Hopfův svazek

Hopfova fibrace je příkladem lokálně triviální fibrace trojrozměrné koule přes dvourozměrnou s kružnicí vrstvy:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2}

Hopfův svazek není triviální. Je to také důležitý příklad hlavního svazku .

Jedním z nejjednodušších způsobů, jak definovat tento svazek, je reprezentovat 3-kouli jako jednotkovou kouli v , a 2-kouli jako komplexní projektivní čáru . Poté se zobrazí: $S^{3}$ $\mathbb {C} ^{2}$ $S^{2}$ $\mathbb {C} P^{1}$

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

a definuje Hopfův svazek. V tomto případě budou vlákna svazku oběžné dráhy volného působení skupiny : $S^{1}$

\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})

kde kruh je reprezentován jako množina jednotkových modulo komplexních čísel:

{\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\))

Zobecnění

Zcela podobně je koule s lichými rozměry stratifikována s kruhem vrstvy přes . Někdy se tomuto svazku říká také Hopfův svazek. $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} P^{n}$

Také (kromě " komplexních ") existují reálné , quaternionové a oktávové verze takových rodin svazků. Začínají s:

{\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1))

(nemovitý),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(komplex - správná Hopfova fibrace),

{\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4))

(čtveřice),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(oktáva).

Takové svazky koule , pro které jsou koulemi vrstva, základna i celkový prostor, jsou možné pouze v případech . Exkluzivita těchto případů je dána tím, že násobení v bez nulových dělitelů lze definovat pouze pro . $S^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,3,7,15\))$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n\in \{1,2,4,8\}$

Viz také

Riemannova koule je komplexní projektivní čára, základní rozdělovač Hopfova svazku
Unitární skupina U(1) je strukturní skupinou Hopfova svazku
Trojrozměrná koule - celkový prostor Hopfovy fibrace
Poincarého sféra a Blochova sféra — Hopfův svazek ve fyzice popisuje polarizaci příčné vlny, stav dvouúrovňového kvantového systému, relativistické zkreslení nebeské sféry atd . [1] [2]
Sféra Milnor

Poznámky

↑ R. Penrose, W. Rindler. Spinory a časoprostor, spinorové a twistorové metody v geometrii časoprostoru . - Moskva "Mir", 1988. - S. 78. (Ruština) Archivovaný výtisk (nepřístupný odkaz) . Datum přístupu: 1. února 2012. Archivováno z originálu 3. října 2015. (neurčitý)
↑ D.N. Klyshko. Berry geometrická fáze v oscilačních procesech // Uspekhi fizicheskikh nauk : zhurnal. - Ruská akademie věd , 1993. - T. 163 , č. 11 . - S. 1 . (Ruština)

Hopfův svazek

Zobecnění

Viz také

Poznámky

Odkazy