Trojlístek (uzel)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. července 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Trojlístek
Trojlístek pro levou ruku
Notový zápis
Conway	[3]
Alexander-Briggs	3 1
Dowker	4, 6, 2
Polynomy
Alexander	$t-1+t^{{-1}}$
Jones	$q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}$
Kaufman	${\displaystyle za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2))$
Conway	$z^{2}+1$
HOMFLY	${\displaystyle -\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2))$
Invarianty
Arfa invariant	jeden
Délka copu	3
Počet vláken	2
Počet mostů	2
Počet filmů	jeden
Počet křižovatek	3
Rod	jeden
Počet segmentů	6
Počet tunelů	jeden
Rozvázat číslo	jeden
Vlastnosti
Jednobarevné , torické , střídavé , krajkové , nestříhané , oboustranné , trikolorní , kroucené , vrstvené
Mediální soubory na Wikimedia Commons

V teorii uzlů je trojlístek [1] nejjednodušší netriviální uzel . Trojlístek lze získat spojením 2 volných konců pravidelného jednoduchého uzlu , což má za následek zauzlovaný prsten . Jako nejjednodušší uzel je trojlístek základním předmětem ve studiu matematické teorie uzlů , která má rozmanité aplikace v topologii , geometrii , fyzice , chemii a iluzionismu .

Popisy

Trojlístek lze definovat jako křivku, která je výsledkem následujících parametrických rovnic :

{\begin{cases}x=\sin t+2\sin 2t,\\y=\cos t-2\cos 2t,\\z=-\sin 3t.\end{cases))

(2,3) - torusový uzel je trojlístek. Následující parametrické rovnice definují (2,3)-torusový uzel na torusu : $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

{\begin{cases}x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\\y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\\z=\sin 3t.\end{cases} }

Jakákoli spojitá deformace této křivky je rovněž považována za trojlístek. Zejména jakákoli křivka izotopická k trojlístku je také považována za trojlístek. Kromě toho je za trojlístek považován i zrcadlový obraz trojlístku. V topologii a teorii uzlů je trojlístek obvykle definován pomocí diagramu .

V algebraické geometrii lze trojlístek získat jako průsečík v C 2 jednotky 3-koule S 3 s komplexní rovinnou křivkou nul komplexního polynomu z 2 + w 3 ( semikubická parabola ).

Otočíme-li jeden konec pásky 3x a poté přilepíme na druhý konec, dostaneme trojlístek [2] .

Symetrie

Trojlístek je chirální v tom smyslu, že trojlístek se liší od svého vlastního zrcadlového obrazu. Dvě varianty trojlístku jsou známé jako levoruké a praváky . Není možné transformovat levotočivou variantu na pravotočivou kontinuálním způsobem nebo naopak deformací, to znamená, že tyto dva trojlístky nejsou izotopové.

Přestože je trojlístek chirální, je reverzibilní , což znamená, že nezáleží na tom, zda trojlístek jde ve směru nebo proti směru hodinových ručiček.

Netriviálnost

Trojlístek je netriviální, což znamená, že trojlístek není možné ve 3D "rozvázat" bez jeho rozříznutí. Matematicky to znamená, že trojlístek není izotopický k triviálnímu uzlu . Zejména zde není žádná sekvence Reidemeisterových pohybů , kterými by se uzel rozvazoval.

Důkaz toho vyžaduje konstrukci invariantu uzlu , který se liší od triviálního invariantu uzlu. Nejjednodušší takový invariant je trikolorní zbarvení - trojlístek umožňuje trikolorní zbarvení, ale triviální uzel nikoli. Také každý základní polynom trojlístkového uzlu se liší od triviálního polynomu uzlu, stejně jako většina ostatních invariantů.

Klasifikace

V teorii uzlů je trojlístek první netriviální uzel a jediný uzel se třemi průsečíky . Je prvočíslo a je uvedeno s číslem 3 1 v notaci Alexander-Briggs . Dowkerův zápis pro jetel je 4 6 2 a Conwayův zápis pro jetel je [3].

Trojlístek lze popsat jako (2,3) -torusový uzel . Tento uzel získáte uzavřením opletu σ 1 3 .

Trojlístek je střídavý uzel . Nejedná se však o řezaný uzel , což znamená, že neomezuje 2-disk na 4-d kouli. Abychom to ukázali, je třeba poznamenat, že jeho podpis je nenulový. Dalším důkazem je, že Alexanderův polynom nesplňuje Fox-Milnorovu podmínku .

Trojlístek je vláknitý , což znamená, že jeho doplněk je lokálně triviální vláknění přes kruh . V modelu trojlístku jako množina dvojic komplexních čísel , jako je a , má tento lokálně triviální svazek Milnorovo mapování jako svazek a vyražený torus jako povrch svazku. $S^{3}$ $S^{1}$ $(z,w)$ $|z|^2+|w|^2=1$ $z^2+w^3=0$ $\phi(z,w)=( z^2+w^3)/|z^2+w^3|$

Invarianty

Alexandrův polynom trojlístku je

\Delta (t)=t-1+t^{-1},

a Conwayův polynom [3] je

\nabla(z) = z^2 + 1.

Jonesův polynom -

V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},

a Kaufmanův polynom trojlístku je

L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}- 2a^{2}.

Skupina jetelových uzlů je dána znázorněním

\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle

nebo ekvivalentně [4] ,

\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .

Tato skupina je izomorfní ke skupině copu se třemi vlákny.

Trojlístek v náboženství a kultuře

Jako nejjednodušší netriviální uzel je trojlístek častým motivem ikonografie a výtvarného umění .

Staroseverský přívěsek Mjolnir s jetelem
Jednoduchý symbol triquetra
hustá triquetra
německý Valknut
Kovový Valknut v podobě trojlístku
Shamrock použitý v logu aTV
Orientační plocha ohraničená trojlístkem
Möbiův pás , ohraničený trojlístkem

Je přítomen na nejnovějších moderních norských mincích Haralda Hardroda (1047-1066), pro které se tento trojitý uzel stal zpravidla nejtypičtějším obrazem vyplňujícím averzní pole. [5]

Motiv trojitého uzlu, který se vyskytuje na západoevropských mincích pocházejících z karolínských ražeb a zejména z arcibiskupských dílen v Andernachu, Kolíně nad Rýnem, Huy nebo Štrasburku (531), lze s největší pravděpodobností považovat výhradně za symbol Nejsvětější Trojice. [5]

Přítomno na předkřesťanských mincích v Yorku a Hedeby a na náhrobcích 8.–9. století. na ostrově Gotland. [5]

Viz také

Seznam jednoduchých uzlů
Seznam uzlů

Poznámky

↑ Sosinský A.B. Uzly. Chronologie jedné matematické teorie. - S. 15 - Moskva: Bureau Quantum, 2009. - ISBN 978-5-85843-090-2
↑ Shaw, 1933 , str. jedenáct.
↑ 3_1 Archivováno 30. srpna 2013 ve Wayback Machine , The Knot Atlas.
↑ Weisstein, Eric W. Trefoil Knot na webu Wolfram MathWorld . Přístup: 5. května 2013.
↑ 1 2 3 Kersnovsky R. Mince v kultuře středověku. - za z polštiny. a komentovat. cand. ist. vědy. T.Yu Stukalová - S. 414 - Moskva: 2018 - ISBN: 978-5-89076-320-4

Literatura

George Russell Shaw. Uzly: Užitečné a okrasné. - 1933. - ISBN 978-0-517-46000-9 .

Odkazy

Wolframalpha: (2,3)-torusový uzel

Teorie uzlů a vazeb
Hyperbolický	Osm ( 41 ) Tři poloviční otáčky (5 2 ) Stevedoring ( 61 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick ( 818 ) Pár Percos (10 161 ) Krajka (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Boromejské prsteny (63 2) L10a140
satelit	sloučenina ( babiy ) rovný Součet uzlů
torický	Triviální (0 1 ) Trojlístek ( 31 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Unlinked (02 1) Hopf (22 1) Šalamoun (42 1)
Invarianty	střídavé Arfa invariant Počet mostů ( 2 mosty ) Brunnianský odkaz Chiralita ( reverzibilní ) Počet filmů Počet křižovatek Vasiliev invariantní Hyperbolický objem Khovanovova homologie Rod Skupina uzlů Skupina ozubených kol Převodový poměr Polynomy ( Alexandr Kauffmanův držák HOMFLY Jones Kaufman ) Zasnoubení krajky Jednoduchý uzel ( seznam ) Počet segmentů Počet trikolorních zbarvení Počet a úkol rozvázání
Notace a operace	Notace Alexander–Briggs Conwayova notace Docker notace Mutace Reidemeister hnutí Skene poměr
jiný	Alexandrova věta Berge uzel copánková teorie Conwayova koule Dokončení uzlu Dvojitý torusový uzel Vrstvený uzel Páska Střih Součet uzlů Tateovy hypotézy Zkroucený Divoký Twist číslo Seifertův povrch