Konečné pravidlo dělení

V matematice je konečné pravidlo dělení rekurzivní způsob dělení mnohoúhelníku a dalších dvourozměrných tvarů na stále menší kusy. Pravidla dělení v tomto smyslu jsou zobecněním fraktálů . Namísto opakovaného opakování stejného vzoru dochází v každém kroku k mírným změnám, které umožňují bohatší textury při zachování podpory elegantního fraktálního stylu [1] . Pravidla dělení se používají v architektuře, biologii a informatice, stejně jako při studiu hyperbolických variet . Náhrady dlaždic jsou dobře prostudovaným pravidlem dělení.

Definice

Pravidlo dělení vezme dlaždici v rovině s polygony a změní ji na novou dlaždici rozdělením každého mnohoúhelníku na menší polygony. Pravidlo je konečné , pokud existuje pouze konečně mnoho způsobů, jak rozdělit každý polygon. Každý způsob dělení dlaždice se nazývá typ dlaždice . Každý typ dlaždice je reprezentován štítkem (obvykle písmenem). Každý typ dlaždice je rozdělen na menší typy dlaždic. Každá hrana je také rozdělena na konečný počet typů hran . Konečná pravidla dělení mohou rozdělovat pouze dlaždice, které se skládají z mnohoúhelníků označených typy dlaždic. Takové obklady se nazývají subdivizní komplexy pro pravidlo dělení. Vzhledem k jakémukoli komplexu dělení pro pravidlo dělení jej můžeme dělit znovu a znovu, abychom získali sekvenci obkladů.

Například binární dělení má jeden typ dlaždice a jeden typ hrany:

Vzhledem k tomu, že dlaždice jsou pouze čtverce, binární poddělení může poskytnout dlaždici skládající se pouze z čtverců. To znamená, že subdivizní komplexy jsou obklady čtyřúhelníků. Mozaika může být správná , ale nemusí:

Zde začínáme se čtyřmi čtyřkolkami a rozdělujeme je dvakrát. Všechny čtverce jsou dlaždice typu A.

Příklady pravidel konce dělení

Barycentrické dělení je příkladem pravidla dělení s jedním typem hrany (která se dělí na dvě hrany) a jedním typem dlaždice (trojúhelník, který se dělí na 6 menších trojúhelníků). Jakýkoli triangulovaný povrch je barycentrický subdivizní komplex [1] .

Obklad Penrose lze získat pomocí pravidla dělení na sadu čtyř typů dlaždic (křivky v tabulce níže pouze ukazují, jak do sebe dlaždice zapadají):

název	Počáteční dlaždice	Generace 1	Generace 2	Generace 3
Polodeltoidní
poloviční šíp
slunce
Hvězda

Některá racionální zobrazení dávají vzniknout pravidlům konečného dělení [2] . Zahrnují většinu displejů Latte [3] .

Jakýkoli jednoduchý neoddělitelný alternativní doplněk uzlu nebo článku má pravidlo dělení s některými dlaždicemi, které nejsou rozděleny podle hranic doplňku článku [4] . Pravidla dělení ukazují, jak by vypadala noční obloha, kdyby někdo žil v komplementu uzlu V tomto případě se vesmír zabalí (tj. není jednoduše spojen ) a pozorovatel by viděl, jak se viditelná část vesmíru opakuje sám sebe v nekonečné mozaice. Pravidlo dělení popisuje tento obklad.

Pravidlo dělení vypadá pro různé geometrie jinak. Zde je pravidlo dělení pro trojlístek , který není hyperbolickým odkazem :

A zde je pravidlo dělení pro boromejské prsteny , které jsou hyperbolické:

V každém případě pravidlo dělení funguje na určité mozaikování koule (tj. noční oblohy), ale je snazší nakreslit malou část hvězdné oblohy odpovídající jedné mnohokrát rozdělené dlaždici. Co se stane s jetelem:

A pro boromejské prsteny:

Pravidla dělení v jiných dimenzích

Pravidla dělení lze zobecnit na další dimenze [5] . Například barycentrické dělení je použitelné ve všech dimenzích. Binární dělení lze také zobecnit na jiné dimenze (kde jsou hyperkrychle rozděleny středními nadrovinami), jako v důkazu Heine-Borelova lemmatu .

Přísná definice

Konečné pravidlo dělení se skládá z následujícího [1] . $R$

1. Konečný 2-rozměrný CW-komplex , nazývaný subdivision complex , s pevnou buněčnou strukturou tak, že jde o spojení uzavřených 2-buněk. Předpokládáme, že pro každou uzavřenou 2-buňku komplexu existuje CW struktura na uzavřeném 2-disku taková, že má alespoň dva vrcholy, vrcholy a hrany jsou obsaženy v a charakteristické mapování na je omezeno na homeomorfismus. do každé otevřené buňky. $S_{R}$ $S_{R}$ ${\tilda {s}}$ $S_{R}$ $s$ $s$ $s$ $\partial s$ ${\displaystyle \psi _{s}:s\rightarrow S_{R))$ ${\tilda {s}}$

2. Konečný dvourozměrný CW komplex , který je poddělením . $R(S_{R})$ $S_{R}$

3. Spojité mapování buněk , nazývané subdivision mapping , jehož omezení na každou otevřenou buňku je homeomorfismus. ${\displaystyle \phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R))$

Každý CW komplex ve výše uvedené definici (s charakteristickým mapováním ) se nazývá dlaždicový typ . $s$ ${\displaystyle \psi _{s))$

$R$ -komplex pro pravidlo dělení je dvourozměrný CW-komplex , což je spojení uzavřených 2 buněk spolu se spojitým mapováním buněk , jehož omezení na každou otevřenou buňku je homeomorfismus. Můžeme rozdělit do komplexu tím, že požadujeme, aby generované mapování bylo omezeno na homeomorfismus pro každou ohraničenou buňku. opět - komplexní s mapováním . Opakováním procesu získáme posloupnost rozčleněných -komplexů s zobrazeními . $R$ $X$ $f:X\rightarrow S_{R}$ $X$ $R(X)$ $f:R(X)\rightarrow R(S_{R})$ $R(X)$ $R$ ${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R))$ $R$ $R^{n}(X)$ ${\displaystyle \phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R))$

Binární dělení je jedním příkladem: [6]

Komplex dělení lze vytvořit slepením protilehlých hran čtverce k sobě, čímž se komplex dělení změní na torus . Zobrazení dělení je zobrazení dvojitého torusu, které dvakrát omotává poledník kolem sebe, a to samé pro zeměpisnou šířku. To znamená, že se jedná o čtyřnásobný kryt . Rovina vydlážděná čtverci je komplex dělení pro toto pravidlo dělení se strukturálním mapováním daným standardním mapováním pokrytí. Při dělení je každý čtverec v rovině rozdělen na čtverce o velikosti čtvrtiny. $S_{R}$ $\phi$ $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})$

Vlastnosti kvaziizometrie

Pravidla dělení lze použít ke studiu kvaziizometrických vlastností určitých povrchů [7] . Vzhledem k pravidlu dělení a komplexu dělení můžeme sestavit graf nazývaný graf historie , který zaznamenává akce pravidla dělení. Graf se skládá z duálních grafů každého kroku spolu s hranami spojujícími každou dlaždici s jejími pododděleními v . $R$ $X$ $R^{n}(X)$ $R^{n}(X)$ $R^{n+1}(X)$

Kvaziizometrické vlastnosti historických grafů lze studovat pomocí pravidel dělení. Například, graf historie je kvazi-isometrie hyperbolického prostoru přesně tehdy, když jsou pravidla dělení konformní , jak je popsáno v Riemannově kombinatorickém teorému o mapování [7] .

Aplikace

Mozaika Girih v islámské architektuře je sobě podobný obklad, který lze modelovat podle konečných pravidel dělení [8] . V roce 2007 Peter Lu Harvardské univerzity a profesor Paul Steinhardt z Princetonské univerzity publikovali článek v časopise Science , který se domníval, že tyto obklady mají vlastnosti odpovídající sobě podobným fraktálním kvazikrystalickým obkladům , jako jsou Penrose obklady obklad byl navržen v roce 1974). , ale mozaiky girih byly používány o pět století dříve [9] [10] .

Rozdělené povrchy v počítačové grafice používají pravidla dělení ke zjemnění povrchu na danou úroveň přesnosti. Na těchto děleních povrchu (jako je rozdělený povrch Catmull-Clark ) se vezme polygonová síť (používaná pro 3D animaci ve filmech) a zjemní se na síť s velkým počtem polygonů přidáváním a posouváním bodů podle různých rekurzivních vzorce [11] . Ačkoli se v tomto procesu posune mnoho bodů, každá nová síť je kombinatoricky poddělením staré sítě (to znamená, že pro jakoukoli hranu a vrchol staré sítě můžete určit hranu a vrchol nové sítě plus několik dalších hran a vrcholy).

Pravidla dělení použili Cannon, Floyd a Parry (2000) ke studiu struktur rostoucích biologických organismů [6] . Cannon, Floyd a Parry vyvinuli matematický model růstu, který ukazuje, že některé systémy definované jednoduchými pravidly konečného dělení vedou k objektům (v jejich případě kmen stromu), jejichž tvary velkého objemu v průběhu času značně kolísají, ačkoli místní pravidla pododdělení zůstávají stejná [6] . Cannon, Floyd a Parry také aplikovali svůj model na analýzu růstu tkáně u potkanů [6] . Navrhli, že „negativně zakřivená“ (nebo neeuklidovská) povaha mikroskopických růstových struktur biologických organismů je jedním z klíčových důvodů, proč organismy ve velkém měřítku nevypadají jako krystaly nebo mnohostěny, ale ve skutečnosti v mnoha případy připomínají sobě podobné fraktály [6] . Zejména navrhli, že taková „negativně zakřivená“ místní struktura se projevuje ve vysoce složené a vysoce propojené povaze tkání mozku a plic [6] .

Cannonova hypotéza

Cannon , Floyd a Parry byli první, kdo studoval pravidla konečného dělení ve snaze dokázat následující domněnku:

Cannonův dohad : Jakákoli Gromovova hyperbolická grupa s 2-koulí v nekonečnu působí geometricky na hyperbolický 3-prostor [7] .

Zde je geometrické působení kompaktní, zcela nespojité působení izometrií. Tuto domněnku částečně vyřešil Grigory Perelman ve svém důkazu [12] [13] [14] Thurstonovy domněnky , který uvádí (zejména), že každá Gromovova hyperbolická grupa, která je grupou 3-variety, musí působit geometricky v hyperbolickém 3-místný. Zbývá však ukázat, že Gromovova hyperbolická grupa s 2-koulí v nekonečnu je grupou 3-variet.

Cannon a Swenson ukázali [15] , že hyperbolická grupa s 2-koulí v nekonečnu má přidružené pravidlo dělení. Pokud je toto pravidlo dělení v určitém smyslu konformní, bude grupa 3-variční grupa s geometrií hyperbolického 3-prostoru [7] .

Riemannova věta o kombinatorickém mapování

Pravidla dělení dávají posloupnost obkladů povrchu a obklady dávají představu o vzdálenosti, délce a ploše (za předpokladu, že každá dlaždice má délku a plochu 1). V limitu může vzdálenost, která je výsledkem těchto obkladů, v jistém smyslu konvergovat k analytické struktuře na povrchu. Riemannova věta o kombinatorickém zobrazení dává nezbytnou a postačující podmínku, aby se tak stalo [7] .

K formulaci věty je nutná určitá příprava. Obložení prstence dává dva invarianty a , nazývané aproximační moduly . Jsou podobné klasickému modulu prstence [16] . Určují se pomocí váhových funkcí . Funkce váhy přiřadí každé dlaždici nezáporné číslo nazývané váha . Pro jakoukoli cestu v můžete zadat délku jako součet hmotností všech dlaždic v cestě. Výšku cesty v definujeme jako infimum délky všech možných cest spojujících vnitřní hranici s vnější hranicí. Obvod kruhu v je infimum délky všech možných drah, které tvoří cyklus v prstenci (tj. nejsou homotopické k nule v R). Oblast prstence v je definována jako součet druhých mocnin všech vah v . Nyní pojďme definovat $T$ $R$ $M_{sup}(R,T)$ $m_{inf}(R,T)$ $\rho$ $T$ $R$ $H(\rho )$ $R$ $\rho$ $R$ $C(\rho )$ $R$ $\rho$ $A(\rho )$ $R$ $\rho$ $R$

M_{sup}(R,T)=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )))

{\displaystyle m_{inf}(R,T)=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2))))

Všimněte si, že tyto veličiny jsou při metrickém měřítku neměnné.

Sekvence dlaždic je konformní ( ) , pokud má hodnota buňky tendenci k 0 a: $T_{1},T_{2},...$ $K$

Pro všechny prstence leží aproximační moduly a pro všechny dostatečně velké ve stejném intervalu formuláře $R$ $M_{sup}(R,T_{i})$ $m_{inf}(R,T_{i})$ $i$ $[r,Kr]$
Daný bod na povrchu, okolí bodu , a celé číslo , pak existuje kruh v oddělování x od doplňku , takže aproximační moduly kruhu jsou větší než číslo z nějakého [7] . $X$ $N$ $X$ $já$ $R$ $N\setminus \{x\}$ $N$ $i$ $R$ $já$

Prohlášení věty

Pokud je posloupnost dlaždic na ploše konformní ( ) ve smyslu popsaném výše, pak na povrchu existuje konformní struktura a konstanta závisí pouze na tom, pro kterou klasické moduly a aproximační moduly (pro dostatečně velké ) jakýkoli daný kruh je -srovnatelný, což znamená, že leží ve stejném intervalu [7] . $T_{1},T_{2},...$ $K$ $K'$ $K$ $T_{i}$ $i$ $K'$ $[r,K'r]$

Důsledky

Z Riemannovy věty o kombinatorickém mapování vyplývá, že grupa působí geometricky na právě tehdy a jen tehdy, je-li grupa Gromovova hyperbolická, má kouli v nekonečnu a pravidla přirozeného dělení na kouli dávají posloupnost dlaždic, které jsou konformní ve smyslu popsaném výše. . Tudíž, Cannonova domněnka bude pravdivá, pokud budou všechna taková pravidla dělení konformní [15] . $G$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3))$

Poznámky

↑ 1 2 3 Cannon, Floyd, Parry, 2001 , str. 153-196.
↑ Cannon, Floyd, Parry, 2007 , str. 128-136.
↑ Cannon, Floyd, Parry, 2010 , str. 113-140.
↑ Rushton, 2010 , str. 1-13.
↑ Rushton, 2012 , str. 23–34.
↑ 1 2 3 4 5 6 Cannon, Floyd, Parry, 2000 , str. 65-82.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Dělo, 1994 , str. 155-234.
↑ Lu, 2007 , str. 1106–1110.
↑ Lu, Steinhardt, 2007 , str. 1106–1110.
↑ Doplňující údaje Archivováno 26. března 2009.
↑ Zorin, 2006 .
↑ Perelman, Grisha (11. listopadu 2002), Vzorec entropie pro Ricciho tok a jeho geometrické aplikace, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG].
↑ Perelman, Grisha (10. března 2003), Ricciho tok s operací na třech rozdělovačích, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG].
↑ Perelman, Grisha (17. července 2003), Konečný extinkční čas pro řešení Ricciho toku na určitých varietách, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG].
↑ 1 2 Cannon, Swenson, 1998 , str. 809-849.
↑ Modul prstence je převrácená hodnota extrémní délky skupiny uzavřených křivek v prstenci ${\displaystyle r_{1}\leq |z|\leq r_{2))$

Literatura

B. Rushton. Pravidlo konečného dělení pro n-rozměrný torus // Geometriae Dedicata. - 2012. - T. 167 . — S. 23–34 . - doi : 10.1007/s10711-012-9802-5 .
Petr J Lu. Dekagonální a kvazikrystalické obklady ve středověké islámské architektuře // Věda. - 2007. - T. 315 . - S. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
Peter J. Lu, Paul J. Steinhardt. Dekagonální a kvazikrystalické obklady ve středověké islámské architektuře // Věda . - 2007. - T. 315 , č.p. 5815 . - S. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Pravidla konečného dělení // Konformní geometrie a dynamika. - 2001. - T. 5 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Konstrukce pravidel dělení z racionálních map // Konformní geometrie a dynamika. - 2007. - T. 11 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Lattèsovy mapy a pravidla dělení // Konformní geometrie a dynamika. - 2010. - T. 14 .
JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Tvorba vzorů v biologii, vidění a dynamice. - World Scientific, 2000. - ISBN 981-02-3792-8 , 978-981-02-3792-9 ..
B. Rushton. Vytváření pravidel dělení ze střídavých odkazů // Conform. Geom.. - 2010. - Vydání. 14 .
James W. Cannon. Kombinatorický Riemannův teorém o mapování // Acta Mathematica . - 1994. - T. 173 , no. 2 .
JW Cannon, EL Swenson. Rozpoznání diskrétních skupin konstantního zakřivení v dimenzi 3 // Transactions of the American Mathematical Society. - 1998. - T. 350 , čís. 2 .
D. Zorin. Poddělení na libovolných sítích: algoritmy a teorie. - Institut matematických věd (Singapur), 2006. - (Série poznámek z přednášek).

Odkazy

Výzkumná stránka Billa Floyda . Tato stránka obsahuje většinu výzkumných prací od Cannona, Floyda a Parryho o pravidlech dělení a také galerii pravidel dělení.

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"