V teorii uzlů je brunnianský článek netriviální článek , který se rozpadne, když je odstraněna jakákoli součást. Jinými slovy, řezání jakéhokoli (topologického) prstence odpojí všechny ostatní prstence (proto žádné dva prsteny nejsou spojeny, jako v Hopfově odkazu ).
Název brunnovo je dán na počest Hermanna Brunna , který v článku z roku 1892 v Über Verkettung uvedl příklady takových převodů.
Nejznámějším a nejjednodušším brunnským článkem jsou boromejské prsteny , spojení tří prstenů. Avšak pro jakékoli číslo, počínaje třemi, existuje nekonečný počet brunnských vazeb obsahujících takový počet prstenů. Existuje několik relativně jednoduchých třísložkových vazeb, které nejsou ekvivalentní boromejským prstencům:
Propojení s 12 křižovatkami.
Propojení s 18 křižovatkami.
Propojení s 24 křižovatkami.
Nejjednodušším brunnským spojem kromě boromejských prstenců (má 6 průniků) se zdá být spoj L10a140 s 10 průsečíky [1] .
Příkladem n - komponentního Brunnianského spojení je Brunnianský „gumový prstencový“ článek , kde každá složka obaluje předchozí ve schématu aba −1 b −1 a poslední prstenec je spojen s prvním, čímž tvoří cyklus .
Brunnianské vazby jsou popsány až do homotopie Johnem Milnorem v článku z roku 1954 [2] a jím zavedené invarianty se nyní nazývají Milnorovy invarianty .
Složku ( n + 1) odkaz lze chápat jako prvek skupiny odkazů n nepropojených složek (skupina odkazů je v tomto případě základní skupinou doplňku odkazu ). Linková skupina n nespojených komponent je volným součinem n generátorů, tj. volné skupiny F n .
Ne každý prvek grupy F n generuje Brunnianskou vazbu. Milnor ukázal, že skupina prvků odpovídajících Brunnianovým vazbám souvisí s odstupňovanou Lieovou algebrou nižší centrální řady volné grupy a lze ji chápat jako "vztahy" ve volné Lieově algebře .
Brunnianské vazby lze chápat v termínech produktů Massey : produkt Massey je n - terminální produkt, který je definován pouze v případě, že všechny ( n − 1)-term produkty zmizí. To odpovídá vlastnosti Brunnian link, ve které všechny množiny ( n − 1) komponent nejsou propojeny, ale všech n komponent dohromady tvoří netriviální vazbu.
Brunnianský cop je cop, který se stává triviálním, když je některý z jeho pramenů odstraněn. Brunnian copánky tvoří podskupinu ve skupině copánků . Brunnianské copánky na kouli , které na (plochém) disku nejsou brunnovské, poskytují netriviální prvky v homotopických skupinách koule. Například „standardní“ cop odpovídající boromejským prstencům dává Hopfovu vláknitost S 3 → S 2 a pokračování takové vazby také dává brunský cop.
Mnoho rozuzlovacích hlavolamů a některé mechanické hlavolamy jsou variantami Brunnianských vazeb a jejich cílem je uvolnit nějaký prvek, který je částečně spojen se zbytkem skládačky.
Řetízky Brunn se používají k vytváření ozdobných šperků z gumových prstenů pomocí zařízení jako Wonder Loom (nebo jeho varianta Rainbow Loom).