Trojlístek | |
---|---|
Trojlístek pro levou ruku | |
Notový zápis | |
Conway | [3] |
Alexander-Briggs | 3 1 |
Dowker | 4, 6, 2 |
Polynomy | |
Alexander | |
Jones | |
Kaufman | |
Conway | |
HOMFLY | |
Invarianty | |
Arfa invariant | jeden |
Délka copu | 3 |
Počet vláken | 2 |
Počet mostů | 2 |
Počet filmů | jeden |
Počet křižovatek | 3 |
Rod | jeden |
Počet segmentů | 6 |
Počet tunelů | jeden |
Rozvázat číslo | jeden |
Vlastnosti | |
Jednobarevné , torické , střídavé , krajkové , nestříhané , oboustranné , trikolorní , kroucené , vrstvené | |
Mediální soubory na Wikimedia Commons |
V teorii uzlů je trojlístek [1] nejjednodušší netriviální uzel . Trojlístek lze získat spojením 2 volných konců pravidelného jednoduchého uzlu , což má za následek zauzlovaný prsten . Jako nejjednodušší uzel je trojlístek základním předmětem ve studiu matematické teorie uzlů , která má rozmanité aplikace v topologii , geometrii , fyzice , chemii a iluzionismu .
Trojlístek lze definovat jako křivku, která je výsledkem následujících parametrických rovnic :
(2,3) - torusový uzel je trojlístek. Následující parametrické rovnice definují (2,3)-torusový uzel na torusu :
Jakákoli spojitá deformace této křivky je rovněž považována za trojlístek. Zejména jakákoli křivka izotopická k trojlístku je také považována za trojlístek. Kromě toho je za trojlístek považován i zrcadlový obraz trojlístku. V topologii a teorii uzlů je trojlístek obvykle definován pomocí diagramu .
V algebraické geometrii lze trojlístek získat jako průsečík v C 2 jednotky 3-koule S 3 s komplexní rovinnou křivkou nul komplexního polynomu z 2 + w 3 ( semikubická parabola ).
Otočíme-li jeden konec pásky 3x a poté přilepíme na druhý konec, dostaneme trojlístek [2] .
Trojlístek je chirální v tom smyslu, že trojlístek se liší od svého vlastního zrcadlového obrazu. Dvě varianty trojlístku jsou známé jako levoruké a praváky . Není možné transformovat levotočivou variantu na pravotočivou kontinuálním způsobem nebo naopak deformací, to znamená, že tyto dva trojlístky nejsou izotopové.
Přestože je trojlístek chirální, je reverzibilní , což znamená, že nezáleží na tom, zda trojlístek jde ve směru nebo proti směru hodinových ručiček.
Trojlístek je netriviální, což znamená, že trojlístek není možné ve 3D "rozvázat" bez jeho rozříznutí. Matematicky to znamená, že trojlístek není izotopický k triviálnímu uzlu . Zejména zde není žádná sekvence Reidemeisterových pohybů , kterými by se uzel rozvazoval.
Důkaz toho vyžaduje konstrukci invariantu uzlu , který se liší od triviálního invariantu uzlu. Nejjednodušší takový invariant je trikolorní zbarvení - trojlístek umožňuje trikolorní zbarvení, ale triviální uzel nikoli. Také každý základní polynom trojlístkového uzlu se liší od triviálního polynomu uzlu, stejně jako většina ostatních invariantů.
V teorii uzlů je trojlístek první netriviální uzel a jediný uzel se třemi průsečíky . Je prvočíslo a je uvedeno s číslem 3 1 v notaci Alexander-Briggs . Dowkerův zápis pro jetel je 4 6 2 a Conwayův zápis pro jetel je [3].
Trojlístek lze popsat jako (2,3) -torusový uzel . Tento uzel získáte uzavřením opletu σ 1 3 .
Trojlístek je střídavý uzel . Nejedná se však o řezaný uzel , což znamená, že neomezuje 2-disk na 4-d kouli. Abychom to ukázali, je třeba poznamenat, že jeho podpis je nenulový. Dalším důkazem je, že Alexanderův polynom nesplňuje Fox-Milnorovu podmínku .
Trojlístek je vláknitý , což znamená, že jeho doplněk je lokálně triviální vláknění přes kruh . V modelu trojlístku jako množina dvojic komplexních čísel , jako je a , má tento lokálně triviální svazek Milnorovo mapování jako svazek a vyražený torus jako povrch svazku.
Alexandrův polynom trojlístku je
a Conwayův polynom [3] je
a Kaufmanův polynom trojlístku je
Skupina jetelových uzlů je dána znázorněním
nebo ekvivalentně [4] ,
Tato skupina je izomorfní ke skupině copu se třemi vlákny.
Jako nejjednodušší netriviální uzel je trojlístek častým motivem ikonografie a výtvarného umění .
Staroseverský přívěsek Mjolnir s jetelem
Jednoduchý symbol triquetra
hustá triquetra
německý Valknut
Kovový Valknut v podobě trojlístku
Shamrock použitý v logu aTV
Orientační plocha ohraničená trojlístkem
Möbiův pás , ohraničený trojlístkem
Je přítomen na nejnovějších moderních norských mincích Haralda Hardroda (1047-1066), pro které se tento trojitý uzel stal zpravidla nejtypičtějším obrazem vyplňujícím averzní pole. [5]
Motiv trojitého uzlu, který se vyskytuje na západoevropských mincích pocházejících z karolínských ražeb a zejména z arcibiskupských dílen v Andernachu, Kolíně nad Rýnem, Huy nebo Štrasburku (531), lze s největší pravděpodobností považovat výhradně za symbol Nejsvětější Trojice. [5]
Přítomno na předkřesťanských mincích v Yorku a Hedeby a na náhrobcích 8.–9. století. na ostrově Gotland. [5]