Duoprismu

Sada homogenních p, q-duoprismů
typ	Prizmatický jednotný čtyřrozměrný mnohostěn
symbol Schläfli	{p}×{q}
Coxeter-Dynkinův diagram
buňky	p q-gonální hranoly , q p-gonální hranoly
Fazety	pq čtverců , p q-úhelníků, q p-úhelníků
žebra	2pq
Vrcholy	pq
Vertexová postava	Izoedrický čtyřstěn
Symmetry	[p,2,q], objednávka 4pq
Dvojí	p, q- Duopyramid
Vlastnosti	konvexní , vrcholově homogenní
Sada homogenních p, p-duoprismů
Typ	Prizmatický jednotný čtyřrozměrný mnohostěn
symbol Schläfli	{p}×{p}
Coxeter-Dynkinův diagram
buňky	2p p-gonální hranoly
Fazety	p 2 čtverce , 2p p-úhelníky
žebra	2p 2
Vrcholy	p2 _
Coxeterův zápis	[[p,2,p]] = [2p,2 + ,2p], objednávka 8p 2
Dvojí	p, p -Duopyramid
Vlastnosti	konvexní , vertexově homogenní , fasetově tranzitivní

Duoprism  je mnohostěn získaný přímým součinem dvou mnohostěnů, každý o rozměrech dva nebo více. Přímým součinem n -polytopu a m -polytopu je ( n + m )-polytop, kde n a m jsou alespoň 2 ( polygon nebo polytop).

Duoprismy nejmenší dimenze existují ve 4-rozměrném prostoru jako 4-rozměrné polyhedra , jsou přímým produktem dvou mnohoúhelníků ve 2-rozměrném euklidovském prostoru . Přesněji se jedná o soubor bodů:

kde P 1 a P 2  jsou dvě sady bodů umístěných v polygonech (faktorech). Pokud jsou oba polygony konvexní, je takový duoprism konvexní a ohraničený prizmatickými buňkami .

Terminologie

Čtyřrozměrné duoprizmy jsou považovány za prizmatické čtyřrozměrné mnohostěny. Duoprismus získaný vynásobením dvou pravidelných mnohoúhelníků se stejnou délkou hrany se nazývá homogenní duoprismus .

Duoprismus odvozený od n -polygonu a m -polygonu se nazývá přidáním "duoprismu" za názvy základních mnohoúhelníků, například trojúhelníkový-pentagonální duoprismus  je součin trojúhelníku a pětiúhelníku.

Alternativním způsobem pojmenování je předpona s počtem stran základních polygonů, například 3,5-duoprism je trojúhelníkový-pentagonální duoprismus.

Další alternativní jména:

• q -úhlový- p -úhlový hranol
• q -úhlový p -úhlový dvojitý hranol
• q -úhlový p -úhlový hyperhranol

Termín duoprism zavedl George Olszewski jako zkratku pro dvojitý hranol (double prism). John Horton Conway navrhl podobný název proprism jako zkratku pro product prism (součin hranolů). Duoprismy jsou proprizmata tvořená součinem právě dvou mnohostěnů.

Příklad 16,16 duoprismu

Geometrie 4-rozměrných duoprismů

4-rozměrný uniformní duoprismus je součin pravidelného n - stranného mnohoúhelníku a pravidelného m - stranného mnohoúhelníku se stejnými délkami stran. Je omezena na n m -gonálních hranolů a m n -gonálních hranolů. Například přímým součinem trojúhelníku a šestiúhelníku je duoprisma ohraničená šesti trojúhelníkovými hranoly a třemi šestihrannými hranoly.

• Jsou-li m a n shodné, je výsledný duoprizma ohraničen 2n shodnými n -gonálními hranoly. Například přímým součinem dvou trojúhelníků je duoprisma ohraničená šesti trojúhelníkovými 6 hranoly.

• Jestliže m a n jsou 4, výsledný duoprism je omezen na osm čtvercových hranolů ( kostek ) a je totožný s tesseractem .

m -gonální hranoly jsou navzájem spojeny m -gonálními plochami a tvoří uzavřený cyklus. Podobným způsobem jsou n -gonální hranoly navzájem spojeny n -gonálními plochami a tvoří další uzavřený cyklus kolmý na první. Tyto dva cykly jsou navzájem spojeny svými čtvercovými plochami a jsou vzájemně kolmé.

Protože m a n mají sklon k nekonečnu, odpovídající duoprismy se blíží k duoválci . Duoprismy jsou tedy užitečné jako nekvadratické aproximace k duoválcům.

Výstružníky

Perspektivní projekce

Buňkově centrovaná perspektivní projekce duoprismu vypadá jako torus se dvěma sadami ortogonálních buněk, p-gonálními a q-gonálními hranoly.

(p, q)-duoprismy jsou totožné s (q,p)-hranoly, ale v projekcích vypadají odlišně, protože jsou vystředěny vzhledem k různým buňkám.

Ortografické projekce

Vertexově centrované ortogonální projekce p, p-duoprism má symetrii [2n] pro liché hodnoty a [n] pro sudé hodnoty, přičemž n vrcholů se promítá do středu. Pro 4,4 to představuje rovinu A 3 Coxeter tesseractu . Projekce 5,5 je totožná s trojrozměrným kosočtvercovým kosodélníkem .

Související polytopy

Pravidelný zešikmený mnohostěn , {4,4|n}, existuje ve 4-rozměrném prostoru jako n 2 čtvercových ploch nn duoprismu využívajícího všech 2n 2 hran a n 2 vrcholů. 2 n n -gonálních ploch lze považovat za odstraněné. (Zkosené mnohostěny mohou být ošetřeny stejným způsobem jako duoprismy nm, ale nejsou pravidelné .) [1]

Duoantiprism

Stejně jako antiprismata jako střídavé hranoly , existuje mnoho 4-rozměrných duoantiprizmat - to jsou 4- polytopy , které mohou být vytvořeny operací alternace aplikovanou na duoprism. Střídavé vrcholy vytvářejí nepravidelné čtyřstěnné buňky, s výjimkou speciálního případu 4-4 duoprismu ( tesseract ), jehož výsledkem je jednotná (a pravidelná) šestnáctková buňka . Šestnáctičlánkový je jediný homogenní duoantiprisma.

Duoprismy, t 0,1,2,3 {p,2,q}, lze střídat v, ht 0,1,2,3 {p,2,q}, "duoantiprismata", které nelze získat homogenní. Jediným konvexním homogenním řešením je triviální případ p=q=2, což je nejmenší symetrická konstrukce tesseraktu , t 0,1,2,3 {2,2,2}, střídavě na šestnáctkovou buňku ,, s{2}s{2}.

Jediný nekonvexní homogenní roztok je p=5, q=5/3, ht 0,1,2,3 {5,2,5/3},získané z 10 pětiúhelníkových antihranolů , 10 zkřížených antihranolů pentagramů a 50 čtyřstěnů. Tento mnohostěn je známý jako velký duoantiprisma [2] [3] .

Mnohostěn k 22

3,3-duoprism , −1 22 , je první v řadě rozměrů uniformních mnohostěnů, označených Coxeterem jako řada k 22 . 3,3-duoprism je vrcholový obrazec druhého obrazce, bisrektifikovaného 5-simplexu . Čtvrtá figura je euklidovská voština, 2 22 Poslední figura je parakompaktní hyperbolická voština, 3 22 , s Coxeterovou skupinou [3 2,2,3 ],. Každý následující homogenní mnohostěn je postaven z předchozího (předchozí slouží jako jeho vrcholový obrazec ).

k 21 v prostoru dimenze n
Prostor	finále						euklidovský	hyperbolický
E n	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
Skupina Coxeter	E3 = A2A1	E4 = A4	E5=D5	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E10 = T8 = E8 ++
Coxeterův graf
Symmetry	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Objednat	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Graf							-	-
Označení	−1 21	0 21	121 _	221 [ en	3 21	4 21	5 21	6 21

Viz také

• Mnohostěn a 4D mnohostěn
• Konvexní pravidelný čtyřrozměrný mnohostěn
• Duocylinder
• tesseract

Poznámky

1. ↑ V anglické literatuře odpovídá skew polyhedron ( skew polyhedron ) trojrozměrnému obrazci, pro který se v ruštině ujal výraz skew polygon . Termín šikmý polytop ( šikmý polytop ) odpovídá vícerozměrnému (rozměr větší než tři) obrazci. Tento článek používá termín zkosený mnohostěn pro všechny rozměry.
2. ↑ Jonathan Bowers – Miscellaneous Uniform Polychora Archived 24. září 2015 na Wayback Machine 965. Gudap
3. ↑ http://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Archivováno 22. února 2014 na Wayback Machine Animace příčných řezů

Literatura

• HSM Coxeter . Pravidelné polytopy . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  124 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Krása geometrie: Dvanáct esejů . - 1999. - ISBN 0-486-40919-8 .
  • Coxeter, HSM Regular Skew Polyhedra ve třech a čtyřech rozměrech. Proč. Londýnská matematika. soc. 43, 33-62, 1937.
• Henry P. Manning. Jednoduše vysvětlená čtvrtá dimenze . — New York: Munn & Company, 1910.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. (Kapitola 26) // Symmetrie věcí. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Norman Johnson . Jednotné polytopy. Rukopis, 1991.
  • Norman Johnson . Teorie jednotných polytopů a voštin. — Ph.D. Disertační práce. — University of Toronto, 1966.

• George Olshevsky Duoprism na Glosáři pro hyperprostor
  • George Olshevsky Kartézský produkt na Glosáři pro hyperprostor
  • Katalog konvexních mnohostěnů George Olshevsky

Odkazy

• The Fourth Dimension Simply Explained — popisuje duoprismata jako „dvojité hranoly“ a duoválce jako „dvojité válce“
• Polygloss  — slovníček výrazů vyšších dimenzí
• Zkoumání hyperprostoru s geometrickým produktem