Počet segmentů

V teorii uzlů je počet segmentů invariant uzlu , který určuje nejmenší počet přímých „segmentů“, které spojují konec ke konci a tvoří uzel. Přesněji řečeno, pro jakýkoli uzel K je počet segmentů K označený stick( K ) nejmenším počtem spojnic lomené čáry ekvivalentní K .

Známé hodnoty

Nejmenší počet segmentů pro netriviální uzly je šest. Existuje malý počet uzlů, pro které lze přesně určit počet segmentů. Gyo Taek Jin určil počet segmentů ( p , q ) -torusových uzlů T ( p , q ) pro případy, kdy se parametry p a q příliš neliší [1] :

{\text{stick}}(T(p,q))=2q

-li

2\leq p<q\leq 2p.

Stejný výsledek nezávisle na sobě přibližně ve stejnou dobu získala výzkumná skupina vedená Adamsem , ale pro menší rozsah parametrů [2] .

Hranice

Počet segmentů složení uzlů shora je omezen celkovým počtem segmentů původních uzlů [2] [1] :

{\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2} )-3

Související invarianty

Počet segmentů uzlu K souvisí s jeho počtem průsečíků c(K) pomocí následující nerovnosti [3] [4] [5] :

{\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,c(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac { 3}{2}}(c(K)+1).

Poznámky

↑ 12 Jin , 1997 .
↑ 1 2 Adams, Brennanová, Greilsheimer, Woo, 1997 .
↑ Negami, 1991 .
↑ Calvo, 2001 .
↑ Huh, Oh, 2011 .

Literatura

Úvodní materiály

CC Adams. Proč uzel: uzly, molekuly a čísla tyčinek // Plus Magazine. - 2001. - Vydání. května . . Úvod pro čtenáře s malými znalostmi matematiky
CC Adams. Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 .

Výzkumné články

Colin C. Adams, Bevin M. Brennan, Deborah L. Greilsheimer, Alexander K. Woo. Čísla tyčí a složení uzlů a odkazů // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 1997. - T. 6 , no. 2 . - S. 149-161 . - doi : 10.1142/S0218216597000121 .
Jorge Alberto Calvo. Geometrické uzlové prostory a polygonální izotopie // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2001. - T. 10 , no. 2 . - S. 245-267 . - doi : 10.1142/S0218216501000834 .
Gyo Taek Jin. Polygonové indexy a superbridge indexy torusových uzlů a vazeb // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 1997. - T. 6 , no. 2 . - S. 281-289 . - doi : 10.1142/S0218216597000170 .
Seiya Negami. Ramseyovy teorémy pro uzly, odkazy a prostorové grafy // Transactions of the American Mathematical Society. - 1991. - T. 324 , čís. 2 . - S. 527-541 . - doi : 10.2307/2001731 .
Youngsik Huh, Seungsang Oh. Horní hranice počtu uzlů na hůlce // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2011. - T. 20 , no. 5 . - S. 741-747 . - doi : 10.1142/S0218216511008966 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Stick number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
„ Čísla tyčí pro minimální zauzlování tyčí “, místo výzkumu a vývoje KnotPlot .