Pravidelný zkosený mnohostěn

Pravidelný zkosený polytop je zobecněním množiny pravidelných polytopů , které zahrnuje možnost nerovinných ploch nebo vrcholových obrazců . Coxeter uvažoval o šikmých vrcholech, které vytvořily nové čtyřrozměrné pravidelné mnohostěny, a mnohem později Branko Grünbaum uvažoval o pravidelných šikmých plochách. [jeden]

Popis pravidelných šikmých polytopů

Pravidelné zkosené mnohostěny nejsou mnohostěny v obvyklém smyslu. Jak píše Coxeter v THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Pravidelné houby nebo šikmé mnohostěny), „Facefilling se liší od konečných mnohostěnů v tom, že pro ně jsou pojmy uvnitř a vnějšku stejné. Takové výplně pomáhají uvažovat o mnohostěnu spíše jako o povrchu než jako o tělese. Chcete-li získat nové mnohostěny, musíte vymyslet tak, aby bylo možné do vrcholu umístit více polygonů, než dovolují krystalografická omezení (součet úhlů ve vrcholu je menší než )“. K dosažení tohoto efektu nechal Petrie hrany jít z roviny opačným směrem, což vede k houbám , tedy plochám s otevřenými otvory (díra jednoho mnohostěnu je uzavřena otvorem druhého, takže všechny tvoří nekonečnou houbu ) [2] . $2\pi$

Historie

Podle Coxetera v roce 1926 John Flinders Petrie zobecnil koncept prostorových polygonů (nerovinných polygonů) [3] na pravidelné šikmé mnohostěny .

Coxeter pro tyto obrázky navrhl modifikovaný Schläfliho symbol {l,m|n}, kde {l,m} označuje vrcholový obrazec , m l-úhelníků kolem vrcholu a n jsou n - gonální díry. Jejich vrcholy jsou prostorové mnohoúhelníky klikatící se mezi dvěma rovinami.

Pravidelné zešikmené polytopy reprezentované symbolem {l,m|n} splňují rovnost:

2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)

První množina {l, m | n} představuje pět konvexních platónských těles a jedno nekonvexní těleso Kepler-Poinsot :

{l, m \| n}	tváře	žebra	Vrcholy	p	Mnohostěn	Řád symetrie
{3,3\| 3} = {3,3}	čtyři	6	čtyři	0	Čtyřstěn	12
{3,4\| 4} = {3,4}	osm	12	6	0	Osmistěn	24
{4,3\| 4} = {4,3}	6	12	osm	0	Krychle	24
{3,5\| 5} = {3,5}	dvacet	třicet	12	0	dvacetistěn	60
{5,3\| 5} = {5,3}	12	třicet	dvacet	0	dvanáctistěn	60
{5,5\| 3} = {5,5/2}	12	třicet	12	čtyři	Velký dvanáctistěn	60

Konečné pravidelné zešikmené polytopy ve 4-rozměrném prostoru

A4 projekce Coxeterovy roviny

{4, 6 \| 3}	{6, 4 \| 3}
Zařazeno 5 buněk (60 hran, 20 vrcholů)	Hluboce zkrácený 5článkový (60 hran, 30 vrcholů)
F4 projekce Coxeterovy roviny

{4, 8 \| 3}	{8, 4\| 3}
Zařazeno 24 buněk (576 hran, 144 vrcholů)	Hluboce zkrácený 24-buňkový (576 hran, 288 vrcholů)
Některé ze 4-rozměrných pravidelných zkosených mnohostěnů zapadají do jednotných mnohostěnů, jak je znázorněno na projekcích.

Coxeter také uvedl velké množství konečných pravidelných mnohostěnů ve svém článku „pravidelné šikmé mnohostěny ve třech a čtyřech rozměrech a jejich topologické analogy“.

Stejně jako nekonečné zkosené polytopy představují povrch manifoldu mezi buňkami konvexní uniformní voštiny , konečné pohledy reprezentují povrchy manifoldu v buňkách homogenního 4-rozměrného polytopu .

Mnohostěny tvaru {2p, 2q | r} souvisí s Coxeterovou grupou symetrie [(p,r,q,r)], která se redukuje na lineární [r,p,r] pro q rovné 2. Coxeter dává této symetrii zápis [[( p , r , q , r )] + ], která je podle něj izomorfní s jeho abstraktní grupou (2 p ,2 q |2, r ). Spojené plástve mají rozšířenou symetrii [[( p , r , q , r ) ]] [4] .

{2p,4|r} je reprezentováno {2p} plochami hluboce zkráceného {r,p,r} homogenního 4-rozměrného mnohostěnu a {4,2p|r} je reprezentováno čtvercovými plochami z hoblovaného {r, p,r} (řazeno).

{4,4|n} tvoří n - n duoprismus a konkrétně {4,4|4} zapadá do tesseractu {4}x{4} .


{4,4\| n} představují čtvercové plochy duoprismů s n-gonálními plochami jako otvory a představují Cliffordův torus a aproximaci dvojitého válce	{4,4\|6} má 36 čtvercových ploch a v perspektivní projekci vypadá jako čtverce vybrané v 6,6 dvojitém válci .	Prstenec 60 trojúhelníků tvoří pravidelný zkosený mnohostěn v podmnožině ploch 600-buňky .

Dokonce i objednaná řešení

{l, m \| n}	tváře	žebra	Vrcholy	p	Struktura	Symmetry	Objednat	Přidružený jednotný 4-polytop
{4,4\| 3}	9	osmnáct	9	jeden	D3xD3 _ _ _	[[3,2,3] + ]	9	3-3 duoprism
{4,4\| čtyři}	16	32	16	jeden	D4xD4 _ _ _	[[4,2,4] + ]	16	4-4 duoprism nebo tesseract
{4,4\| 5}	25	padesáti	25	jeden	D5xD5 _ _ _	[[5,2,5] + ]	25	5-5 duoprismu
{4,4\| 6}	36	72	36	jeden	D6xD6 _ _ _	[[6,2,6] + ]	36	6-6 duoprism
{4,4\| n}	n 2	2n 2	n 2	jeden	DnxDn _ _ _	[[n,2,n] + ]	n 2	nn duoprismu
{4,6\| 3}	třicet	60	dvacet	6	S5	[[3,3,3] + ]	60	hoblovaný 5článkový
{6,4\| 3}	dvacet	60	třicet	6	S5	[[3,3,3] + ]	60	hluboce zkrácený 5-článkový
{4,8\| 3}	288	576	144	73		[[3,4,3] + ]	576	hoblovaný 24článkový
{8,4\| 3}	144	576	288	73		[[3,4,3] + ]	576	hluboce zkrácený 24-buňkový

Pentagramová řešení

{l, m \| n}	tváře	žebra	Vrcholy	p	Struktura	Symmetry	Objednat	Přidružený jednotný 4-polytop
{4,5\| 5}	90	180	72	deset	A6	[[5/2,5,5/2] + ]	360	Plánovaná velká hvězda 120 buněk
{5,4\| 5}	72	180	90	deset	A6	[[5/2,5,5/2] + ]	360	Hluboce zkrácený velký stellated 120článkový

{l, m \| n}	tváře	žebra	Vrcholy	p	Struktura	Objednat
{4,5\| čtyři}	40	80	32	5	?	160
{5,4\| čtyři}	32	80	40	5	?	160
{4,7\| 3}	42	84	24	deset	LF(2;7)	168
{7,4\| 3}	24	84	42	deset	LF(2;7)	168
{5,5\| čtyři}	72	180	72	19	A6	360
{6,7\| 3}	182	546	156	105	LF(2;13)	1092
{7,6\| 3}	156	546	182	105	LF(2;13)	1092
{7,7\| 3}	156	546	156	118	LF(2;13)	1092
{4,9\| 3}	612	1224	272	171	LF(2;17)	2448
{9,4\| 3}	272	1224	612	171	LF(2;17)	2448
{7,8\| 3}	1536	5376	1344	1249	?	10752
{8,7\| 3}	1344	5376	1536	1249	?	10752

Poslední množina je založena na dalších rozšířených Coxeterových formách {q1,m|q2,q3...} nebo s q2 nespecifikovaným: {l, m |, q}.

{l, m\|, q}	tváře	žebra	Vrcholy	p	Struktura	Objednat
{3,6\|,q}	2q2 _	3q2 _	q2 _	jeden	?	2q2 _
{3,2q\|,3}	2q2 _	3q2 _	3q	(q-1)*(q-2)/2	?	2q2 _
{3,7\|,4}	56	84	24	3	LF(2;7)	168
{3,8\|,4}	112	168	42	osm	PGL(2;7)	336
{4,6\|,3}	84	168	56	patnáct	PGL(2;7)	336
{3,7\|,6}	364	546	156	čtrnáct	LF(2;13)	1092
{3,7\|,7}	364	546	156	čtrnáct	LF(2;13)	1092
{3,8\|,5}	720	1080	270	46	?	2160
{3,10\|,4}	720	1080	216	73	?	2160
{4,6\|,2}	12	24	osm	3	S4 × S2	48
{5,6\|,2}	24	60	dvacet	9	A5 × S2	120
{3,11\|,4}	2024	3036	552	231	LF(2;23)	6072
{3,7\|,8}{101}	3584	5376	1536	129	?	10752
{3,9\|,5}	12180	18270	4060	1016	LF(2,29)×A3	36540

Viz také

Prostorový mnohoúhelník
Oblique infinitehedron

Poznámky

↑ McMullen, Schulte, 2002 , str. 7, 17.
↑ Coxeter, 1995 , str. 20-22.
↑ V anglické literatuře - skew polygon, doslova - šikmý mnohoúhelník . V ruské literatuře se vžil pojem prostorový mnohoúhelník a výrazu šikmý mnohostěn odpovídá výrazu šikmý mnohostěn ( šikmý mnohostěn ). V tomto článku se oba pojmy zkosený mnohoúhelník a zkosený mnohostěn používají zaměnitelně.
↑ Coxeter, 1985 .

Literatura

Peter McMullen. Čtyřrozměrné pravidelné mnohostěny // Diskrétní a výpočetní geometrie září. - 2007. - T. 38 , č. 2 . - S. 355-387 .
HSM Coxeter . Pravidelné polytopy. — 3. — Dover Publications, Inc., 1973.. Viz zejména tabulky I a II: Pravidelné polytopy a plástve, s. 294–296.
Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera . - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 . Archivováno 11. července 2016 na Wayback Machine
- (Papír 2) H.S.M. Coxeter, "Pravidelné houby nebo zkosený mnohostěn", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- (Příspěvek 22) HSM Coxeter, pravidelné a polopravidelné polytopy I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- HSM Coxeter. Pravidelné a poloregulární polytopy II // Matematika. Zeit. - 1985. - Vydání. 188 . — S. 559–591 .
HSM Coxeter . Kapitola 5: Regular Skew Polyhedra ve třech a čtyřech dimenzích a jejich topologické analogy // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0486-40919-8 .
- HSM Coxeter. Pravidelné zkosené mnohostěny ve třech a čtyřech rozměrech. //Proc. Londýnská matematika. Soc.. - 1937. - T. 43 . - S. 33-62 .
CWL Garner. Pravidelné zkosené mnohostěny v hyperbolickém tříprostoru // Kanada. J. Math .. - 1967. - T. 19 . - S. 1179-1186 .
E. Schulte, JM Wills. Na Coxeterově pravidelném šikmém mnohostěnu // Diskrétní matematika. - 1986. - T. 60, červen-červenec . — S. 253–262 .
Peter McMullen, Egon Schulte. Abstraktní pravidelné polytopy. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Encyklopedie matematiky a její aplikace). - ISBN 0-521-81496-0 . - doi : 10.1017/CBO9780511546686 .