Blochova koule

Blochova koule je způsob, jak reprezentovat čisté stavy qubitu jako body na kouli .

Pojmenován po Felix Bloch .

Popis

Vlnová funkce popisující čistý stav qubitu může být reprezentována jako superpozice jeho dvou základních stavů a [1] : $|\mathbf {\psi } \rangle$ $|\mathbf {0} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$ $|\mathbf {1} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$

|\mathbf {\psi } \rangle =c_{0}|\mathbf {0} \rangle +c_{1}|\mathbf {1} \rangle ,\qquad c_{0},c_{1} \in \mathbb {C} ,\quad |c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1

Tato reprezentace se skládá ze 4 reálných parametrů. Kvůli omezením však lze počet parametrů snížit.

Protože koeficienty a jsou komplexní čísla , mohou být reprezentovány v polárním souřadnicovém systému : ${\displaystyle c_{0))$ $c_{{1}}$

c_{0}=r_{0}e^{i\phi _{0}}\qquad c_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}}

kde a jsou absolutní hodnoty a a jsou úhly. ${\displaystyle r_{0))$ ${\displaystyle r_{1))$ $\phi _{0}$ $\phi _{{1}}$

Když dosadíme polární reprezentaci koeficientů v původním výrazu za , dostaneme: $|\mathbf {\psi } \rangle$

|\mathbf {\psi } \rangle =r_{0}e^{i\phi _{0))|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1 }}|\mathbf {1} \rangle

Vlnové funkce, které se od sebe liší násobením komplexním číslem , jsou nerozlišitelné. Pokud tedy přijmeme , pak stav uvažovaného qubitu může být reprezentován jako ${\displaystyle e^{i\xi ))$ $\xi =-\phi _{0}$

|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))\left( r_{0}e^{i\phi _{0}}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1}}|\mathbf {1} \rangle \right) =r_{0}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i(\phi _{1}-\phi _{0})}|\mathbf {1} \rangle

Počet nezávislých reálných parametrů potřebných k popisu systému jednoho qubitu lze tedy snížit na tři: absolutní hodnoty a , stejně jako rozdíl úhlu . ${\displaystyle r_{0))$ ${\displaystyle r_{1))$ $\phi =\phi _{1}-\phi _{0};\;\phi \in [0,2\pi )$

Z výše uvedeného omezení vyplývá, že . Absolutní hodnoty tedy mohou být také reprezentovány jako $|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1$ $r_{0}^{2}+r_{1}^{2}=1$

r_{0}=\cos {\tfrac {\theta }{2}}\qquad r_{1}=\sin {\tfrac {\theta }{2}}

kde je nějaký úhel. $\theta \in [0,\pi ]$

Počáteční stav kvantového systému sestávajícího z jediného qubitu lze tedy ekvivalentně popsat pouze pomocí dvou reálných parametrů, úhlů a : $\phi$ $\theta$

|\mathbf {\psi } \rangle =\cos {\tfrac {\theta }{2))|\mathbf {0} \rangle +e^{i\phi }\sin {\tfrac {\theta }{2}}|\mathbf {1} \rangle

Protože úhly a jsou nezávislé, lze je považovat za zeměpisnou délku a šířku na určité kouli zvané Blochova koule (viz obrázek). $\phi$ $\theta$

Matematický aparát kvantové mechaniky používá Hilberta , přesněji řečeno, komplexní projektivní Hilbertův prostor k popisu fyzikálních systémů. Prostor čistých stavů kvantového systému je dán přímkami Hilbertova prostoru (resp. body projektivního Hilbertova prostoru). V případě dvourozměrného Hilbertova prostoru je to jednoduše komplexní projektivní čára , kterou lze identifikovat s koulí . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {S} ^{1))$

Blochova koule je jediná dvourozměrná koule, jejíž každá dvojice diametrálně opačných bodů odpovídá vzájemně ortogonálním stavovým vektorům. Obvykle se předpokládá, že severní a jižní pól Blochovy koule odpovídají základním vektorům a , které zase mohou odpovídat například dvěma elektronovým spinovým stavům („spin up“ a „spin down“). Tento výběr bodů je však libovolný. Body na povrchu koule odpovídají čistým stavům kvantového systému, zatímco body uvnitř koule představují smíšené stavy. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Viz také

Literatura

Nielsen M., Chang I. Quantum Computing a kvantové informace: Per. z angličtiny - M .: Mir, 2006. 824 s. ISBN 5-03-003524-9

Poznámky

↑ Anastasios Kyrillidis. Úvod do kvantového počítání: Blochova koule. (anglicky) . http://akyrillidis.github.io _ http://akyrillidis.github.io+ (14. ledna 2018). Staženo 28. února 2019. Archivováno z originálu 28. února 2019.