sborník příspěvků z kolokvia o konvexitě v Kodani. - 1965. - S. 38-39.
• Norman Johnson . Teorie jednotných polytopů a voštin. — Ph.D. Disertační práce. — University of Toronto, 1966.
• Čtyřdimenzionální Archimédské polytopy (německy), Marco Möller, 2004 PhD disertační práce [1]

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Polychoron  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Polyhedral vzorec  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Pravidelné polychronové Eulerovy charakteristiky  (anglicky) ve Wolfram MathWorld . * George
• Čtyřrozměrná čísla stránky
• George Olshevsky Polychoron na Glosáři pro hyperprostor
• Uniforma Polychora , Jonathan Bowers
• Uniform polychoron Viewer — Java3D Applet se zdroji
• Dr. R. Klitzing, polychora